UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 99.0%

Time: 6.6s

Alternatives: 13

Speedup: 0.7×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\\ t_1 := maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\\ \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos t\_0, xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot t\_1, ux, yi \cdot \left(\sin t\_0 \cdot \sin \cos^{-1} \left(t\_1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* 2.0 uy))) (t_1 (* maxCos (- 1.0 ux))))
   (fma
    (*
     (sqrt (fma (- ux 1.0) (* (* (* maxCos ux) maxCos) (* (- 1.0 ux) ux)) 1.0))
     (cos t_0))
    xi
    (fma (* zi t_1) ux (* yi (* (sin t_0) (sin (acos (* t_1 ux)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (2.0f * uy);
	float t_1 = maxCos * (1.0f - ux);
	return fmaf((sqrtf(fmaf((ux - 1.0f), (((maxCos * ux) * maxCos) * ((1.0f - ux) * ux)), 1.0f)) * cosf(t_0)), xi, fmaf((zi * t_1), ux, (yi * (sinf(t_0) * sinf(acosf((t_1 * ux)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))
	t_1 = Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))
	return fma(Float32(sqrt(fma(Float32(ux - Float32(1.0)), Float32(Float32(Float32(maxCos * ux) * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * ux)), Float32(1.0))) * cos(t_0)), xi, fma(Float32(zi * t_1), ux, Float32(yi * Float32(sin(t_0) * sin(acos(Float32(t_1 * ux)))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

   2. lift-+.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   2. lift-acos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \color{blue}{\cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-acos-rev N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. lift-sqrt.f32 99.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. lower-pow.f32 99.0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

5. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), maxCos \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))
   (+
    (+
     (*
      (*
       (cos (* (+ uy uy) PI))
       (sqrt (fma (* (- ux 1.0) (* ux maxCos)) (* maxCos ux) 1.0)))
      xi)
     (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0)))) yi))
    (* (* zi (* maxCos (- 1.0 ux))) ux))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	return (((cosf(((uy + uy) * ((float) M_PI))) * sqrtf(fmaf(((ux - 1.0f) * (ux * maxCos)), (maxCos * ux), 1.0f))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)))) * yi)) + ((zi * (maxCos * (1.0f - ux))) * ux);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy + uy) * Float32(pi))) * sqrt(fma(Float32(Float32(ux - Float32(1.0)) * Float32(ux * maxCos)), Float32(maxCos * ux), Float32(1.0)))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))) * yi)) + Float32(Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))) * ux))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. count-2-rev N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. lower-+.f32 98.9

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. sub-negate1 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. lift--.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   12. sub-negate2 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   13. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   14. lower--.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   16. lower-*.f32 98.9

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   8. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

   9. lower-*.f32 98.9

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

7. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \color{blue}{maxCos} \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 98.8%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \color{blue}{maxCos} \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ t_1 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.0003499999875202775:\\ \;\;\;\;\left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), t\_1, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(t\_0 \cdot \sqrt{1 - t\_1 \cdot t\_1}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(xi, \cos t\_0, yi \cdot \sin t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))) (t_1 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))
   (if (<= uy 0.0003499999875202775)
     (+
      (+
       (*
        (*
         (cos (* (+ uy uy) PI))
         (sqrt (fma (* (- ux 1.0) (* ux maxCos)) t_1 1.0)))
        xi)
       (* (* t_0 (sqrt (- 1.0 (* t_1 t_1)))) yi))
      (* (* zi (* maxCos (- 1.0 ux))) ux))
     (fma xi (cos t_0) (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float t_1 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float tmp;
	if (uy <= 0.0003499999875202775f) {
		tmp = (((cosf(((uy + uy) * ((float) M_PI))) * sqrtf(fmaf(((ux - 1.0f) * (ux * maxCos)), t_1, 1.0f))) * xi) + ((t_0 * sqrtf((1.0f - (t_1 * t_1)))) * yi)) + ((zi * (maxCos * (1.0f - ux))) * ux);
	} else {
		tmp = fmaf(xi, cosf(t_0), (yi * sinf(t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	t_1 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0003499999875202775))
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy + uy) * Float32(pi))) * sqrt(fma(Float32(Float32(ux - Float32(1.0)) * Float32(ux * maxCos)), t_1, Float32(1.0)))) * xi) + Float32(Float32(t_0 * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_1 * t_1)))) * yi)) + Float32(Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))) * ux));
	else
		tmp = fma(xi, cos(t_0), Float32(yi * sin(t_0)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 3.49999988e-4

