Anisotropic x16 LOD (line direction, u)

Percentage Accurate: 76.1% → 76.3%

Time: 14.0s

Alternatives: 8

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(\left(1 \leq w \land w \leq 16384\right) \land \left(1 \leq h \land h \leq 16384\right)\right) \land \left(10^{-20} \leq \left|dX.u\right| \land \left|dX.u\right| \leq 10^{+20}\right)\right) \land \left(10^{-20} \leq \left|dX.v\right| \land \left|dX.v\right| \leq 10^{+20}\right)\right) \land \left(10^{-20} \leq \left|dY.u\right| \land \left|dY.u\right| \leq 10^{+20}\right)\right) \land \left(10^{-20} \leq \left|dY.v\right| \land \left|dY.v\right| \leq 10^{+20}\right)\right) \land maxAniso = 16\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\\ t_1 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\\ t_2 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\\ t_3 := t\_2 \cdot t\_2 + t\_0 \cdot t\_0\\ t_4 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\\ t_5 := t\_1 \cdot t\_1 + t\_4 \cdot t\_4\\ t_6 := \frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_3, t\_5\right)}}\\ \mathbf{if}\;t\_3 \geq t\_5:\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot t\_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (floor h) dX.v))
        (t_1 (* (floor w) dY.u))
        (t_2 (* (floor w) dX.u))
        (t_3 (+ (* t_2 t_2) (* t_0 t_0)))
        (t_4 (* (floor h) dY.v))
        (t_5 (+ (* t_1 t_1) (* t_4 t_4)))
        (t_6 (/ 1.0 (sqrt (fmax t_3 t_5)))))
   (if (>= t_3 t_5) (* t_6 t_2) (* t_6 t_1))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = floorf(h) * dX_46_v;
	float t_1 = floorf(w) * dY_46_u;
	float t_2 = floorf(w) * dX_46_u;
	float t_3 = (t_2 * t_2) + (t_0 * t_0);
	float t_4 = floorf(h) * dY_46_v;
	float t_5 = (t_1 * t_1) + (t_4 * t_4);
	float t_6 = 1.0f / sqrtf(fmaxf(t_3, t_5));
	float tmp;
	if (t_3 >= t_5) {
		tmp = t_6 * t_2;
	} else {
		tmp = t_6 * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(floor(h) * dX_46_v)
	t_1 = Float32(floor(w) * dY_46_u)
	t_2 = Float32(floor(w) * dX_46_u)
	t_3 = Float32(Float32(t_2 * t_2) + Float32(t_0 * t_0))
	t_4 = Float32(floor(h) * dY_46_v)
	t_5 = Float32(Float32(t_1 * t_1) + Float32(t_4 * t_4))
	t_6 = Float32(Float32(1.0) / sqrt(fmax(t_3, t_5)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_3 >= t_5)
		tmp = Float32(t_6 * t_2);
	else
		tmp = Float32(t_6 * t_1);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = floor(h) * dX_46_v;
	t_1 = floor(w) * dY_46_u;
	t_2 = floor(w) * dX_46_u;
	t_3 = (t_2 * t_2) + (t_0 * t_0);
	t_4 = floor(h) * dY_46_v;
	t_5 = (t_1 * t_1) + (t_4 * t_4);
	t_6 = single(1.0) / sqrt(max(t_3, t_5));
	tmp = single(0.0);
	if (t_3 >= t_5)
		tmp = t_6 * t_2;
	else
		tmp = t_6 * t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Initial Program: 76.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\\ t_1 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\\ t_2 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\\ t_3 := t\_2 \cdot t\_2 + t\_0 \cdot t\_0\\ t_4 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\\ t_5 := t\_1 \cdot t\_1 + t\_4 \cdot t\_4\\ t_6 := \frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_3, t\_5\right)}}\\ \mathbf{if}\;t\_3 \geq t\_5:\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot t\_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (floor h) dX.v))
        (t_1 (* (floor w) dY.u))
