Error

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 8.160950503987953

   1. Initial program 13.5

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified13.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3--13.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Applied associate-/l/13.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

   6. Simplified13.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied flip3--13.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right)}^{3} - {\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}^{3}}{\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right) \cdot \left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   if 8.160950503987953 < b

   1. Initial program 33.3

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified33.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3--33.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Applied associate-/l/33.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

   6. Simplified32.7

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   7. Taylor expanded around inf 7.9

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{b} - \frac{9}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   8. Simplified7.9

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied *-un-lft-identity7.9

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot (\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   11. Applied times-frac7.9

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3 \cdot a} \cdot \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}\]

   12. Simplified7.9

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{3}}{a}} \cdot \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}\]

   13. Simplified7.9

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{a} \cdot \color{blue}{\frac{(\left(\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right) \cdot \frac{27}{8} + \left(\left(\frac{-9}{2} \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot c\right)\right))_*}{(b \cdot \left(\sqrt{(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left((a \cdot \left(c \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_* + b \cdot b}}\]
   14. Using strategy rm

   15. Applied pow17.9

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{a} \cdot \color{blue}{{\left(\frac{(\left(\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right) \cdot \frac{27}{8} + \left(\left(\frac{-9}{2} \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot c\right)\right))_*}{(b \cdot \left(\sqrt{(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left((a \cdot \left(c \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_* + b \cdot b}\right)}^{1}}\]

   16. Applied pow17.9

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\frac{1}{3}}{a}\right)}^{1}} \cdot {\left(\frac{(\left(\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right) \cdot \frac{27}{8} + \left(\left(\frac{-9}{2} \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot c\right)\right))_*}{(b \cdot \left(\sqrt{(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left((a \cdot \left(c \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_* + b \cdot b}\right)}^{1}\]

   17. Applied pow-prod-down7.9

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\frac{1}{3}}{a} \cdot \frac{(\left(\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right) \cdot \frac{27}{8} + \left(\left(\frac{-9}{2} \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot c\right)\right))_*}{(b \cdot \left(\sqrt{(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left((a \cdot \left(c \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_* + b \cdot b}\right)}^{1}}\]

   18. Simplified7.9

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{(\left(b \cdot \frac{\frac{-3}{2}}{a}\right) \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(\frac{\frac{9}{8}}{a} \cdot \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot a\right)}{b}\right))_*}{(\left(\sqrt{(\left(c \cdot a\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left((\left(c \cdot a\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*\right))_* + b \cdot b}\right)}}^{1}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification9.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 8.160950503987953:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{{\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right)}^{3} - {\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}^{3}}{\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right) \cdot \left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right) + \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)\right)}}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + b \cdot b\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{(\left(b \cdot \frac{\frac{-3}{2}}{a}\right) \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(\frac{\frac{9}{8}}{a} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{b \cdot b + (\left(\sqrt{(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left((\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019053 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))