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lower-+.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. sub-negate1 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. sub-negate2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. lower-*.f32 99.3

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   7. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      3. lift-PI.f32 99.1

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   10. Applied rewrites 99.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   if 3.49999988e-4 < uy

   1. Initial program 98.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lower-+.f32 98.2

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. sub-negate1 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. sub-negate2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. lower-*.f32 98.2

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 98.2

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   7. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. lower-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      5. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      7. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      10. lift-PI.f32 90.3

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   10. Applied rewrites 90.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right), \mathsf{fma}\left(xi, \cos t\_0, yi \cdot \sin t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (fma maxCos (* ux (* zi (- 1.0 ux))) (fma xi (cos t_0) (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return fmaf(maxCos, (ux * (zi * (1.0f - ux))), fmaf(xi, cosf(t_0), (yi * sinf(t_0))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return fma(maxCos, Float32(ux * Float32(zi * Float32(Float32(1.0) - ux))), fma(xi, cos(t_0), Float32(yi * sin(t_0))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. count-2-rev N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. lower-+.f32 98.9

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. sub-negate1 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. lift--.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   12. sub-negate2 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   13. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   14. lower--.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   16. lower-*.f32 98.9

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   8. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

   9. lower-*.f32 98.9

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

7. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right), xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - \color{blue}{ux}\right)\right), xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right), \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied rewrites 98.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right), \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 95.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.0003499999875202775:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(xi, \cos t\_1, yi \cdot \sin t\_1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)) (t_1 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= uy 0.0003499999875202775)
     (+
      (+
       (*
        (sqrt
         (+ 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (- ux 1.0))))))
        xi)
       (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0)))) yi))
      (* (* zi (* maxCos (- 1.0 ux))) ux))
     (fma xi (cos t_1) (* yi (sin t_1))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (uy <= 0.0003499999875202775f) {
		tmp = ((sqrtf((1.0f + ((maxCos * maxCos) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux - 1.0f)))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)))) * yi)) + ((zi * (maxCos * (1.0f - ux))) * ux);
	} else {
		tmp = fmaf(xi, cosf(t_1), (yi * sinf(t_1)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0003499999875202775))
		tmp = Float32(Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux - Float32(1.0))))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))) * yi)) + Float32(Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))) * ux));
	else
		tmp = fma(xi, cos(t_1), Float32(yi * sin(t_1)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 3.49999988e-4

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lower-+.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. sub-negate1 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. sub-negate2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. lower-*.f32 99.3

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   7. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      2. lower-+.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      10. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      11. lift--.f32 98.8

          \[\leadsto \left(\sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   10. Applied rewrites 98.8%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   if 3.49999988e-4 < uy

   1. Initial program 98.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lower-+.f32 98.2

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. sub-negate1 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. sub-negate2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. lower-*.f32 98.2

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 98.2

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   7. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. lower-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      5. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      7. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      10. lift-PI.f32 90.3

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   10. Applied rewrites 90.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 95.7% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.0002800000074785203:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}^{2}}, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(xi, \cos t\_0, yi \cdot \sin t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= uy 0.0002800000074785203)
     (+
      (fma
       2.0
       (*
        (* uy (* yi PI))
        (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (pow (* ux (- 1.0 ux)) 2.0)))))
       (*
        xi
        (sqrt
         (+
          1.0
          (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (- ux 1.0))))))))
      (* (* zi (* maxCos (- 1.0 ux))) ux))
     (fma xi (cos t_0) (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (uy <= 0.0002800000074785203f) {
		tmp = fmaf(2.0f, ((uy * (yi * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * powf((ux * (1.0f - ux)), 2.0f))))), (xi * sqrtf((1.0f + ((maxCos * maxCos) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux - 1.0f)))))))) + ((zi * (maxCos * (1.0f - ux))) * ux);
	} else {
		tmp = fmaf(xi, cosf(t_0), (yi * sinf(t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0002800000074785203))
		tmp = Float32(fma(Float32(2.0), Float32(Float32(uy * Float32(yi * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * (Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)) ^ Float32(2.0)))))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux - Float32(1.0))))))))) + Float32(Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))) * ux));
	else
		tmp = fma(xi, cos(t_0), Float32(yi * sin(t_0)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 2.80000007e-4

