Average Error: 37.8 → 22.1
Time: 16.5s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -1.5148159451639117 \cdot 10^{+112}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(-\left(re + im\right)\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;im \le -1.1365127885464545 \cdot 10^{-156}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 5.5324112591391745 \cdot 10^{-158}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re \cdot -2\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 4.287693686777693 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if im < -1.5148159451639117e+112

    1. Initial program 52.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 52.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} - re\right)}\]

    3. Simplified52.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right)}\]

    4. Taylor expanded around -inf 9.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-\left(re + im\right)\right)}}\]

    if -1.5148159451639117e+112 < im < -1.1365127885464545e-156 or 5.5324112591391745e-158 < im < 4.287693686777693e+110

    1. Initial program 24.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 24.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} - re\right)}\]

    3. Simplified24.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip--33.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}}\]

    6. Applied associate-*r/33.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}}\]

    7. Applied sqrt-div33.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}}\]

    8. Simplified24.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\]

    if -1.1365127885464545e-156 < im < 5.5324112591391745e-158

    1. Initial program 42.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 34.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if 4.287693686777693e+110 < im

    1. Initial program 51.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 51.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} + {re}^{2}}} - re\right)}\]

    3. Simplified51.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right)}\]

    4. Taylor expanded around inf 9.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(im - re\right)}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification22.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -1.5148159451639117 \cdot 10^{+112}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(-\left(re + im\right)\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;im \le -1.1365127885464545 \cdot 10^{-156}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 5.5324112591391745 \cdot 10^{-158}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re \cdot -2\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 4.287693686777693 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019068 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))