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Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.189594430540218 \cdot 10^{-265}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.69274207003757 \cdot 10^{-268}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.376663888702456 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original37.7
Target32.7
Herbie25.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.189594430540218e-265

    1. Initial program 45.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div46.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified34.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -1.189594430540218e-265 < re < 1.69274207003757e-268

    1. Initial program 30.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 29.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 1.69274207003757e-268 < re < 9.376663888702456e+79

    1. Initial program 20.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 9.376663888702456e+79 < re

    1. Initial program 45.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied pow1/346.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \color{blue}{{\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{\frac{1}{3}}}} + re\right)}\]

    6. Taylor expanded around inf 11.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification25.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.189594430540218 \cdot 10^{-265}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.69274207003757 \cdot 10^{-268}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.376663888702456 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019051 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))