        (t_2 (* (floor w) dX.u))
        (t_3 (+ (* t_2 t_2) (* t_0 t_0)))
        (t_4 (* (floor h) dY.v))
        (t_5 (+ (* t_1 t_1) (* t_4 t_4)))
        (t_6 (/ 1.0 (sqrt (fmax t_3 t_5)))))
   (if (>= t_3 t_5) (* t_6 t_2) (* t_6 t_1))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = floorf(h) * dX_46_v;
	float t_1 = floorf(w) * dY_46_u;
	float t_2 = floorf(w) * dX_46_u;
	float t_3 = (t_2 * t_2) + (t_0 * t_0);
	float t_4 = floorf(h) * dY_46_v;
	float t_5 = (t_1 * t_1) + (t_4 * t_4);
	float t_6 = 1.0f / sqrtf(fmaxf(t_3, t_5));
	float tmp;
	if (t_3 >= t_5) {
		tmp = t_6 * t_2;
	} else {
		tmp = t_6 * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(floor(h) * dX_46_v)
	t_1 = Float32(floor(w) * dY_46_u)
	t_2 = Float32(floor(w) * dX_46_u)
	t_3 = Float32(Float32(t_2 * t_2) + Float32(t_0 * t_0))
	t_4 = Float32(floor(h) * dY_46_v)
	t_5 = Float32(Float32(t_1 * t_1) + Float32(t_4 * t_4))
	t_6 = Float32(Float32(1.0) / sqrt(fmax(t_3, t_5)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_3 >= t_5)
		tmp = Float32(t_6 * t_2);
	else
		tmp = Float32(t_6 * t_1);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = floor(h) * dX_46_v;
	t_1 = floor(w) * dY_46_u;
	t_2 = floor(w) * dX_46_u;
	t_3 = (t_2 * t_2) + (t_0 * t_0);
	t_4 = floor(h) * dY_46_v;
	t_5 = (t_1 * t_1) + (t_4 * t_4);
	t_6 = single(1.0) / sqrt(max(t_3, t_5));
	tmp = single(0.0);
	if (t_3 >= t_5)
		tmp = t_6 * t_2;
	else
		tmp = t_6 * t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Alternative 1: 76.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(t\_0 \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_2 := dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_3 := \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v, dY.v, t\_2 \cdot t\_2\right)\\ t_4 := \sqrt{\mathsf{max}\left(t\_1, t\_3\right)}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \geq t\_3:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{t\_4}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{t\_4}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* dX.u (floor w)))
        (t_1
         (fma
          (* (* dX.v (floor h)) dX.v)
          (floor h)
          (* (* t_0 dX.u) (floor w))))
        (t_2 (* dY.u (floor w)))
        (t_3 (fma (* (* (floor h) (floor h)) dY.v) dY.v (* t_2 t_2)))
        (t_4 (sqrt (fmax t_1 t_3))))
   (if (>= t_1 t_3) (/ t_0 t_4) (/ t_2 t_4))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = dX_46_u * floorf(w);
	float t_1 = fmaf(((dX_46_v * floorf(h)) * dX_46_v), floorf(h), ((t_0 * dX_46_u) * floorf(w)));
	float t_2 = dY_46_u * floorf(w);
	float t_3 = fmaf(((floorf(h) * floorf(h)) * dY_46_v), dY_46_v, (t_2 * t_2));
	float t_4 = sqrtf(fmaxf(t_1, t_3));
	float tmp;
	if (t_1 >= t_3) {
		tmp = t_0 / t_4;
	} else {
		tmp = t_2 / t_4;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(dX_46_u * floor(w))
	t_1 = fma(Float32(Float32(dX_46_v * floor(h)) * dX_46_v), floor(h), Float32(Float32(t_0 * dX_46_u) * floor(w)))
	t_2 = Float32(dY_46_u * floor(w))
	t_3 = fma(Float32(Float32(floor(h) * floor(h)) * dY_46_v), dY_46_v, Float32(t_2 * t_2))
	t_4 = sqrt(fmax(t_1, t_3))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_1 >= t_3)
		tmp = Float32(t_0 / t_4);
	else
		tmp = Float32(t_2 / t_4);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.1%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ } \end{array}} \]

5. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v, dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

7. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v, dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v, dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

9. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v, dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v, dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v, dY.v, \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 76.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_1 := dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_2 := \mathsf{fma}\left(t\_1 \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(t\_0 \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_4 := \sqrt{\mathsf{max}\left(t\_3, t\_2\right)}\\ \mathbf{if}\;t\_3 \geq t\_2:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{t\_4}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{t\_4}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* dX.u (floor w)))
        (t_1 (* dY.u (floor w)))
        (t_2
         (fma
          (* t_1 dY.u)
          (floor w)
          (* (* (floor h) (floor h)) (* dY.v dY.v))))
        (t_3
         (fma
          (* (* dX.v (floor h)) dX.v)
          (floor h)
          (* (* t_0 dX.u) (floor w))))
        (t_4 (sqrt (fmax t_3 t_2))))
   (if (>= t_3 t_2) (/ t_0 t_4) (/ t_1 t_4))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = dX_46_u * floorf(w);
	float t_1 = dY_46_u * floorf(w);
	float t_2 = fmaf((t_1 * dY_46_u), floorf(w), ((floorf(h) * floorf(h)) * (dY_46_v * dY_46_v)));
	float t_3 = fmaf(((dX_46_v * floorf(h)) * dX_46_v), floorf(h), ((t_0 * dX_46_u) * floorf(w)));
	float t_4 = sqrtf(fmaxf(t_3, t_2));
	float tmp;
	if (t_3 >= t_2) {
		tmp = t_0 / t_4;
	} else {
		tmp = t_1 / t_4;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(dX_46_u * floor(w))
	t_1 = Float32(dY_46_u * floor(w))
	t_2 = fma(Float32(t_1 * dY_46_u), floor(w), Float32(Float32(floor(h) * floor(h)) * Float32(dY_46_v * dY_46_v)))
	t_3 = fma(Float32(Float32(dX_46_v * floor(h)) * dX_46_v), floor(h), Float32(Float32(t_0 * dX_46_u) * floor(w)))
	t_4 = sqrt(fmax(t_3, t_2))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_3 >= t_2)
		tmp = Float32(t_0 / t_4);
	else
		tmp = Float32(t_1 / t_4);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.1%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ } \end{array}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right)} \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. swap-sqr N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(dY.v \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. pow2 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(dY.v \cdot dY.v\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2}}\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)}\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)}\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lower-*.f32 76.3

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \color{blue}{\left(dY.v \cdot dY.v\right)}\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

5. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)}\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right)} \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. swap-sqr N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(dY.v \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)}\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. pow2 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(dY.v \cdot dY.v\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2}}\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)}\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)}\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lower-*.f32 76.3

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \color{blue}{\left(dY.v \cdot dY.v\right)}\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

7. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)}\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. swap-sqr N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(dY.v \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. pow2 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(dY.v \cdot dY.v\right) \cdot {\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2}\right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , {\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , {\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lower-*.f32 76.3

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]

9. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.v \cdot dY.v\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 76.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\\ t_1 := dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_2 := \mathsf{fma}\left(t\_1 \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, t\_0 \cdot t\_0\right)\\ t_4 := \sqrt{\mathsf{max}\left(t\_3, t\_2\right)}\\ \mathbf{if}\;t\_3 \geq t\_2:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{t\_4}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{t\_4}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (floor w) dX.u))
        (t_1 (* dY.u (floor w)))
        (t_2
         (fma
          (* t_1 dY.u)
          (floor w)
          (* (* (* dY.v (floor h)) dY.v) (floor h))))
        (t_3 (fma (* (floor h) (floor h)) (* dX.v dX.v) (* t_0 t_0)))
        (t_4 (sqrt (fmax t_3 t_2))))
   (if (>= t_3 t_2) (/ (* dX.u (floor w)) t_4) (/ t_1 t_4))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = floorf(w) * dX_46_u;
	float t_1 = dY_46_u * floorf(w);
	float t_2 = fmaf((t_1 * dY_46_u), floorf(w), (((dY_46_v * floorf(h)) * dY_46_v) * floorf(h)));
	float t_3 = fmaf((floorf(h) * floorf(h)), (dX_46_v * dX_46_v), (t_0 * t_0));
	float t_4 = sqrtf(fmaxf(t_3, t_2));
	float tmp;
	if (t_3 >= t_2) {
		tmp = (dX_46_u * floorf(w)) / t_4;
	} else {
		tmp = t_1 / t_4;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(floor(w) * dX_46_u)
	t_1 = Float32(dY_46_u * floor(w))
	t_2 = fma(Float32(t_1 * dY_46_u), floor(w), Float32(Float32(Float32(dY_46_v * floor(h)) * dY_46_v) * floor(h)))
	t_3 = fma(Float32(floor(h) * floor(h)), Float32(dX_46_v * dX_46_v), Float32(t_0 * t_0))
	t_4 = sqrt(fmax(t_3, t_2))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_3 >= t_2)
		tmp = Float32(Float32(dX_46_u * floor(w)) / t_4);
	else
		tmp = Float32(t_1 / t_4);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.1%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ } \end{array}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\color{blue}{\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor } \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor } \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\color{blue}{\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v\right)} \cdot \left\lfloor h\right\rfloor + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\color{blue}{\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\color{blue}{\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot \left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. swap-sqr N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\color{blue}{\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2}} + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\color{blue}{{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right)} + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)} \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)} \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)} \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)} \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)} \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2}, dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right)} \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

5. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right)} \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\color{blue}{\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }, \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor + \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }, \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\color{blue}{\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v\right)} \cdot \left\lfloor h\right\rfloor + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot \left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. swap-sqr N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2}} + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\color{blue}{{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right)} + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right)} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}, \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)} \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)} \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}, \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}, \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)}, \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2}, dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right)}, \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

7. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right)}, \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\color{blue}{dY.u} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot \left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. swap-sqr N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot {\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor , \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2} \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right) + \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\color{blue}{dY.u} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\left\lfloor h\right\rfloor \right)}^{2}, dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

9. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\color{blue}{dY.u} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dX.v \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 76.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \\ t_1 := dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_2 := \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_0, t\_1 \cdot t\_1\right)\\ t_3 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\\ t_4 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\\ t_5 := \mathsf{fma}\left(t\_4, t\_4, t\_3 \cdot t\_3\right)\\ t_6 := \frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(t\_5, t\_2\right)}}\\ \mathbf{if}\;t\_5 \geq t\_2:\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot dY.u\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* dY.v (floor h)))
        (t_1 (* dY.u (floor w)))
        (t_2 (fma t_0 t_0 (* t_1 t_1)))
        (t_3 (* (floor w) dX.u))
        (t_4 (* (floor h) dX.v))
        (t_5 (fma t_4 t_4 (* t_3 t_3)))
        (t_6 (/ (floor w) (sqrt (fmax t_5 t_2)))))
   (if (>= t_5 t_2) (* t_6 dX.u) (* t_6 dY.u))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = dY_46_v * floorf(h);
	float t_1 = dY_46_u * floorf(w);
	float t_2 = fmaf(t_0, t_0, (t_1 * t_1));
	float t_3 = floorf(w) * dX_46_u;
	float t_4 = floorf(h) * dX_46_v;
	float t_5 = fmaf(t_4, t_4, (t_3 * t_3));
	float t_6 = floorf(w) / sqrtf(fmaxf(t_5, t_2));
	float tmp;
	if (t_5 >= t_2) {
		tmp = t_6 * dX_46_u;
	} else {
		tmp = t_6 * dY_46_u;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(dY_46_v * floor(h))
	t_1 = Float32(dY_46_u * floor(w))
	t_2 = fma(t_0, t_0, Float32(t_1 * t_1))
	t_3 = Float32(floor(w) * dX_46_u)
	t_4 = Float32(floor(h) * dX_46_v)
	t_5 = fma(t_4, t_4, Float32(t_3 * t_3))
	t_6 = Float32(floor(w) / sqrt(fmax(t_5, t_2)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_5 >= t_2)
		tmp = Float32(t_6 * dX_46_u);
	else
		tmp = Float32(t_6 * dY_46_u);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.1%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ } \end{array}} \]

