Average Error: 37.2 → 24.2
Time: 23.4s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -4.3115795479184004 \cdot 10^{-88}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re - im\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.1386342892691235 \cdot 10^{-203}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 7.173667185758801 \cdot 10^{+66}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + im\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.2
Target32.4
Herbie24.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if im < -4.3115795479184004e-88

    1. Initial program 36.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 36.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} + re\right)}\]

    3. Simplified36.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right)}\]

    4. Taylor expanded around -inf 18.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(re - im\right)}}\]

    if -4.3115795479184004e-88 < im < 1.1386342892691235e-203

    1. Initial program 38.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} + re\right)}\]

    3. Simplified38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-sqr-sqrt38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} + re\right)}\]

    6. Applied sqrt-prod39.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} + re\right)}\]

    7. Taylor expanded around 0 35.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]

    if 1.1386342892691235e-203 < im < 7.173667185758801e+66

    1. Initial program 28.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 28.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} + re\right)}\]

    3. Simplified28.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip-+38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

    6. Applied associate-*r/38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

    7. Applied sqrt-div38.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

    8. Simplified30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\]

    if 7.173667185758801e+66 < im

    1. Initial program 46.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 46.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} + re\right)}\]

    3. Simplified46.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} + re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-sqr-sqrt46.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} + re\right)}\]

    6. Applied sqrt-prod46.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} + re\right)}\]

    7. Taylor expanded around inf 12.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification24.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -4.3115795479184004 \cdot 10^{-88}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re - im\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.1386342892691235 \cdot 10^{-203}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 7.173667185758801 \cdot 10^{+66}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + im\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019090 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))