Average Error: 26.1 → 22.5
Time: 18.2s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\frac{\frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot x.im - x.re \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

Derivation

  1. Initial program 26.1

    \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-sqr-sqrt26.1

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

  4. Applied associate-/r*26.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied div-sub26.0

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied *-un-lft-identity26.0

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im\right)}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  9. Applied sqrt-prod26.0

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  10. Applied times-frac24.4

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \color{blue}{\frac{x.re}{\sqrt{1}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  11. Simplified24.4

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \color{blue}{x.re} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
  12. Using strategy rm

  13. Applied *-un-lft-identity24.4

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - x.re \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  14. Applied times-frac22.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x.im}{1} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - x.re \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  15. Simplified22.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{x.im} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - x.re \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  16. Final simplification22.5

    \[\leadsto \frac{\frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot x.im - x.re \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019050 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, imaginary part"
  (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))