Average Error: 43.7 → 42.1
Time: 46.6s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\frac{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (\left(-3 \cdot c\right) \cdot a + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot {\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right) + \left(-b\right))_*}{a \cdot 3}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

  1. Initial program 43.7

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

  2. Simplified43.7

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-sqr-sqrt43.7

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}} - b}{3 \cdot a}\]

  5. Applied fma-neg43.1

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}{3 \cdot a}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied add-cbrt-cube43.1

    \[\leadsto \frac{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}}\right) + \left(-b\right))_*}{3 \cdot a}\]
  8. Using strategy rm

  9. Applied pow1/342.8

    \[\leadsto \frac{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{{\left(\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}}}}}\right) + \left(-b\right))_*}{3 \cdot a}\]
  10. Using strategy rm

  11. Applied unpow-prod-down42.8

    \[\leadsto \frac{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot {\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}}}}}\right) + \left(-b\right))_*}{3 \cdot a}\]

  12. Simplified42.1

    \[\leadsto \frac{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (\left(-3 \cdot c\right) \cdot a + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot {\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right) + \left(-b\right))_*}{3 \cdot a}\]

  13. Final simplification42.1

    \[\leadsto \frac{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (\left(-3 \cdot c\right) \cdot a + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot {\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right)}^{\frac{1}{3}}}}\right) + \left(-b\right))_*}{a \cdot 3}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019091 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))