2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.4% → 99.6%

Time: 7.7s

Alternatives: 14

Speedup: 6.4×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x, eps)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x, eps)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := t\_0 - -1\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(t\_1, -0.5, t\_0 \cdot \left(0.16666666666666666 - t\_1\right)\right)\\ \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t\_2 - -0.16666666666666666, \tan x, t\_1 \cdot \left(\tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \varepsilon, t\_2\right), \varepsilon, t\_1 \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))
        (t_1 (- t_0 -1.0))
        (t_2 (fma t_1 -0.5 (* t_0 (- 0.16666666666666666 t_1)))))
   (fma
    (tan x)
    (* (tan x) eps)
    (*
     (fma
      (fma
       (-
        -0.16666666666666666
        (fma
         (fma
          (- t_2 -0.16666666666666666)
          (tan x)
          (* t_1 (* (tan x) -0.3333333333333333)))
         eps
         t_2))
       eps
       (* t_1 (tan x)))
      eps
      1.0)
     eps))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = t_0 - -1.0;
	double t_2 = fma(t_1, -0.5, (t_0 * (0.16666666666666666 - t_1)));
	return fma(tan(x), (tan(x) * eps), (fma(fma((-0.16666666666666666 - fma(fma((t_2 - -0.16666666666666666), tan(x), (t_1 * (tan(x) * -0.3333333333333333))), eps, t_2)), eps, (t_1 * tan(x))), eps, 1.0) * eps));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(t_0 - -1.0)
	t_2 = fma(t_1, -0.5, Float64(t_0 * Float64(0.16666666666666666 - t_1)))
	return fma(tan(x), Float64(tan(x) * eps), Float64(fma(fma(Float64(-0.16666666666666666 - fma(fma(Float64(t_2 - -0.16666666666666666), tan(x), Float64(t_1 * Float64(tan(x) * -0.3333333333333333))), eps, t_2)), eps, Float64(t_1 * tan(x))), eps, 1.0) * eps))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 - -1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 * -0.5 + N[(t$95$0 * N[(0.16666666666666666 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(-0.16666666666666666 - N[(N[(N[(t$95$2 - -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + N[(t$95$1 * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + 1.0), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \color{blue}{\varepsilon}, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

8. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x \cdot \varepsilon}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \left(\tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := t\_0 - -1\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(t\_1, -0.5, t\_0 \cdot \left(0.16666666666666666 - t\_1\right)\right)\\ \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t\_2 - -0.16666666666666666, \tan x, t\_1 \cdot \left(\tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \varepsilon, t\_2\right), \varepsilon, t\_1 \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))
        (t_1 (- t_0 -1.0))
        (t_2 (fma t_1 -0.5 (* t_0 (- 0.16666666666666666 t_1)))))
   (*
    eps
    (+
     t_0
     (fma
      (fma
       (-
        -0.16666666666666666
        (fma
         (fma
          (- t_2 -0.16666666666666666)
          (tan x)
          (* t_1 (* (tan x) -0.3333333333333333)))
         eps
         t_2))
       eps
       (* t_1 (tan x)))
      eps
      1.0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = t_0 - -1.0;
	double t_2 = fma(t_1, -0.5, (t_0 * (0.16666666666666666 - t_1)));
	return eps * (t_0 + fma(fma((-0.16666666666666666 - fma(fma((t_2 - -0.16666666666666666), tan(x), (t_1 * (tan(x) * -0.3333333333333333))), eps, t_2)), eps, (t_1 * tan(x))), eps, 1.0));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(t_0 - -1.0)
	t_2 = fma(t_1, -0.5, Float64(t_0 * Float64(0.16666666666666666 - t_1)))
	return Float64(eps * Float64(t_0 + fma(fma(Float64(-0.16666666666666666 - fma(fma(Float64(t_2 - -0.16666666666666666), tan(x), Float64(t_1 * Float64(tan(x) * -0.3333333333333333))), eps, t_2)), eps, Float64(t_1 * tan(x))), eps, 1.0)))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 - -1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 * -0.5 + N[(t$95$0 * N[(0.16666666666666666 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(t$95$0 + N[(N[(N[(-0.16666666666666666 - N[(N[(N[(t$95$2 - -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + N[(t$95$1 * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \color{blue}{\varepsilon}, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

8. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \left(\tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\cos x}^{2}\\ t_1 := {\sin x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_1}{t\_0}\\ t_3 := 1 + t\_2\\ \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-1, \varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{t\_1 \cdot \left(0.8333333333333334 + t\_2\right)}{t\_0}, -0.5 \cdot t\_3\right)\right), \frac{\sin x \cdot t\_3}{\cos x}\right), t\_2\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (cos x) 2.0))
        (t_1 (pow (sin x) 2.0))
        (t_2 (/ t_1 t_0))
        (t_3 (+ 1.0 t_2)))
   (*
    eps
    (+
     1.0
     (fma
      eps
      (fma
       -1.0
       (*
        eps
        (+
         0.16666666666666666
         (fma -1.0 (/ (* t_1 (+ 0.8333333333333334 t_2)) t_0) (* -0.5 t_3))))
       (/ (* (sin x) t_3) (cos x)))
      t_2)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_1 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_2 = t_1 / t_0;
	double t_3 = 1.0 + t_2;
	return eps * (1.0 + fma(eps, fma(-1.0, (eps * (0.16666666666666666 + fma(-1.0, ((t_1 * (0.8333333333333334 + t_2)) / t_0), (-0.5 * t_3)))), ((sin(x) * t_3) / cos(x))), t_2));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = cos(x) ^ 2.0
	t_1 = sin(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_1 / t_0)
	t_3 = Float64(1.0 + t_2)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + fma(eps, fma(-1.0, Float64(eps * Float64(0.16666666666666666 + fma(-1.0, Float64(Float64(t_1 * Float64(0.8333333333333334 + t_2)) / t_0), Float64(-0.5 * t_3)))), Float64(Float64(sin(x) * t_3) / cos(x))), t_2)))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 / t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(1.0 + N[(eps * N[(-1.0 * N[(eps * N[(0.16666666666666666 + N[(-1.0 * N[(N[(t$95$1 * N[(0.8333333333333334 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision] + N[(-0.5 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \color{blue}{\varepsilon}, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

8. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x \cdot \varepsilon}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \left(\tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{6} + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \frac{-1}{2} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

11. Applied rewrites 99.6%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-1, \varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(0.8333333333333334 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, -0.5 \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right), \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := t\_0 - -1\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(t\_1, -0.5, t\_0 \cdot \left(0.16666666666666666 - t\_1\right)\right)\\ \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t\_2 - -0.16666666666666666, \tan x, -0.3333333333333333 \cdot x\right), \varepsilon, t\_2\right), \varepsilon, t\_1 \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))
        (t_1 (- t_0 -1.0))
        (t_2 (fma t_1 -0.5 (* t_0 (- 0.16666666666666666 t_1)))))
   (fma
    (tan x)
    (* (tan x) eps)
    (*
     (fma
      (fma
       (-
        -0.16666666666666666
        (fma
         (fma (- t_2 -0.16666666666666666) (tan x) (* -0.3333333333333333 x))
         eps
         t_2))
       eps
       (* t_1 (tan x)))
      eps
      1.0)
     eps))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = t_0 - -1.0;
	double t_2 = fma(t_1, -0.5, (t_0 * (0.16666666666666666 - t_1)));
	return fma(tan(x), (tan(x) * eps), (fma(fma((-0.16666666666666666 - fma(fma((t_2 - -0.16666666666666666), tan(x), (-0.3333333333333333 * x)), eps, t_2)), eps, (t_1 * tan(x))), eps, 1.0) * eps));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(t_0 - -1.0)
	t_2 = fma(t_1, -0.5, Float64(t_0 * Float64(0.16666666666666666 - t_1)))
	return fma(tan(x), Float64(tan(x) * eps), Float64(fma(fma(Float64(-0.16666666666666666 - fma(fma(Float64(t_2 - -0.16666666666666666), tan(x), Float64(-0.3333333333333333 * x)), eps, t_2)), eps, Float64(t_1 * tan(x))), eps, 1.0) * eps))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 - -1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 * -0.5 + N[(t$95$0 * N[(0.16666666666666666 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(-0.16666666666666666 - N[(N[(N[(t$95$2 - -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[(-0.3333333333333333 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + N[(t$95$1 * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + 1.0), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \color{blue}{\varepsilon}, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

8. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x \cdot \varepsilon}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \left(\tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, \frac{-1}{2}, {\tan x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right) - \frac{-1}{6}, \tan x, \frac{-1}{3} \cdot x\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, \frac{-1}{2}, {\tan x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f64 99.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, -0.3333333333333333 \cdot x\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]

