Anisotropic x16 LOD (line direction, u)

Percentage Accurate: 76.4% → 76.5%

Time: 10.1s

Alternatives: 5

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(\left(1 \leq w \land w \leq 16384\right) \land \left(1 \leq h \land h \leq 16384\right)\right) \land \left(10^{-20} \leq \left|dX.u\right| \land \left|dX.u\right| \leq 10^{+20}\right)\right) \land \left(10^{-20} \leq \left|dX.v\right| \land \left|dX.v\right| \leq 10^{+20}\right)\right) \land \left(10^{-20} \leq \left|dY.u\right| \land \left|dY.u\right| \leq 10^{+20}\right)\right) \land \left(10^{-20} \leq \left|dY.v\right| \land \left|dY.v\right| \leq 10^{+20}\right)\right) \land maxAniso = 16\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\\ t_1 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\\ t_2 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\\ t_3 := t\_2 \cdot t\_2 + t\_0 \cdot t\_0\\ t_4 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\\ t_5 := t\_1 \cdot t\_1 + t\_4 \cdot t\_4\\ t_6 := \frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_3, t\_5\right)}}\\ \mathbf{if}\;t\_3 \geq t\_5:\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot t\_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (floor h) dX.v))
        (t_1 (* (floor w) dY.u))
        (t_2 (* (floor w) dX.u))
        (t_3 (+ (* t_2 t_2) (* t_0 t_0)))
        (t_4 (* (floor h) dY.v))
        (t_5 (+ (* t_1 t_1) (* t_4 t_4)))
        (t_6 (/ 1.0 (sqrt (fmax t_3 t_5)))))
   (if (>= t_3 t_5) (* t_6 t_2) (* t_6 t_1))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = floorf(h) * dX_46_v;
	float t_1 = floorf(w) * dY_46_u;
	float t_2 = floorf(w) * dX_46_u;
	float t_3 = (t_2 * t_2) + (t_0 * t_0);
	float t_4 = floorf(h) * dY_46_v;
	float t_5 = (t_1 * t_1) + (t_4 * t_4);
	float t_6 = 1.0f / sqrtf(fmaxf(t_3, t_5));
	float tmp;
	if (t_3 >= t_5) {
		tmp = t_6 * t_2;
	} else {
		tmp = t_6 * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(floor(h) * dX_46_v)
	t_1 = Float32(floor(w) * dY_46_u)
	t_2 = Float32(floor(w) * dX_46_u)
	t_3 = Float32(Float32(t_2 * t_2) + Float32(t_0 * t_0))
	t_4 = Float32(floor(h) * dY_46_v)
	t_5 = Float32(Float32(t_1 * t_1) + Float32(t_4 * t_4))
	t_6 = Float32(Float32(1.0) / sqrt(fmax(t_3, t_5)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_3 >= t_5)
		tmp = Float32(t_6 * t_2);
	else
		tmp = Float32(t_6 * t_1);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = floor(h) * dX_46_v;
	t_1 = floor(w) * dY_46_u;
	t_2 = floor(w) * dX_46_u;
	t_3 = (t_2 * t_2) + (t_0 * t_0);
	t_4 = floor(h) * dY_46_v;
	t_5 = (t_1 * t_1) + (t_4 * t_4);
	t_6 = single(1.0) / sqrt(max(t_3, t_5));
	tmp = single(0.0);
	if (t_3 >= t_5)
		tmp = t_6 * t_2;
	else
		tmp = t_6 * t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Initial Program: 76.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\\ t_1 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\\ t_2 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\\ t_3 := t\_2 \cdot t\_2 + t\_0 \cdot t\_0\\ t_4 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\\ t_5 := t\_1 \cdot t\_1 + t\_4 \cdot t\_4\\ t_6 := \frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_3, t\_5\right)}}\\ \mathbf{if}\;t\_3 \geq t\_5:\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot t\_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (floor h) dX.v))
        (t_1 (* (floor w) dY.u))
