Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.8% → 8.2%

Time: 6.7s

Alternatives: 5

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 8.2% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ t_1 := \frac{\pi}{2} - t\_0\\ \frac{t\_0 \cdot t\_0 - t\_1 \cdot t\_1}{t\_0 + t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5)))) (t_1 (- (/ PI 2.0) t_0)))
   (/ (- (* t_0 t_0) (* t_1 t_1)) (+ t_0 t_1))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = acos(sqrt(fma(x, -0.5, 0.5)));
	double t_1 = (((double) M_PI) / 2.0) - t_0;
	return ((t_0 * t_0) - (t_1 * t_1)) / (t_0 + t_1);
}

Julia

function code(x)
	t_0 = acos(sqrt(fma(x, -0.5, 0.5)))
	t_1 = Float64(Float64(pi / 2.0) - t_0)
	return Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - Float64(t_1 * t_1)) / Float64(t_0 + t_1))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[Sqrt[N[(x * -0.5 + 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   3. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   4. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   5. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right) \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right) \]

   7. count-2-rev N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   8. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]

   11. acos-asin N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]

   12. lower--.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

3. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   2. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)} - \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right) \]

   3. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right) \]

   4. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right)} - \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right) \]

   5. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right) - \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   6. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right) \]

   7. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right) - \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right)} \]

   8. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right)}} \]

   9. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}\right)}} \]

5. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   3. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)} \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   5. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\frac{-1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{-1}{2} \cdot x - \frac{1}{2}}}}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   6. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   9. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   10. asin-acos N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)} \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   11. lower--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)} \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   13. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\color{blue}{\pi}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   14. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot x}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   16. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   18. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   19. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

7. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) - \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   3. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)}}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   5. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\frac{-1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{-1}{2} \cdot x - \frac{1}{2}}}}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   6. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   9. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   10. asin-acos N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)}}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   11. lower--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)}}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   13. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\color{blue}{\pi}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   14. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot x}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   16. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   18. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)}\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

   19. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \]

9. Applied rewrites 8.2%

   \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)}}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. lift-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}} \]

    2. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)} \]

    3. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)}} \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)} \]

    5. flip-+ N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\frac{-1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{-1}{2} \cdot x - \frac{1}{2}}}}\right)} \]

    6. flip-+ N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right)} \]

    7. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}}\right)} \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)} \]

    9. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)} \]

    10. asin-acos N/A

        \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)}} \]

    11. lower--.f64 N/A

        \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)}} \]

    12. lift-/.f64 N/A

        \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

    13. lift-PI.f64 N/A

        \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \left(\frac{\color{blue}{\pi}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

    14. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

        \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}}\right)\right)} \]

    15. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot x}\right)\right)} \]

    16. +-commutative N/A

        \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right)\right)} \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right)} \]

    18. lift-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)}\right)} \]

    19. lift-fma.f64 N/A

        \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right)} \]

11. Applied rewrites 8.2%

    \[\leadsto \frac{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) - \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) + \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, 0.25, -4 \cdot {t\_0}^{2}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \pi, t\_0 \cdot 2\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (* 0.5 PI) (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5))))))
   (/ (fma (* PI PI) 0.25 (* -4.0 (pow t_0 2.0))) (fma 0.5 PI (* t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (0.5 * ((double) M_PI)) - acos(sqrt(fma(x, -0.5, 0.5)));
	return fma((((double) M_PI) * ((double) M_PI)), 0.25, (-4.0 * pow(t_0, 2.0))) / fma(0.5, ((double) M_PI), (t_0 * 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * pi) - acos(sqrt(fma(x, -0.5, 0.5))))
	return Float64(fma(Float64(pi * pi), 0.25, Float64(-4.0 * (t_0 ^ 2.0))) / fma(0.5, pi, Float64(t_0 * 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * Pi), $MachinePrecision] - N[ArcCos[N[Sqrt[N[(x * -0.5 + 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 0.25 + N[(-4.0 * N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.5 * Pi + N[(t$95$0 * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   3. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right) \]

