Error

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 0.07322671580275421

   1. Initial program 9.6

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified9.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3--9.7

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Applied associate-/l/9.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

   6. Simplified9.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied expm1-log1p-u9.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{(e^{\log_* (1 + \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*)} - 1)^*} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   if 0.07322671580275421 < b

   1. Initial program 30.7

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified30.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3--30.8

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Applied associate-/l/30.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

   6. Simplified30.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   7. Taylor expanded around inf 9.8

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{b} - \frac{9}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   8. Simplified9.8

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied *-un-lft-identity9.8

       \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \color{blue}{\left(1 \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)} \cdot b\right)\right)}\]

   11. Applied associate-*l*9.8

       \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}\right)\right)}\]

   12. Applied *-un-lft-identity9.8

       \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(\color{blue}{\left(1 \cdot b\right)} \cdot b + 1 \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)\right)}\]

   13. Applied associate-*l*9.8

       \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(\color{blue}{1 \cdot \left(b \cdot b\right)} + 1 \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)\right)}\]

   14. Applied distribute-lft-out9.8

       \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \color{blue}{1 \cdot \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}\right)}\]

   15. Applied *-un-lft-identity9.8

       \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)} + 1 \cdot \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   16. Applied distribute-lft-out9.8

       \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)\right)}}\]

   17. Applied associate-*r*9.8

       \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\color{blue}{\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot 1\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

   18. Applied *-un-lft-identity9.8

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot (\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}}{\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot 1\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   19. Applied times-frac9.8

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(3 \cdot a\right) \cdot 1} \cdot \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}\]

   20. Simplified9.8

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{3}}{a}} \cdot \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot b\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}\]

   21. Simplified9.8

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{a} \cdot \color{blue}{\frac{(\left(b \cdot \frac{-9}{2}\right) \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(\frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot a\right)}{\frac{b}{\frac{27}{8}}}\right))_*}{(\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}}\]
   22. Using strategy rm

   23. Applied associate-*l/9.8

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{(\left(b \cdot \frac{-9}{2}\right) \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(\frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot a\right)}{\frac{b}{\frac{27}{8}}}\right))_*}{(\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}}{a}}\]

   24. Simplified9.7

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{(b \cdot \left(\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-3}{2}\right) + \left(\frac{\left(\left(c \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot a\right)\right) \cdot \frac{9}{8}}{b}\right))_*}{b \cdot b + (b \cdot \left(\sqrt{(\left(c \cdot a\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left((\left(c \cdot a\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}}}{a}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification9.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 0.07322671580275421:\\ \;\;\;\;\frac{(e^{\log_* (1 + \sqrt{(b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(a \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right))_*)} - 1)^* - \left(b \cdot b\right) \cdot b}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{(b \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot c\right)\right) + \left(\frac{\frac{9}{8} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}{b}\right))_*}{b \cdot b + (b \cdot \left(\sqrt{(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left((\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}}{a}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019088 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))