5. Applied rewrites 76.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dY.u\\ } \end{array}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 76.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \\ t_1 := dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_2 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\\ t_3 := \left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\\ t_4 := t\_3 \cdot t\_3\\ t_5 := \left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \\ t_6 := \frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(dX.v \cdot dX.v, t\_5, t\_4\right), \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot dY.v, t\_5, \left(t\_1 \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(t\_2, t\_2, t\_4\right) \geq \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_0, t\_1 \cdot t\_1\right):\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_6 \cdot dY.u\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* dY.v (floor h)))
        (t_1 (* dY.u (floor w)))
        (t_2 (* (floor h) dX.v))
        (t_3 (* (floor w) dX.u))
        (t_4 (* t_3 t_3))
        (t_5 (* (floor h) (floor h)))
        (t_6
         (/
          (floor w)
          (sqrt
           (fmax
            (fma (* dX.v dX.v) t_5 t_4)
            (fma (* dY.v dY.v) t_5 (* (* t_1 dY.u) (floor w))))))))
   (if (>= (fma t_2 t_2 t_4) (fma t_0 t_0 (* t_1 t_1)))
     (* t_6 dX.u)
     (* t_6 dY.u))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = dY_46_v * floorf(h);
	float t_1 = dY_46_u * floorf(w);
	float t_2 = floorf(h) * dX_46_v;
	float t_3 = floorf(w) * dX_46_u;
	float t_4 = t_3 * t_3;
	float t_5 = floorf(h) * floorf(h);
	float t_6 = floorf(w) / sqrtf(fmaxf(fmaf((dX_46_v * dX_46_v), t_5, t_4), fmaf((dY_46_v * dY_46_v), t_5, ((t_1 * dY_46_u) * floorf(w)))));
	float tmp;
	if (fmaf(t_2, t_2, t_4) >= fmaf(t_0, t_0, (t_1 * t_1))) {
		tmp = t_6 * dX_46_u;
	} else {
		tmp = t_6 * dY_46_u;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(dY_46_v * floor(h))
	t_1 = Float32(dY_46_u * floor(w))
	t_2 = Float32(floor(h) * dX_46_v)
	t_3 = Float32(floor(w) * dX_46_u)
	t_4 = Float32(t_3 * t_3)
	t_5 = Float32(floor(h) * floor(h))
	t_6 = Float32(floor(w) / sqrt(fmax(fma(Float32(dX_46_v * dX_46_v), t_5, t_4), fma(Float32(dY_46_v * dY_46_v), t_5, Float32(Float32(t_1 * dY_46_u) * floor(w))))))
	tmp = Float32(0.0)
	if (fma(t_2, t_2, t_4) >= fma(t_0, t_0, Float32(t_1 * t_1)))
		tmp = Float32(t_6 * dX_46_u);
	else
		tmp = Float32(t_6 * dY_46_u);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.1%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ } \end{array}} \]

5. Applied rewrites 76.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dY.u\\ } \end{array}} \]

7. Applied rewrites 76.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\color{blue}{\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(dX.v \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot dY.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]

9. Applied rewrites 76.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v, \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right) \geq \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right):\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(dX.v \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot dY.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dX.u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(dX.v \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\right), \mathsf{fma}\left(dY.v \cdot dY.v, \left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}} \cdot dY.u\\ \end{array} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 53.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_1 := dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_2 := \left|t\_1\right|\\ t_3 := t\_1 \cdot t\_2\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(t\_0 \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_5 := \sqrt{\mathsf{max}\left(t\_4, t\_3\right)}\\ \mathbf{if}\;t\_4 \geq t\_3:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{t\_5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{t\_5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* dX.u (floor w)))
        (t_1 (* dY.u (floor w)))
        (t_2 (fabs t_1))
        (t_3 (* t_1 t_2))
        (t_4
         (fma
          (* (* dX.v (floor h)) dX.v)
          (floor h)
          (* (* t_0 dX.u) (floor w))))
        (t_5 (sqrt (fmax t_4 t_3))))
   (if (>= t_4 t_3) (/ t_0 t_5) (/ t_2 t_5))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = dX_46_u * floorf(w);
	float t_1 = dY_46_u * floorf(w);
	float t_2 = fabsf(t_1);
	float t_3 = t_1 * t_2;
	float t_4 = fmaf(((dX_46_v * floorf(h)) * dX_46_v), floorf(h), ((t_0 * dX_46_u) * floorf(w)));
	float t_5 = sqrtf(fmaxf(t_4, t_3));
	float tmp;
	if (t_4 >= t_3) {
		tmp = t_0 / t_5;
	} else {
		tmp = t_2 / t_5;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(dX_46_u * floor(w))
	t_1 = Float32(dY_46_u * floor(w))
	t_2 = abs(t_1)
	t_3 = Float32(t_1 * t_2)
	t_4 = fma(Float32(Float32(dX_46_v * floor(h)) * dX_46_v), floor(h), Float32(Float32(t_0 * dX_46_u) * floor(w)))
	t_5 = sqrt(fmax(t_4, t_3))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_4 >= t_3)
		tmp = Float32(t_0 / t_5);
	else
		tmp = Float32(t_2 / t_5);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.1%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ } \end{array}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lift-log.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. exp-fabs N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lower-fabs.f32 67.5