        (t_2 (* (floor w) dX.u))
        (t_3 (+ (* t_2 t_2) (* t_0 t_0)))
        (t_4 (* (floor h) dY.v))
        (t_5 (+ (* t_1 t_1) (* t_4 t_4)))
        (t_6 (/ 1.0 (sqrt (fmax t_3 t_5)))))
   (if (>= t_3 t_5) (* t_6 t_2) (* t_6 t_1))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = floorf(h) * dX_46_v;
	float t_1 = floorf(w) * dY_46_u;
	float t_2 = floorf(w) * dX_46_u;
	float t_3 = (t_2 * t_2) + (t_0 * t_0);
	float t_4 = floorf(h) * dY_46_v;
	float t_5 = (t_1 * t_1) + (t_4 * t_4);
	float t_6 = 1.0f / sqrtf(fmaxf(t_3, t_5));
	float tmp;
	if (t_3 >= t_5) {
		tmp = t_6 * t_2;
	} else {
		tmp = t_6 * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(floor(h) * dX_46_v)
	t_1 = Float32(floor(w) * dY_46_u)
	t_2 = Float32(floor(w) * dX_46_u)
	t_3 = Float32(Float32(t_2 * t_2) + Float32(t_0 * t_0))
	t_4 = Float32(floor(h) * dY_46_v)
	t_5 = Float32(Float32(t_1 * t_1) + Float32(t_4 * t_4))
	t_6 = Float32(Float32(1.0) / sqrt(fmax(t_3, t_5)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_3 >= t_5)
		tmp = Float32(t_6 * t_2);
	else
		tmp = Float32(t_6 * t_1);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = floor(h) * dX_46_v;
	t_1 = floor(w) * dY_46_u;
	t_2 = floor(w) * dX_46_u;
	t_3 = (t_2 * t_2) + (t_0 * t_0);
	t_4 = floor(h) * dY_46_v;
	t_5 = (t_1 * t_1) + (t_4 * t_4);
	t_6 = single(1.0) / sqrt(max(t_3, t_5));
	tmp = single(0.0);
	if (t_3 >= t_5)
		tmp = t_6 * t_2;
	else
		tmp = t_6 * t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Alternative 1: 76.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_1 := \mathsf{fma}\left(dY.u \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(t\_0 \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_3 := \sqrt{\mathsf{max}\left(t\_2, t\_1\right)}\\ \mathbf{if}\;t\_2 \geq t\_1:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{t\_3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{t\_3}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* dX.u (floor w)))
        (t_1
         (fma
          (* dY.u dY.u)
          (* (floor w) (floor w))
          (* (* (* dY.v (floor h)) dY.v) (floor h))))
        (t_2
         (fma
          (* (* dX.v (floor h)) dX.v)
          (floor h)
          (* (* t_0 dX.u) (floor w))))
        (t_3 (sqrt (fmax t_2 t_1))))
   (if (>= t_2 t_1) (/ t_0 t_3) (/ (* dY.u (floor w)) t_3))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = dX_46_u * floorf(w);
	float t_1 = fmaf((dY_46_u * dY_46_u), (floorf(w) * floorf(w)), (((dY_46_v * floorf(h)) * dY_46_v) * floorf(h)));
	float t_2 = fmaf(((dX_46_v * floorf(h)) * dX_46_v), floorf(h), ((t_0 * dX_46_u) * floorf(w)));
	float t_3 = sqrtf(fmaxf(t_2, t_1));
	float tmp;
	if (t_2 >= t_1) {
		tmp = t_0 / t_3;
	} else {
		tmp = (dY_46_u * floorf(w)) / t_3;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(dX_46_u * floor(w))
	t_1 = fma(Float32(dY_46_u * dY_46_u), Float32(floor(w) * floor(w)), Float32(Float32(Float32(dY_46_v * floor(h)) * dY_46_v) * floor(h)))
	t_2 = fma(Float32(Float32(dX_46_v * floor(h)) * dX_46_v), floor(h), Float32(Float32(t_0 * dX_46_u) * floor(w)))
	t_3 = sqrt(fmax(t_2, t_1))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_2 >= t_1)
		tmp = Float32(t_0 / t_3);
	else
		tmp = Float32(Float32(dY_46_u * floor(w)) / t_3);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.4%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