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lower-+.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. sub-negate1 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. sub-negate2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. lower-*.f32 99.3

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   7. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}}, xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   10. Applied rewrites 98.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}^{2}}, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   if 2.80000007e-4 < uy

   1. Initial program 98.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lower-+.f32 98.2

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. sub-negate1 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. sub-negate2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. lower-*.f32 98.2

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 98.2

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   7. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. lower-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      5. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      7. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      10. lift-PI.f32 90.3

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   10. Applied rewrites 90.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 84.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.010999999940395355:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}^{2}}, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.010999999940395355)
   (+
    (fma
     2.0
     (*
      (* uy (* yi PI))
      (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (pow (* ux (- 1.0 ux)) 2.0)))))
     (*
      xi
      (sqrt
       (+ 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (- ux 1.0))))))))
    (* (* zi (* maxCos (- 1.0 ux))) ux))
   (fma
    (*
     (sqrt (fma (- ux 1.0) (* (* (* maxCos ux) maxCos) (* (- 1.0 ux) ux)) 1.0))
     (cos (* PI (* 2.0 uy))))
    xi
    (* maxCos (* ux (* zi (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.010999999940395355f) {
		tmp = fmaf(2.0f, ((uy * (yi * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * powf((ux * (1.0f - ux)), 2.0f))))), (xi * sqrtf((1.0f + ((maxCos * maxCos) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux - 1.0f)))))))) + ((zi * (maxCos * (1.0f - ux))) * ux);
	} else {
		tmp = fmaf((sqrtf(fmaf((ux - 1.0f), (((maxCos * ux) * maxCos) * ((1.0f - ux) * ux)), 1.0f)) * cosf((((float) M_PI) * (2.0f * uy)))), xi, (maxCos * (ux * (zi * (1.0f - ux)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.010999999940395355))
		tmp = Float32(fma(Float32(2.0), Float32(Float32(uy * Float32(yi * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * (Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)) ^ Float32(2.0)))))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux - Float32(1.0))))))))) + Float32(Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))) * ux));
	else
		tmp = fma(Float32(sqrt(fma(Float32(ux - Float32(1.0)), Float32(Float32(Float32(maxCos * ux) * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * ux)), Float32(1.0))) * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy)))), xi, Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(zi * Float32(Float32(1.0) - ux)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0109999999

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lower-+.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. sub-negate1 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. sub-negate2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. lower-*.f32 99.3

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   7. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}}, xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   10. Applied rewrites 93.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}^{2}}, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   if 0.0109999999 < uy

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-+.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. lift-+.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   3. Applied rewrites 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      2. lift-acos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \color{blue}{\cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-acos-rev N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      8. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      9. lift-sqrt.f32 97.7

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      11. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      12. lower-pow.f32 97.7

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. Applied rewrites 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in yi around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right)\right) \]