11. Applied rewrites 99.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, -0.3333333333333333 \cdot x\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.6% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := t\_0 - -1\\ \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(-0.6666666666666666 \cdot x, \varepsilon, \mathsf{fma}\left(t\_1, -0.5, t\_0 \cdot \left(0.16666666666666666 - t\_1\right)\right)\right), \varepsilon, t\_1 \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)) (t_1 (- t_0 -1.0)))
   (fma
    (tan x)
    (* (tan x) eps)
    (*
     (fma
      (fma
       (-
        -0.16666666666666666
        (fma
         (* -0.6666666666666666 x)
         eps
         (fma t_1 -0.5 (* t_0 (- 0.16666666666666666 t_1)))))
       eps
       (* t_1 (tan x)))
      eps
      1.0)
     eps))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = t_0 - -1.0;
	return fma(tan(x), (tan(x) * eps), (fma(fma((-0.16666666666666666 - fma((-0.6666666666666666 * x), eps, fma(t_1, -0.5, (t_0 * (0.16666666666666666 - t_1))))), eps, (t_1 * tan(x))), eps, 1.0) * eps));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(t_0 - -1.0)
	return fma(tan(x), Float64(tan(x) * eps), Float64(fma(fma(Float64(-0.16666666666666666 - fma(Float64(-0.6666666666666666 * x), eps, fma(t_1, -0.5, Float64(t_0 * Float64(0.16666666666666666 - t_1))))), eps, Float64(t_1 * tan(x))), eps, 1.0) * eps))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 - -1.0), $MachinePrecision]}, N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(-0.16666666666666666 - N[(N[(-0.6666666666666666 * x), $MachinePrecision] * eps + N[(t$95$1 * -0.5 + N[(t$95$0 * N[(0.16666666666666666 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + N[(t$95$1 * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + 1.0), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \color{blue}{\varepsilon}, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

8. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x \cdot \varepsilon}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \left(\tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} - \mathsf{fma}\left(\frac{-2}{3} \cdot x, \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, \frac{-1}{2}, {\tan x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f64 99.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(-0.6666666666666666 \cdot x, \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]

11. Applied rewrites 99.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(-0.6666666666666666 \cdot x, \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (fma
  (tan x)
  (* (tan x) eps)
  (*
   (fma
    (fma 0.3333333333333333 eps (* (- (pow (tan x) 2.0) -1.0) (tan x)))
    eps
    1.0)
   eps)))

C

double code(double x, double eps) {
	return fma(tan(x), (tan(x) * eps), (fma(fma(0.3333333333333333, eps, ((pow(tan(x), 2.0) - -1.0) * tan(x))), eps, 1.0) * eps));
}

Julia

function code(x, eps)
	return fma(tan(x), Float64(tan(x) * eps), Float64(fma(fma(0.3333333333333333, eps, Float64(Float64((tan(x) ^ 2.0) - -1.0) * tan(x))), eps, 1.0) * eps))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(0.3333333333333333 * eps + N[(N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] - -1.0), $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + 1.0), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \color{blue}{\varepsilon}, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

8. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x \cdot \varepsilon}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \left(\tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 99.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 1.8 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot x - -0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, x, 1\right) \cdot x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (if (<= eps 1.8e-9)
   (fma
    (fma
     (fma
      (+
       0.3333333333333333
       (* x (- (* 1.3333333333333333 x) (* -0.6666666666666666 eps))))
      eps
      (* (fma x x 1.0) x))
     eps
     1.0)
    eps
    (* (* x x) eps))
   (- (tan (+ x eps)) (tan x))))

C

double code(double x, double eps) {
	double tmp;
	if (eps <= 1.8e-9) {
		tmp = fma(fma(fma((0.3333333333333333 + (x * ((1.3333333333333333 * x) - (-0.6666666666666666 * eps)))), eps, (fma(x, x, 1.0) * x)), eps, 1.0), eps, ((x * x) * eps));
	} else {
		tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, eps)
	tmp = 0.0
	if (eps <= 1.8e-9)
		tmp = fma(fma(fma(Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * Float64(Float64(1.3333333333333333 * x) - Float64(-0.6666666666666666 * eps)))), eps, Float64(fma(x, x, 1.0) * x)), eps, 1.0), eps, Float64(Float64(x * x) * eps));
	else
		tmp = Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, eps_] := If[LessEqual[eps, 1.8e-9], N[(N[(N[(N[(0.3333333333333333 + N[(x * N[(N[(1.3333333333333333 * x), $MachinePrecision] - N[(-0.6666666666666666 * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + N[(N[(x * x + 1.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + 1.0), $MachinePrecision] * eps + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if eps < 1.8e-9

   1. Initial program 62.4%

      \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

   2. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

   4. Applied rewrites 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

   6. Applied rewrites 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \color{blue}{\varepsilon}, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. lower-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

