Error

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 71.74535730556825

   1. Initial program 14.7

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified14.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3--14.8

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Applied associate-/l/14.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

   6. Simplified14.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied fma-udef14.0

      \[\leadsto \frac{\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b + \left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   9. Applied distribute-rgt-in13.9

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   10. Applied associate--l+13.9

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} + \left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   if 71.74535730556825 < b

   1. Initial program 34.7

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified34.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3--34.7

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Applied associate-/l/34.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

   6. Simplified34.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   7. Taylor expanded around inf 7.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{b} - \frac{9}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

   8. Simplified7.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied associate-/r*7.4

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{3 \cdot a}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}\]

   11. Simplified7.3

       \[\leadsto \frac{\frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{3 \cdot a}}{\color{blue}{(b \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}}\]

   12. Taylor expanded around -inf 7.3

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{9}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{b} - \frac{3}{2} \cdot \left(b \cdot c\right)}}{(b \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}\]

   13. Simplified7.2

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot (\left(\frac{9}{8} \cdot \frac{c}{b}\right) \cdot a + \left(b \cdot \frac{-3}{2}\right))_*}}{(b \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification9.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 71.74535730556825:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{(b \cdot b + \left(-3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right))_*} \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(\left(-3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right) \cdot \sqrt{(b \cdot b + \left(-3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right))_*} - \left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{c \cdot (\left(\frac{9}{8} \cdot \frac{c}{b}\right) \cdot a + \left(b \cdot \frac{-3}{2}\right))_*}{(b \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) + \left(b \cdot b + (-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*\right))_*}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019050 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))