5. Applied rewrites 76.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot dY.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}}}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

7. Applied rewrites 76.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(dY.u \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(dY.u \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(dY.u \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ } \end{array}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 76.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_2 := \frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_1, t\_0\right)}}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \geq t\_0:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot dY.u\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (fma
          (* (* dY.u dY.u) (floor w))
          (floor w)
          (* (* (* dY.v (floor h)) dY.v) (floor h))))
        (t_1
         (fma
          (* (* dX.v (floor h)) dX.v)
          (floor h)
          (* (* (* dX.u (floor w)) dX.u) (floor w))))
        (t_2 (/ (floor w) (sqrt (fmax t_1 t_0)))))
   (if (>= t_1 t_0) (* t_2 dX.u) (* t_2 dY.u))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = fmaf(((dY_46_u * dY_46_u) * floorf(w)), floorf(w), (((dY_46_v * floorf(h)) * dY_46_v) * floorf(h)));
	float t_1 = fmaf(((dX_46_v * floorf(h)) * dX_46_v), floorf(h), (((dX_46_u * floorf(w)) * dX_46_u) * floorf(w)));
	float t_2 = floorf(w) / sqrtf(fmaxf(t_1, t_0));
	float tmp;
	if (t_1 >= t_0) {
		tmp = t_2 * dX_46_u;
	} else {
		tmp = t_2 * dY_46_u;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = fma(Float32(Float32(dY_46_u * dY_46_u) * floor(w)), floor(w), Float32(Float32(Float32(dY_46_v * floor(h)) * dY_46_v) * floor(h)))
	t_1 = fma(Float32(Float32(dX_46_v * floor(h)) * dX_46_v), floor(h), Float32(Float32(Float32(dX_46_u * floor(w)) * dX_46_u) * floor(w)))
	t_2 = Float32(floor(w) / sqrt(fmax(t_1, t_0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_1 >= t_0)
		tmp = Float32(t_2 * dX_46_u);
	else
		tmp = Float32(t_2 * dY_46_u);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.4%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ } \end{array}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u}, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{dY.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(dY.u \cdot \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   7. lower-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot dY.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

5. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u}, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{dY.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(dY.u \cdot \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   7. lower-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot dY.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

7. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(dY.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right), \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(dY.u \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   7. lower-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

9. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 76.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_1 := dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_2 := \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, t\_1 \cdot t\_1\right)\\ t_3 := \frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_0, t\_2\right)}}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \geq t\_2:\\ \;\;\;\;t\_3 \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3 \cdot dY.u\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (fma
          (* (* dX.v (floor h)) dX.v)
          (floor h)
          (* (* (* dX.u dX.u) (floor w)) (floor w))))
        (t_1 (* dY.u (floor w)))
        (t_2 (fma (* (floor h) (floor h)) (* dY.v dY.v) (* t_1 t_1)))
        (t_3 (/ (floor w) (sqrt (fmax t_0 t_2)))))
   (if (>= t_0 t_2) (* t_3 dX.u) (* t_3 dY.u))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = fmaf(((dX_46_v * floorf(h)) * dX_46_v), floorf(h), (((dX_46_u * dX_46_u) * floorf(w)) * floorf(w)));
	float t_1 = dY_46_u * floorf(w);
	float t_2 = fmaf((floorf(h) * floorf(h)), (dY_46_v * dY_46_v), (t_1 * t_1));
	float t_3 = floorf(w) / sqrtf(fmaxf(t_0, t_2));
	float tmp;
	if (t_0 >= t_2) {
		tmp = t_3 * dX_46_u;
	} else {
		tmp = t_3 * dY_46_u;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = fma(Float32(Float32(dX_46_v * floor(h)) * dX_46_v), floor(h), Float32(Float32(Float32(dX_46_u * dX_46_u) * floor(w)) * floor(w)))
	t_1 = Float32(dY_46_u * floor(w))
	t_2 = fma(Float32(floor(h) * floor(h)), Float32(dY_46_v * dY_46_v), Float32(t_1 * t_1))
	t_3 = Float32(floor(w) / sqrt(fmax(t_0, t_2)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 >= t_2)
		tmp = Float32(t_3 * dX_46_u);
	else
		tmp = Float32(t_3 * dY_46_u);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.4%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ } \end{array}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   9. lower-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

5. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   9. lower-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

7. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   9. lower-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

9. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
10. Step-by-step derivation

    1. lift-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    2. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor } + \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor :\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    3. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    4. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right)} \cdot \left\lfloor h\right\rfloor :\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    5. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    6. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)} \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    9. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)} \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    10. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    11. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    12. +-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) + \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    13. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)} + \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor :\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

11. Applied rewrites 76.3%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
12. Step-by-step derivation

    1. lift-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    2. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor } + \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    3. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    4. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right)} \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    5. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    6. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)} \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)}\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    9. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)} \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    10. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)}\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    11. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)}\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    12. +-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) + \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    13. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)} + \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

