Average Error: 44.0 → 43.4
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Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\frac{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*}}{\sqrt[3]{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*}}{\left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot 3}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

  1. Initial program 44.0

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

  2. Simplified44.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-sqr-sqrt44.0

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}} - b}{3 \cdot a}\]

  5. Applied sqrt-prod44.0

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}} \cdot \sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}} - b}{3 \cdot a}\]

  6. Applied fma-neg43.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) + \left(-b\right))_*}}{3 \cdot a}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied add-cbrt-cube43.4

    \[\leadsto \frac{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}}\right) + \left(-b\right))_*}{3 \cdot a}\]
  9. Using strategy rm

  10. Applied add-cube-cbrt43.4

    \[\leadsto \frac{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*}{3 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \sqrt[3]{a}\right)}}\]

  11. Applied associate-*r*43.4

    \[\leadsto \frac{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*}{\color{blue}{\left(3 \cdot \left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{a}}}\]

  12. Applied add-cube-cbrt43.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*}\right) \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*}}}{\left(3 \cdot \left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{a}}\]

  13. Applied times-frac43.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*}}{3 \cdot \left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right)} \cdot \frac{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*}}{\sqrt[3]{a}}}\]

  14. Final simplification43.4

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*}}{\sqrt[3]{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*} \cdot \sqrt[3]{(\left(\sqrt{\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left((-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_* \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}}}\right) + \left(-b\right))_*}}{\left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot 3}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019088 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))