      4. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

      5. lower-*.f64 99.3

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot x - -0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   9. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot x - -0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot x - -0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   13. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Applied rewrites 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot x - -0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   16. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, x, 1\right) \cdot x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]
   17. Step-by-step derivation

   18. Applied rewrites 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot x - -0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, x, 1\right) \cdot x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   19. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, x, 1\right) \cdot x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]
   20. Step-by-step derivation

   21. Applied rewrites 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot x - -0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, x, 1\right) \cdot x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   22. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, x, 1\right) \cdot x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \]
   23. Step-by-step derivation

   24. Applied rewrites 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot x - -0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, x, 1\right) \cdot x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   if 1.8e-9 < eps

   1. Initial program 62.4%

      \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.3333333333333333, x, 0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), x, 0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left(t\_0 - -1\right) \cdot \tan x\right), 1\right) + t\_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)))
   (*
    eps
    (+
     (fma
      eps
      (fma
       (fma
        (fma 1.3333333333333333 x (* 0.6666666666666666 eps))
        x
        0.3333333333333333)
       eps
       (* (- t_0 -1.0) (tan x)))
      1.0)
     t_0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return eps * (fma(eps, fma(fma(fma(1.3333333333333333, x, (0.6666666666666666 * eps)), x, 0.3333333333333333), eps, ((t_0 - -1.0) * tan(x))), 1.0) + t_0);
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return Float64(eps * Float64(fma(eps, fma(fma(fma(1.3333333333333333, x, Float64(0.6666666666666666 * eps)), x, 0.3333333333333333), eps, Float64(Float64(t_0 - -1.0) * tan(x))), 1.0) + t_0))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(N[(1.3333333333333333 * x + N[(0.6666666666666666 * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * eps + N[(N[(t$95$0 - -1.0), $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \color{blue}{\varepsilon}, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. lower-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   3. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   4. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

   5. lower-*.f64 99.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot x - -0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

9. Applied rewrites 99.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot x - -0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot x - \frac{-2}{3} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon + \color{blue}{\left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon} \]

11. Applied rewrites 99.3%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.3333333333333333, x, 0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right), x, 0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), 1\right) + {\tan x}^{2}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon, \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (fma
  (fma (* 0.3333333333333333 eps) eps 1.0)
  eps
  (* (* (tan x) (tan x)) eps)))

C

double code(double x, double eps) {
	return fma(fma((0.3333333333333333 * eps), eps, 1.0), eps, ((tan(x) * tan(x)) * eps));
}

Julia

function code(x, eps)
	return fma(fma(Float64(0.3333333333333333 * eps), eps, 1.0), eps, Float64(Float64(tan(x) * tan(x)) * eps))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[(0.3333333333333333 * eps), $MachinePrecision] * eps + 1.0), $MachinePrecision] * eps + N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \color{blue}{\varepsilon}, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} \cdot \varepsilon, \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f64 98.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon, \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

9. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon, \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 98.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon, \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (fma
  (tan x)
  (* (tan x) eps)
  (* (fma (* 0.3333333333333333 eps) eps 1.0) eps)))

C

double code(double x, double eps) {
	return fma(tan(x), (tan(x) * eps), (fma((0.3333333333333333 * eps), eps, 1.0) * eps));
}

Julia

function code(x, eps)
	return fma(tan(x), Float64(tan(x) * eps), Float64(fma(Float64(0.3333333333333333 * eps), eps, 1.0) * eps))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(0.3333333333333333 * eps), $MachinePrecision] * eps + 1.0), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left(\mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right), \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right) - -0.16666666666666666\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x, 1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right), \color{blue}{\varepsilon}, \left(\tan x \cdot \tan x\right) \cdot \varepsilon\right) \]

8. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \color{blue}{\tan x \cdot \varepsilon}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right) - -0.16666666666666666, \tan x, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \left(\tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2} - -1, -0.5, {\tan x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} - -1\right)\right)\right)\right), \varepsilon, \left({\tan x}^{2} - -1\right) \cdot \tan x\right), \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} \cdot \varepsilon, \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f64 98.9

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon, \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]

11. Applied rewrites 98.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\tan x, \tan x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon, \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 98.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\varepsilon}^{2}, x \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   1.0
   (fma
    0.3333333333333333
    (pow eps 2.0)
    (* x (+ x (* eps (+ 1.0 (* 1.3333333333333333 (* eps x))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + fma(0.3333333333333333, pow(eps, 2.0), (x * (x + (eps * (1.0 + (1.3333333333333333 * (eps * x))))))));
}