13. Applied rewrites 76.3%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
14. Step-by-step derivation

    1. lift-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    2. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    3. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    4. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    5. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    6. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    9. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    10. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    11. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    12. +-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) + \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    13. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) + \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

15. Applied rewrites 76.3%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 4: 72.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\\ t_1 := \left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v\\ t_2 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\\ t_3 := \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \\ t_4 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\\ t_5 := dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_6 := dY.u \cdot \left(\left|t\_5\right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_7 := t\_4 \cdot t\_4 + t\_0 \cdot t\_0\\ t_8 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\\ t_9 := t\_2 \cdot t\_2 + t\_8 \cdot t\_8\\ t_10 := \frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_7, t\_9\right)}}\\ t_11 := dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_12 := \mathsf{fma}\left(t\_1, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(t\_11 \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_13 := \mathsf{fma}\left(t\_1, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_14 := \frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_13, t\_6\right)}}\\ \mathbf{if}\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_7 \geq t\_9:\\ \;\;\;\;t\_10 \cdot t\_4\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_10 \cdot t\_2\\ \end{array} \leq 0.9999979734420776:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_12 \geq t\_3:\\ \;\;\;\;\frac{t\_11}{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_12, t\_3\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_5}{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_12, \mathsf{fma}\left(dY.u \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , t\_3\right)\right)}}\\ \end{array}\\ \mathbf{elif}\;t\_13 \geq t\_6:\\ \;\;\;\;t\_14 \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_14 \cdot dY.u\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (floor h) dX.v))
        (t_1 (* (* dX.v (floor h)) dX.v))
        (t_2 (* (floor w) dY.u))
        (t_3 (* (* (* dY.v (floor h)) dY.v) (floor h)))
        (t_4 (* (floor w) dX.u))
        (t_5 (* dY.u (floor w)))
        (t_6 (* dY.u (* (fabs t_5) (floor w))))
        (t_7 (+ (* t_4 t_4) (* t_0 t_0)))
        (t_8 (* (floor h) dY.v))
        (t_9 (+ (* t_2 t_2) (* t_8 t_8)))
        (t_10 (/ 1.0 (sqrt (fmax t_7 t_9))))
        (t_11 (* dX.u (floor w)))
        (t_12 (fma t_1 (floor h) (* (* t_11 dX.u) (floor w))))
        (t_13 (fma t_1 (floor h) (* (* (* dX.u dX.u) (floor w)) (floor w))))
        (t_14 (/ (floor w) (sqrt (fmax t_13 t_6)))))
   (if (<= (if (>= t_7 t_9) (* t_10 t_4) (* t_10 t_2)) 0.9999979734420776)
     (if (>= t_12 t_3)
       (/ t_11 (sqrt (fmax t_12 t_3)))
       (/
        t_5
        (sqrt (fmax t_12 (fma (* dY.u dY.u) (* (floor w) (floor w)) t_3)))))
     (if (>= t_13 t_6) (* t_14 dX.u) (* t_14 dY.u)))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = floorf(h) * dX_46_v;
