Average Error: 37.0 → 22.5
Time: 30.2s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3814321692682054 \cdot 10^{+93}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.5641131459738006 \cdot 10^{-300}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.1422389226659119 \cdot 10^{-270}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.88552434217187 \cdot 10^{+29}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.0
Target32.1
Herbie22.5
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -1.3814321692682054e+93

    1. Initial program 59.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

    6. Applied associate-*r/59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

    7. Applied sqrt-div59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

    8. Applied sqrt-div59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

    9. Applied flip-+59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    10. Applied associate-*r/59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    11. Applied sqrt-div59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    12. Applied sqrt-div59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    13. Applied frac-times59.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

    14. Simplified42.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    15. Simplified42.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    16. Taylor expanded around -inf 21.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    if -1.3814321692682054e+93 < re < 2.5641131459738006e-300

    1. Initial program 36.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

    6. Applied associate-*r/36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

    7. Applied sqrt-div36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

    8. Applied sqrt-div36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

    9. Applied flip-+36.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    10. Applied associate-*r/36.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    11. Applied sqrt-div36.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    12. Applied sqrt-div36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    13. Applied frac-times36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

    14. Simplified29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    15. Simplified29.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
    16. Using strategy rm

    17. Applied sqrt-undiv29.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    if 2.5641131459738006e-300 < re < 1.1422389226659119e-270

    1. Initial program 32.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 32.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(re + im\right)}}\]

    if 1.1422389226659119e-270 < re < 9.88552434217187e+29

    1. Initial program 19.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 9.88552434217187e+29 < re

    1. Initial program 40.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 14.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification22.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3814321692682054 \cdot 10^{+93}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.5641131459738006 \cdot 10^{-300}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.1422389226659119 \cdot 10^{-270}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.88552434217187 \cdot 10^{+29}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019091 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))