   5. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   7. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\pi}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   8. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   9. lower-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   11. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   12. lift-sqrt.f64 8.2

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   15. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   17. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\color{blue}{1 \cdot x}}{2}}\right)\right) \]

   18. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot x}\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right) \]

   21. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}}\right)\right) \]

   22. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   23. lower-fma.f64 8.2

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right) \]

3. Applied rewrites 8.2%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \pi + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \pi + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}\right)\right) \]

   4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \pi + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\pi}, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \pi, -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   7. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \pi, -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

6. Applied rewrites 8.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, \pi, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 8.2%

   \[\leadsto \frac{\left(0.5 \cdot \pi\right) \cdot \left(0.5 \cdot \pi\right) - {\left(\left(0.5 \cdot \pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{2}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, \pi, \left(0.5 \cdot \pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}} \]

10. Applied rewrites 8.2%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, 0.25, -4 \cdot {\left(0.5 \cdot \pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)}^{2}\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.5}, \pi, \left(0.5 \cdot \pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.2% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.5, \pi, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma 0.5 PI (* -2.0 (- (* 0.5 PI) (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5)))))))

C

double code(double x) {
	return fma(0.5, ((double) M_PI), (-2.0 * ((0.5 * ((double) M_PI)) - acos(sqrt(fma(x, -0.5, 0.5))))));
}

Julia

function code(x)
	return fma(0.5, pi, Float64(-2.0 * Float64(Float64(0.5 * pi) - acos(sqrt(fma(x, -0.5, 0.5))))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.5 * Pi + N[(-2.0 * N[(N[(0.5 * Pi), $MachinePrecision] - N[ArcCos[N[Sqrt[N[(x * -0.5 + 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   3. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right) \]

   5. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   7. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\pi}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   8. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   9. lower-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   11. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   12. lift-sqrt.f64 8.2

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   15. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   17. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\color{blue}{1 \cdot x}}{2}}\right)\right) \]

   18. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot x}\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right) \]

   21. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}}\right)\right) \]

   22. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   23. lower-fma.f64 8.2

       \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right) \]

3. Applied rewrites 8.2%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \pi + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \pi + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}\right)\right) \]

   4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \pi + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\pi}, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \pi, -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   7. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \pi, -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

6. Applied rewrites 8.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, \pi, -2 \cdot \left(0.5 \cdot \pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 6.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 0.5 \cdot \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma -2.0 (asin (sqrt (fma -0.5 x 0.5))) (* 0.5 PI)))

C

double code(double x) {
	return fma(-2.0, asin(sqrt(fma(-0.5, x, 0.5))), (0.5 * ((double) M_PI)));
}

Julia

function code(x)
	return fma(-2.0, asin(sqrt(fma(-0.5, x, 0.5))), Float64(0.5 * pi))
end

Wolfram

code[x_] := N[(-2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(-0.5 * x + 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(0.5 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 - x\right)}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 - x\right)}\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 - x\right)}\right) + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   7. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1 \cdot x}{2}}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   8. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   9. div-sub N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   10. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(2\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

4. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 0.5 \cdot \pi\right)} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 4.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right), 0.5 \cdot \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fma -2.0 (asin (sqrt 0.5)) (* 0.5 PI)))

C

double code(double x) {
	return fma(-2.0, asin(sqrt(0.5)), (0.5 * ((double) M_PI)));
}

Julia

function code(x)
	return fma(-2.0, asin(sqrt(0.5)), Float64(0.5 * pi))
end

Wolfram

code[x_] := N[(-2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(0.5 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 - x\right)}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 - x\right)}\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 - x\right)}\right) + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   7. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1 \cdot x}{2}}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   8. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   9. div-sub N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   10. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(2\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

4. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 0.5 \cdot \pi\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right), \frac{1}{2} \cdot \pi\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 4.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right), 0.5 \cdot \pi\right) \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2025135 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64
  (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))