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + fma(0.3333333333333333, (eps ^ 2.0), Float64(x * Float64(x + Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(1.3333333333333333 * Float64(eps * x)))))))))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(0.3333333333333333 * N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision] + N[(x * N[(x + N[(eps * N[(1.0 + N[(1.3333333333333333 * N[(eps * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 98.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\varepsilon}^{2}, x \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 1 + 0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2}, x \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, {\varepsilon}^{2}, x \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. lower-+.f64 N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, {\varepsilon}^{2}, x \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, {\varepsilon}^{2}, x \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. lower-+.f64 N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, {\varepsilon}^{2}, x \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, {\varepsilon}^{2}, x \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. lower-*.f64 98.2

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\varepsilon}^{2}, x \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied rewrites 98.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\varepsilon}^{2}, x \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 98.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(1.3333333333333333, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right) \cdot x\right), x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.3333333333333333\right) - -1\right) \cdot \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  (-
   (fma
    (fma
     (fma 0.6666666666666666 (* eps eps) 1.0)
     eps
     (* (fma 1.3333333333333333 (* eps eps) 1.0) x))
    x
    (* (* eps eps) 0.3333333333333333))
   -1.0)
  eps))

C

double code(double x, double eps) {
	return (fma(fma(fma(0.6666666666666666, (eps * eps), 1.0), eps, (fma(1.3333333333333333, (eps * eps), 1.0) * x)), x, ((eps * eps) * 0.3333333333333333)) - -1.0) * eps;
}

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(fma(fma(fma(0.6666666666666666, Float64(eps * eps), 1.0), eps, Float64(fma(1.3333333333333333, Float64(eps * eps), 1.0) * x)), x, Float64(Float64(eps * eps) * 0.3333333333333333)) - -1.0) * eps)
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[(N[(N[(0.6666666666666666 * N[(eps * eps), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * eps + N[(N[(1.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - -1.0), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 98.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\varepsilon}^{2}, x \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 1 + 0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2}, x \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

9. Applied rewrites 98.2%

   \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right), \varepsilon, \mathsf{fma}\left(1.3333333333333333, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right) \cdot x\right), x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.3333333333333333\right) - -1\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 98.1% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, x, {x}^{2}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (+ 1.0 (fma eps x (pow x 2.0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + fma(eps, x, pow(x, 2.0)));
}

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + fma(eps, x, (x ^ 2.0))))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(eps * x + N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 98.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\varepsilon}^{2}, x \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 1 + 0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2}, x \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot x + {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, x, {x}^{2}\right)\right) \]

   2. lower-pow.f64 98.1

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, x, {x}^{2}\right)\right) \]

10. Applied rewrites 98.1%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, x, {x}^{2}\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 14: 97.6% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\varepsilon \cdot \varepsilon, 0.3333333333333333, 1\right) \cdot \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* (fma (* eps eps) 0.3333333333333333 1.0) eps))

C

double code(double x, double eps) {
	return fma((eps * eps), 0.3333333333333333, 1.0) * eps;
}

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(fma(Float64(eps * eps), 0.3333333333333333, 1.0) * eps)
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.3333333333333333 + 1.0), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

2. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Applied rewrites 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}, \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 97.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}}\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Applied rewrites 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon \cdot \varepsilon, 0.3333333333333333, 1\right) \cdot \varepsilon} \]
10. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x, eps)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Developer Target 2: 62.6% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (- (/ (+ (tan x) (tan eps)) (- 1.0 (* (tan x) (tan eps)))) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x, eps)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0d0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return ((Math.tan(x) + Math.tan(eps)) / (1.0 - (Math.tan(x) * Math.tan(eps)))) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return ((math.tan(x) + math.tan(eps)) / (1.0 - (math.tan(x) * math.tan(eps)))) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(Float64(tan(x) + tan(eps)) / Float64(1.0 - Float64(tan(x) * tan(eps)))) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Developer Target 3: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \left(\varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* (* eps (tan x)) (tan x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + ((eps * tan(x)) * tan(x));
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x, eps)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + ((eps * tan(x)) * tan(x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + ((eps * Math.tan(x)) * Math.tan(x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + ((eps * math.tan(x)) * math.tan(x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(Float64(eps * tan(x)) * tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + ((eps * tan(x)) * tan(x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(N[(eps * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2025162 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform c (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  :alt
  (! :herbie-platform c (- (/ (+ (tan x) (tan eps)) (- 1 (* (tan x) (tan eps)))) (tan x)))

  :alt
  (! :herbie-platform c (+ eps (* eps (tan x) (tan x))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))