      4. lift--.f32 50.9

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied rewrites 50.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 84.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.010999999940395355:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}^{2}}, \mathsf{fma}\left(maxCos, t\_0, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* zi (- 1.0 ux)))))
   (if (<= uy 0.010999999940395355)
     (fma
      2.0
      (*
       (* uy (* yi PI))
       (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (pow (* ux (- 1.0 ux)) 2.0)))))
      (fma
       maxCos
       t_0
       (*
        xi
        (sqrt
         (+
          1.0
          (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (- ux 1.0)))))))))
     (fma
      (*
       (sqrt
        (fma (- ux 1.0) (* (* (* maxCos ux) maxCos) (* (- 1.0 ux) ux)) 1.0))
       (cos (* PI (* 2.0 uy))))
      xi
      (* maxCos t_0)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (zi * (1.0f - ux));
	float tmp;
	if (uy <= 0.010999999940395355f) {
		tmp = fmaf(2.0f, ((uy * (yi * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * powf((ux * (1.0f - ux)), 2.0f))))), fmaf(maxCos, t_0, (xi * sqrtf((1.0f + ((maxCos * maxCos) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux - 1.0f)))))))));
	} else {
		tmp = fmaf((sqrtf(fmaf((ux - 1.0f), (((maxCos * ux) * maxCos) * ((1.0f - ux) * ux)), 1.0f)) * cosf((((float) M_PI) * (2.0f * uy)))), xi, (maxCos * t_0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(zi * Float32(Float32(1.0) - ux)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.010999999940395355))
		tmp = fma(Float32(2.0), Float32(Float32(uy * Float32(yi * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * (Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)) ^ Float32(2.0)))))), fma(maxCos, t_0, Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux - Float32(1.0))))))))));
	else
		tmp = fma(Float32(sqrt(fma(Float32(ux - Float32(1.0)), Float32(Float32(Float32(maxCos * ux) * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * ux)), Float32(1.0))) * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy)))), xi, Float32(maxCos * t_0));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0109999999

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lower-+.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. sub-negate1 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. sub-negate2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. lower-*.f32 99.3

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   7. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)} \]

   10. Applied rewrites 93.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}^{2}}, \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)} \]

   if 0.0109999999 < uy

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-+.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. lift-+.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   3. Applied rewrites 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      2. lift-acos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \color{blue}{\cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-acos-rev N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      8. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      9. lift-sqrt.f32 97.7

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      11. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      12. lower-pow.f32 97.7

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. Applied rewrites 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in yi around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right)\right) \]

      4. lift--.f32 50.9

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied rewrites 50.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 58.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (*
   (sqrt (fma (- ux 1.0) (* (* (* maxCos ux) maxCos) (* (- 1.0 ux) ux)) 1.0))
   (cos (* PI (* 2.0 uy))))
  xi
  (* maxCos (* ux (* zi (- 1.0 ux))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((sqrtf(fmaf((ux - 1.0f), (((maxCos * ux) * maxCos) * ((1.0f - ux) * ux)), 1.0f)) * cosf((((float) M_PI) * (2.0f * uy)))), xi, (maxCos * (ux * (zi * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(sqrt(fma(Float32(ux - Float32(1.0)), Float32(Float32(Float32(maxCos * ux) * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * ux)), Float32(1.0))) * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy)))), xi, Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(zi * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

   2. lift-+.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   2. lift-acos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \color{blue}{\cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-acos-rev N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. lift-sqrt.f32 99.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. lower-pow.f32 99.0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

5. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}^{2}}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)}} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \mathsf{fma}\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right), ux, yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \cos^{-1} \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in yi around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right)\right) \]

   4. lift--.f32 58.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied rewrites 58.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux - 1, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right), 1\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right), xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 10: 56.2% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.0002800000074785203:\\ \;\;\;\;xi \cdot t\_0 + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (sqrt
          (+
           1.0
           (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (- ux 1.0))))))))
   (if (<= uy 0.0002800000074785203)
     (+ (* xi t_0) (* (* zi (* maxCos (- 1.0 ux))) ux))
     (* (* xi (cos (* 2.0 (* uy PI)))) t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = sqrtf((1.0f + ((maxCos * maxCos) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux - 1.0f))))));
	float tmp;
	if (uy <= 0.0002800000074785203f) {
		tmp = (xi * t_0) + ((zi * (maxCos * (1.0f - ux))) * ux);
	} else {
		tmp = (xi * cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux - Float32(1.0)))))))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0002800000074785203))
		tmp = Float32(Float32(xi * t_0) + Float32(Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))) * ux));
	else
		tmp = Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))) * t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = sqrt((single(1.0) + ((maxCos * maxCos) * ((ux * ux) * ((single(1.0) - ux) * (ux - single(1.0)))))));
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.0002800000074785203))
		tmp = (xi * t_0) + ((zi * (maxCos * (single(1.0) - ux))) * ux);
	else
		tmp = (xi * cos((single(2.0) * (uy * single(pi))))) * t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 2.80000007e-4

