Error

Derivation

1. Initial program 26.0

   \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
2. Using strategy rm

3. Applied clear-num26.1

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}}}\]
4. Using strategy rm

5. Applied *-un-lft-identity26.1

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}{\color{blue}{1 \cdot \left(x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im\right)}}}\]

6. Applied add-sqr-sqrt26.1

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{1 \cdot \left(x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im\right)}}\]

7. Applied times-frac26.1

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}{1} \cdot \frac{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}}}\]

8. Applied associate-/r*26.0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}{1}}}{\frac{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}}}\]

9. Final simplification26.0

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\frac{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}{y.re \cdot x.im - y.im \cdot x.re}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019093 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, imaginary part"
  (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))