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   18. lift-*.f32 67.5

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

5. Applied rewrites 67.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 67.5

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lift-log.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. exp-fabs N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lower-fabs.f32 69.9

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   18. lift-*.f32 69.9

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

7. Applied rewrites 69.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 69.9

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lift-log.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. exp-fabs N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lower-fabs.f32 61.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   18. lift-*.f32 61.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

9. Applied rewrites 61.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
10. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lift-*.f32 61.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    7. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    8. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    9. exp-fabs N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    10. lift-log.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    11. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    13. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    14. rem-exp-log N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    15. lower-fabs.f32 61.8

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    16. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    18. lift-*.f32 61.8

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

11. Applied rewrites 61.8%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

12. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
13. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{w}\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 56.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

14. Applied rewrites 56.8%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

15. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
16. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{w}\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 56.4

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

17. Applied rewrites 56.4%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

18. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
19. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 53.6

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

20. Applied rewrites 53.6%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
21. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot \color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-*.f32 53.6

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

22. Applied rewrites 53.6%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
23. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot \color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right|\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-*.f32 53.6

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

24. Applied rewrites 53.6%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
25. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-*.f32 53.6

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)}}\\ \end{array} \]

26. Applied rewrites 53.6%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\right)}}\\ \end{array} \]
27. Add Preprocessing

Alternative 7: 53.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_1 := \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\\ t_2 := dY.u \cdot \left(t\_1 \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(t\_0 \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_4 := \sqrt{\mathsf{max}\left(t\_3, t\_2\right)}\\ \mathbf{if}\;t\_3 \geq t\_2:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{t\_4}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{t\_4}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* dX.u (floor w)))
        (t_1 (fabs (* dY.u (floor w))))
        (t_2 (* dY.u (* t_1 (floor w))))
        (t_3
         (fma
          (* (* dX.v (floor h)) dX.v)
          (floor h)
          (* (* t_0 dX.u) (floor w))))
        (t_4 (sqrt (fmax t_3 t_2))))
   (if (>= t_3 t_2) (/ t_0 t_4) (/ t_1 t_4))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = dX_46_u * floorf(w);
	float t_1 = fabsf((dY_46_u * floorf(w)));
	float t_2 = dY_46_u * (t_1 * floorf(w));
	float t_3 = fmaf(((dX_46_v * floorf(h)) * dX_46_v), floorf(h), ((t_0 * dX_46_u) * floorf(w)));
	float t_4 = sqrtf(fmaxf(t_3, t_2));
	float tmp;
	if (t_3 >= t_2) {
		tmp = t_0 / t_4;
	} else {
		tmp = t_1 / t_4;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(dX_46_u * floor(w))
	t_1 = abs(Float32(dY_46_u * floor(w)))
	t_2 = Float32(dY_46_u * Float32(t_1 * floor(w)))
	t_3 = fma(Float32(Float32(dX_46_v * floor(h)) * dX_46_v), floor(h), Float32(Float32(t_0 * dX_46_u) * floor(w)))
	t_4 = sqrt(fmax(t_3, t_2))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_3 >= t_2)
		tmp = Float32(t_0 / t_4);
	else
		tmp = Float32(t_1 / t_4);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.1%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ } \end{array}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lift-log.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. exp-fabs N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lower-fabs.f32 67.5