	float t_1 = (dX_46_v * floorf(h)) * dX_46_v;
	float t_2 = floorf(w) * dY_46_u;
	float t_3 = ((dY_46_v * floorf(h)) * dY_46_v) * floorf(h);
	float t_4 = floorf(w) * dX_46_u;
	float t_5 = dY_46_u * floorf(w);
	float t_6 = dY_46_u * (fabsf(t_5) * floorf(w));
	float t_7 = (t_4 * t_4) + (t_0 * t_0);
	float t_8 = floorf(h) * dY_46_v;
	float t_9 = (t_2 * t_2) + (t_8 * t_8);
	float t_10 = 1.0f / sqrtf(fmaxf(t_7, t_9));
	float t_11 = dX_46_u * floorf(w);
	float t_12 = fmaf(t_1, floorf(h), ((t_11 * dX_46_u) * floorf(w)));
	float t_13 = fmaf(t_1, floorf(h), (((dX_46_u * dX_46_u) * floorf(w)) * floorf(w)));
	float t_14 = floorf(w) / sqrtf(fmaxf(t_13, t_6));
	float tmp;
	if (t_7 >= t_9) {
		tmp = t_10 * t_4;
	} else {
		tmp = t_10 * t_2;
	}
	float tmp_2;
	if (tmp <= 0.9999979734420776f) {
		float tmp_3;
		if (t_12 >= t_3) {
			tmp_3 = t_11 / sqrtf(fmaxf(t_12, t_3));
		} else {
			tmp_3 = t_5 / sqrtf(fmaxf(t_12, fmaf((dY_46_u * dY_46_u), (floorf(w) * floorf(w)), t_3)));
		}
		tmp_2 = tmp_3;
	} else if (t_13 >= t_6) {
		tmp_2 = t_14 * dX_46_u;
	} else {
		tmp_2 = t_14 * dY_46_u;
	}
	return tmp_2;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(floor(h) * dX_46_v)
	t_1 = Float32(Float32(dX_46_v * floor(h)) * dX_46_v)
	t_2 = Float32(floor(w) * dY_46_u)
	t_3 = Float32(Float32(Float32(dY_46_v * floor(h)) * dY_46_v) * floor(h))
	t_4 = Float32(floor(w) * dX_46_u)
	t_5 = Float32(dY_46_u * floor(w))
	t_6 = Float32(dY_46_u * Float32(abs(t_5) * floor(w)))
	t_7 = Float32(Float32(t_4 * t_4) + Float32(t_0 * t_0))
	t_8 = Float32(floor(h) * dY_46_v)
	t_9 = Float32(Float32(t_2 * t_2) + Float32(t_8 * t_8))
	t_10 = Float32(Float32(1.0) / sqrt(fmax(t_7, t_9)))
	t_11 = Float32(dX_46_u * floor(w))
	t_12 = fma(t_1, floor(h), Float32(Float32(t_11 * dX_46_u) * floor(w)))
	t_13 = fma(t_1, floor(h), Float32(Float32(Float32(dX_46_u * dX_46_u) * floor(w)) * floor(w)))
	t_14 = Float32(floor(w) / sqrt(fmax(t_13, t_6)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_7 >= t_9)
		tmp = Float32(t_10 * t_4);
	else
		tmp = Float32(t_10 * t_2);
	end
	tmp_2 = Float32(0.0)
	if (tmp <= Float32(0.9999979734420776))
		tmp_3 = Float32(0.0)
		if (t_12 >= t_3)
			tmp_3 = Float32(t_11 / sqrt(fmax(t_12, t_3)));
		else
			tmp_3 = Float32(t_5 / sqrt(fmax(t_12, fma(Float32(dY_46_u * dY_46_u), Float32(floor(w) * floor(w)), t_3))));
		end
		tmp_2 = tmp_3;
	elseif (t_13 >= t_6)
		tmp_2 = Float32(t_14 * dX_46_u);
	else
		tmp_2 = Float32(t_14 * dY_46_u);
	end
	return tmp_2
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (if (>=.f32 (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dX.u) (*.f32 (floor.f32 w) dX.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dX.v) (*.f32 (floor.f32 h) dX.v))) (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dY.u) (*.f32 (floor.f32 w) dY.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dY.v) (*.f32 (floor.f32 h) dY.v)))) (*.f32 (/.f32 #s(literal 1 binary32) (sqrt.f32 (fmax.f32 (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dX.u) (*.f32 (floor.f32 w) dX.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dX.v) (*.f32 (floor.f32 h) dX.v))) (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dY.u) (*.f32 (floor.f32 w) dY.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dY.v) (*.f32 (floor.f32 h) dY.v)))))) (*.f32 (floor.f32 w) dX.u)) (*.f32 (/.f32 #s(literal 1 binary32) (sqrt.f32 (fmax.f32 (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dX.u) (*.f32 (floor.f32 w) dX.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dX.v) (*.f32 (floor.f32 h) dX.v))) (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dY.u) (*.f32 (floor.f32 w) dY.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dY.v) (*.f32 (floor.f32 h) dY.v)))))) (*.f32 (floor.f32 w) dY.u))) < 0.999997973