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lower-+.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. sub-negate1 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. sub-negate2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. lower-*.f32 99.3

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   7. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      2. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      3. lower-+.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      10. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      11. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      12. lift--.f32 61.4

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   10. Applied rewrites 61.4%

       \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   if 2.80000007e-4 < uy

   1. Initial program 98.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lower-+.f32 98.2

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. sub-negate1 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. sub-negate2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      16. lower-*.f32 98.2

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 98.2

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   7. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   8. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} \]

      3. lower-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{{maxCos}^{2}} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{\color{blue}{2}} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \]

      6. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \]

      7. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \]

   10. Applied rewrites 47.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 50.8% accurate, 5.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (*
   xi
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (- ux 1.0)))))))
  (* (* zi (* maxCos (- 1.0 ux))) ux)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi * sqrtf((1.0f + ((maxCos * maxCos) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux - 1.0f))))))) + ((zi * (maxCos * (1.0f - ux))) * ux);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
use fmin_fmax_functions
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = (xi * sqrt((1.0e0 + ((maxcos * maxcos) * ((ux * ux) * ((1.0e0 - ux) * (ux - 1.0e0))))))) + ((zi * (maxcos * (1.0e0 - ux))) * ux)
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux - Float32(1.0)))))))) + Float32(Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))) * ux))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi * sqrt((single(1.0) + ((maxCos * maxCos) * ((ux * ux) * ((single(1.0) - ux) * (ux - single(1.0)))))))) + ((zi * (maxCos * (single(1.0) - ux))) * ux);
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. count-2-rev N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. lower-+.f32 98.9

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. sub-negate1 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. lift--.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   12. sub-negate2 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   13. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   14. lower--.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   16. lower-*.f32 98.9

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   8. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

   9. lower-*.f32 98.9

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

7. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
9. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto xi \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   2. lower-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   3. lower-+.f32 N/A

      \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   7. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   9. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   10. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   11. lift--.f32 N/A

       \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   12. lift--.f32 50.8

       \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

10. Applied rewrites 50.8%

    \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 50.8% accurate, 5.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  maxCos
  (* ux (* zi (- 1.0 ux)))
  (*
   xi
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (- ux 1.0)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(maxCos, (ux * (zi * (1.0f - ux))), (xi * sqrtf((1.0f + ((maxCos * maxCos) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux - 1.0f))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(maxCos, Float32(ux * Float32(zi * Float32(Float32(1.0) - ux))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux - Float32(1.0)))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. count-2-rev N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. lower-+.f32 98.9

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. sub-negate1 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. lift--.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   12. sub-negate2 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   13. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   14. lower--.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   16. lower-*.f32 98.9

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   8. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot ux \]

   9. lower-*.f32 98.9

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

7. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy + uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right), xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \]

   4. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - \color{blue}{ux}\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \]

   6. lower-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \]

   7. lower-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \]

10. Applied rewrites 50.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 13: 13.3% accurate, 18.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* maxCos (* ux (* zi (- 1.0 ux)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return maxCos * (ux * (zi * (1.0f - ux)));
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
use fmin_fmax_functions
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = maxcos * (ux * (zi * (1.0e0 - ux)))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(zi * Float32(Float32(1.0) - ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = maxCos * (ux * (zi * (single(1.0) - ux)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. lift-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. sin-+PI/2-rev N/A

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. lower-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\color{blue}{\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, uy \cdot 2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{uy \cdot 2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{2 \cdot uy}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   9. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{2 \cdot uy}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. lift-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\color{blue}{\pi}}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. lower-/.f32 98.9

       \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \color{blue}{\frac{\pi}{2}}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. sub-negate1 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right) + 1}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} + 1}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   11. lift--.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   12. sub-negate2 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   13. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   14. lower--.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(ux - 1\right)} \cdot \left(maxCos \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   16. lower-*.f32 98.9

       \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 2 \cdot uy, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(ux - 1\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux, 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \]

   4. lift--.f32 13.3

      \[\leadsto maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - \color{blue}{ux}\right)\right)\right) \]

8. Applied rewrites 13.3%

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2025107 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))