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   18. lift-*.f32 67.5

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

5. Applied rewrites 67.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 67.5

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lift-log.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. exp-fabs N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lower-fabs.f32 69.9

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   18. lift-*.f32 69.9

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

7. Applied rewrites 69.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 69.9

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lift-log.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. exp-fabs N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lower-fabs.f32 61.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   18. lift-*.f32 61.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

9. Applied rewrites 61.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
10. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lift-*.f32 61.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    7. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    8. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    9. exp-fabs N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    10. lift-log.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    11. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    13. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    14. rem-exp-log N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    15. lower-fabs.f32 61.8

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    16. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    18. lift-*.f32 61.8

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

11. Applied rewrites 61.8%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

12. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
13. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{w}\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 56.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

14. Applied rewrites 56.8%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

15. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
16. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{w}\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 56.4

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

17. Applied rewrites 56.4%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

18. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
19. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 53.6

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

20. Applied rewrites 53.6%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
21. Add Preprocessing

Alternative 8: 53.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \\ t_1 := \left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|\\ t_2 := dY.u \cdot \left(t\_1 \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(t\_0 \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\\ t_4 := \sqrt{\mathsf{max}\left(t\_3, t\_2\right)}\\ \mathbf{if}\;t\_3 \geq t\_2:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{t\_4}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{t\_4}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* dX.u (floor w)))
        (t_1 (fabs (* dY.u (floor w))))
        (t_2 (* dY.u (* t_1 (floor w))))
        (t_3
         (fma
          (* (* dX.v dX.v) (floor h))
          (floor h)
          (* (* t_0 dX.u) (floor w))))
        (t_4 (sqrt (fmax t_3 t_2))))
   (if (>= t_3 t_2) (/ t_0 t_4) (/ t_1 t_4))))

C

float code(float w, float h, float dX_46_u, float dX_46_v, float dY_46_u, float dY_46_v, float maxAniso) {
	float t_0 = dX_46_u * floorf(w);
	float t_1 = fabsf((dY_46_u * floorf(w)));
	float t_2 = dY_46_u * (t_1 * floorf(w));
	float t_3 = fmaf(((dX_46_v * dX_46_v) * floorf(h)), floorf(h), ((t_0 * dX_46_u) * floorf(w)));
	float t_4 = sqrtf(fmaxf(t_3, t_2));
	float tmp;
	if (t_3 >= t_2) {
		tmp = t_0 / t_4;
	} else {
		tmp = t_1 / t_4;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(w, h, dX_46_u, dX_46_v, dY_46_u, dY_46_v, maxAniso)
	t_0 = Float32(dX_46_u * floor(w))
	t_1 = abs(Float32(dY_46_u * floor(w)))
	t_2 = Float32(dY_46_u * Float32(t_1 * floor(w)))
	t_3 = fma(Float32(Float32(dX_46_v * dX_46_v) * floor(h)), floor(h), Float32(Float32(t_0 * dX_46_u) * floor(w)))
	t_4 = sqrt(fmax(t_3, t_2))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_3 >= t_2)
		tmp = Float32(t_0 / t_4);
	else
		tmp = Float32(t_1 / t_4);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Initial program 76.1%

   \[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \geq \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right):\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dX.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right), \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) + \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right) \cdot \left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dY.v\right)\right)}} \cdot \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)\\ \end{array} \]

3. Applied rewrites 76.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ } \end{array}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 76.3

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lift-log.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. exp-fabs N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lower-fabs.f32 67.5

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   18. lift-*.f32 67.5

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

5. Applied rewrites 67.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 67.5

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lift-log.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. exp-fabs N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\color{blue}{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \color{blue}{\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lower-fabs.f32 69.9

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   18. lift-*.f32 69.9

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\color{blue}{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

7. Applied rewrites 69.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   3. lift-*.f32 69.9

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   4. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   8. lift-log.f32 N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   9. exp-fabs N/A

      \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   10. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   11. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   14. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   15. lower-fabs.f32 61.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   16. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