   1. Initial program 76.4%

      \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

   3. Applied rewrites 76.5%

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

   5. Applied rewrites 67.8%

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

   7. Applied rewrites 67.6%

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

   8. Taylor expanded in dY.u around 0

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \color{blue}{dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \color{blue}{\left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

      3. lower-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\color{blue}{\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|} \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor h\right\rfloor }\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

      5. lower-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{h}\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

      6. lower-floor.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

      7. lower-floor.f32 54.0

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

   10. Applied rewrites 54.0%

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \color{blue}{dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right), \left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|, \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

   11. Taylor expanded in dY.u around 0

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \color{blue}{dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), dY.v \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

       2. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \color{blue}{\left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

       3. lower-fabs.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\color{blue}{\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right|} \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

       4. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor h\right\rfloor }\right)\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

       5. lower-fabs.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{h}\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

       6. lower-floor.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

       7. lower-floor.f32 57.8

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

   13. Applied rewrites 57.8%

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \color{blue}{dY.v \cdot \left(\left|dY.v\right| \cdot \left(\left|\left\lfloor h\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }}\\ \end{array} \]

   15. Applied rewrites 68.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor :\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(dY.u \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ } \end{array}} \]

   if 0.999997973 < (if (>=.f32 (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dX.u) (*.f32 (floor.f32 w) dX.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dX.v) (*.f32 (floor.f32 h) dX.v))) (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dY.u) (*.f32 (floor.f32 w) dY.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dY.v) (*.f32 (floor.f32 h) dY.v)))) (*.f32 (/.f32 #s(literal 1 binary32) (sqrt.f32 (fmax.f32 (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dX.u) (*.f32 (floor.f32 w) dX.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dX.v) (*.f32 (floor.f32 h) dX.v))) (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dY.u) (*.f32 (floor.f32 w) dY.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dY.v) (*.f32 (floor.f32 h) dY.v)))))) (*.f32 (floor.f32 w) dX.u)) (*.f32 (/.f32 #s(literal 1 binary32) (sqrt.f32 (fmax.f32 (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dX.u) (*.f32 (floor.f32 w) dX.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dX.v) (*.f32 (floor.f32 h) dX.v))) (+.f32 (*.f32 (*.f32 (floor.f32 w) dY.u) (*.f32 (floor.f32 w) dY.u)) (*.f32 (*.f32 (floor.f32 h) dY.v) (*.f32 (floor.f32 h) dY.v)))))) (*.f32 (floor.f32 w) dY.u)))

   1. Initial program 76.4%

      \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

   3. Applied rewrites 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ } \end{array}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      9. lower-*.f32 76.3

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   5. Applied rewrites 76.3%

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      9. lower-*.f32 76.3

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   7. Applied rewrites 76.3%

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

      9. lower-*.f32 76.3

         \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   9. Applied rewrites 76.3%

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       3. lift-*.f32 76.3

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       4. rem-exp-log N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       5. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       7. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       8. lift-log.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       9. exp-fabs N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       10. lift-log.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       11. lift-*.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       13. lift-*.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       14. rem-exp-log N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       15. lower-fabs.f32 68.6

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       16. lift-*.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       17. *-commutative N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       18. lift-*.f32 68.6

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   11. Applied rewrites 68.6%

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       3. lift-*.f32 68.6

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       4. rem-exp-log N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       5. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       7. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       8. lift-log.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       9. exp-fabs N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       10. lift-log.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       11. lift-*.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       13. lift-*.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       14. rem-exp-log N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       15. lower-fabs.f32 70.7

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       16. lift-*.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       17. *-commutative N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       18. lift-*.f32 70.7

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   13. Applied rewrites 70.7%

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       3. lift-*.f32 70.7

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       4. rem-exp-log N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       5. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       7. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       8. lift-log.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       9. exp-fabs N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       10. lift-log.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       11. lift-*.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       13. lift-*.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       14. rem-exp-log N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       15. lower-fabs.f32 70.4

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       16. lift-*.f32 N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       17. *-commutative N/A

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       18. lift-*.f32 70.4

           \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   15. Applied rewrites 70.4%

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   16. Taylor expanded in dY.u around inf

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
   17. Step-by-step derivation

       1. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       2. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       3. lower-fabs.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{w}\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       4. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       5. lower-floor.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       6. lower-floor.f32 56.4

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   18. Applied rewrites 56.4%

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   19. Taylor expanded in dY.u around inf

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
   20. Step-by-step derivation

       1. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       2. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       3. lower-fabs.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{w}\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       4. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       5. lower-floor.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       6. lower-floor.f32 56.1

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   21. Applied rewrites 56.1%

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   22. Taylor expanded in dY.u around inf

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
   23. Step-by-step derivation

       1. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       2. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       3. lower-fabs.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       4. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       5. lower-floor.f32 N/A

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

       6. lower-floor.f32 53.2

          \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   24. Applied rewrites 53.2%