   18. lift-*.f32 61.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

9. Applied rewrites 61.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
10. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lift-*.f32 61.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right) \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    7. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    8. lift-log.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)} \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    9. exp-fabs N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    10. lift-log.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    11. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    13. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|e^{\log \left(\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right)}\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    14. rem-exp-log N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    15. lower-fabs.f32 61.8

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    16. lift-*.f32 N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|\left\lfloor w\right\rfloor \cdot dY.u\right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    18. lift-*.f32 61.8

        \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

11. Applied rewrites 61.8%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

12. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
13. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{w}\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 56.8

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

14. Applied rewrites 56.8%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}:\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

15. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
16. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \color{blue}{\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \color{blue}{\left\lfloor w\right\rfloor }\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor \color{blue}{w}\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 56.4

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

17. Applied rewrites 56.4%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \color{blue}{dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), \mathsf{fma}\left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot dY.u, \left\lfloor w\right\rfloor , \left(\left(dY.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dY.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

18. Taylor expanded in dY.u around inf

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
19. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. lower-fabs.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lower-floor.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. lower-floor.f32 53.6

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

20. Applied rewrites 53.6%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
21. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v}, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right)} \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right)}, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \color{blue}{\left(dX.v \cdot dX.v\right)}, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    7. lower-*.f32 53.6

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

22. Applied rewrites 53.6%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
23. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v}, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right)} \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right)} \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right)}, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \color{blue}{\left(dX.v \cdot dX.v\right)}, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    7. lower-*.f32 53.6

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

24. Applied rewrites 53.6%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor }, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
25. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\color{blue}{dY.u} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    2. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot \left\lfloor h\right\rfloor \right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot dX.v\right) \cdot dX.v, \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\color{blue}{dY.u} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right), \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    5. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left\lfloor h\right\rfloor \cdot \left(dX.v \cdot dX.v\right), \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\color{blue}{dY.u} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

    7. lower-*.f32 53.6

       \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\color{blue}{dY.u} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]

26. Applied rewrites 53.6%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \geq dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right):\\ \;\;\;\;\frac{dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor }{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left|\color{blue}{dY.u} \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right|}{\sqrt{\mathsf{max}\left(\mathsf{fma}\left(\left(dX.v \cdot dX.v\right) \cdot \left\lfloor h\right\rfloor , \left\lfloor h\right\rfloor , \left(\left(dX.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right) \cdot dX.u\right) \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right), dY.u \cdot \left(\left|dY.u \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right| \cdot \left\lfloor w\right\rfloor \right)\right)}}\\ \end{array} \]
27. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2025142 
(FPCore (w h dX.u dX.v dY.u dY.v maxAniso)
  :name "Anisotropic x16 LOD (line direction, u)"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (and (<= 1.0 w) (<= w 16384.0)) (and (<= 1.0 h) (<= h 16384.0))) (and (<= 1e-20 (fabs dX.u)) (<= (fabs dX.u) 1e+20))) (and (<= 1e-20 (fabs dX.v)) (<= (fabs dX.v) 1e+20))) (and (<= 1e-20 (fabs dY.u)) (<= (fabs dY.u) 1e+20))) (and (<= 1e-20 (fabs dY.v)) (<= (fabs dY.v) 1e+20))) (== maxAniso 16.0))
  (if (>= (+ (* (* (floor w) dX.u) (* (floor w) dX.u)) (* (* (floor h) dX.v) (* (floor h) dX.v))) (+ (* (* (floor w) dY.u) (* (floor w) dY.u)) (* (* (floor h) dY.v) (* (floor h) dY.v)))) (* (/ 1.0 (sqrt (fmax (+ (* (* (floor w) dX.u) (* (floor w) dX.u)) (* (* (floor h) dX.v) (* (floor h) dX.v))) (+ (* (* (floor w) dY.u) (* (floor w) dY.u)) (* (* (floor h) dY.v) (* (floor h) dY.v)))))) (* (floor w) dX.u)) (* (/ 1.0 (sqrt (fmax (+ (* (* (floor w) dX.u) (* (floor w) dX.u)) (* (* (floor h) dX.v) (* (floor h) dX.v))) (+ (* (* (floor w) dY.u) (* (floor w) dY.u)) (* (* (floor h) dY.v) (* (floor h) dY.v)))))) (* (floor w) dY.u))))