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 53.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_2 := \frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_1, t\_0\right)}}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \geq t\_0:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot dY.u\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* dY.u (* (fabs (* dY.u (floor w))) (floor w))))
        (t_1
         (fma
          (* (* dX.v (floor h)) dX.v)
          (floor h)
          (* (* (* dX.u dX.u) (floor w)) (floor w))))
        (t_2 (/ (floor w) (sqrt (fmax t_1 t_0)))))
   (if (>= t_1 t_0) (* t_2 dX.u) (* t_2 dY.u))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = dY_46_u * (fabsf((dY_46_u * floorf(w))) * floorf(w));
	float t_1 = fmaf(((dX_46_v * floorf(h)) * dX_46_v), floorf(h), (((dX_46_u * dX_46_u) * floorf(w)) * floorf(w)));
	float t_2 = floorf(w) / sqrtf(fmaxf(t_1, t_0));
	float tmp;
	if (t_1 >= t_0) {
		tmp = t_2 * dX_46_u;
	} else {
		tmp = t_2 * dY_46_u;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(dY_46_u * Float32(abs(Float32(dY_46_u * floor(w))) * floor(w)))
	t_1 = fma(Float32(Float32(dX_46_v * floor(h)) * dX_46_v), floor(h), Float32(Float32(Float32(dX_46_u * dX_46_u) * floor(w)) * floor(w)))
	t_2 = Float32(floor(w) / sqrt(fmax(t_1, t_0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_1 >= t_0)
		tmp = Float32(t_2 * dX_46_u);
	else
		tmp = Float32(t_2 * dY_46_u);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.4%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ } \end{array}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   9. lower-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

5. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   9. lower-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\color{blue}{\left(dX.u \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

7. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dX.u \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

   9. lower-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

9. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
10. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    3. lift-*.f32 76.3

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    4. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    7. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    8. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    9. exp-fabs N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    10. lift-log.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    11. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    13. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    14. rem-exp-log N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    15. lower-fabs.f32 68.6

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    16. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    18. lift-*.f32 68.6

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

11. Applied rewrites 68.6%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
12. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    3. lift-*.f32 68.6

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    4. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    7. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    8. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    9. exp-fabs N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    10. lift-log.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    11. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    13. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    14. rem-exp-log N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    15. lower-fabs.f32 70.7

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    16. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    18. lift-*.f32 70.7

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

13. Applied rewrites 70.7%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
14. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    3. lift-*.f32 70.7

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    4. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    7. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    8. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    9. exp-fabs N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    10. lift-log.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    11. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    13. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    14. rem-exp-log N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    15. lower-fabs.f32 70.4

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    16. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    18. lift-*.f32 70.4

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

15. Applied rewrites 70.4%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

16. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
17. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{w}\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 56.4

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

18. Applied rewrites 56.4%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

19. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
20. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{w}\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 56.1

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

21. Applied rewrites 56.1%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

22. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
23. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 53.2

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

24. Applied rewrites 53.2%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
25. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2025162 
(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
  :name "Anisotropic x16 LOD (line direction, u)"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (and (<= 1.0 w) (<= w 16384.0)) (and (<= 1.0 h) (<= h 16384.0))) (and (<= 1e-20 (fabs dX.u)) (<= (fabs dX.u) 1e+20))) (and (<= 1e-20 (fabs dX.v)) (<= (fabs dX.v) 1e+20))) (and (<= 1e-20 (fabs dY.u)) (<= (fabs dY.u) 1e+20))) (and (<= 1e-20 (fabs dY.v)) (<= (fabs dY.v) 1e+20))) (== maxAniso 16.0))
  (if (>= (+ (* (* (floor w) dX.u) (* (floor w) dX.u)) (* (* (floor h) dX.v) (* (floor h) dX.v))) (+ (* (* (floor w) dY.u) (* (floor w) dY.u)) (* (* (floor h) dY.v) (* (floor h) dY.v)))) (* (/ 1.0 (sqrt (fmax (+ (* (* (floor w) dX.u) (* (floor w) dX.u)) (* (* (floor h) dX.v) (* (floor h) dX.v))) (+ (* (* (floor w) dY.u) (* (floor w) dY.u)) (* (* (floor h) dY.v) (* (floor h) dY.v)))))) (* (floor w) dX.u)) (* (/ 1.0 (sqrt (fmax (+ (* (* (floor w) dX.u) (* (floor w) dX.u)) (* (* (floor h) dX.v) (* (floor h) dX.v))) (+ (* (* (floor w) dY.u) (* (floor w) dY.u)) (* (* (floor h) dY.v) (* (floor h) dY.v)))))) (* (floor w) dY.u))))