UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 14.6s

Alternatives: 7

Speedup: N/A×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 99.0% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+
    (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi))
    (* (fma (* (* zi ux) maxCos) -1.0 (* zi maxCos)) ux))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (fmaf(((zi * ux) * maxCos), -1.0f, (zi * maxCos)) * ux);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(fma(Float32(Float32(zi * ux) * maxCos), Float32(-1.0), Float32(zi * maxCos)) * ux))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot zi\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{ux} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{ux} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot -1 + maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   4. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right), -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   10. lower-*.f32 98.8

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

5. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_1 \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\right) \cdot xi + \left(\sin t\_1 \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux \cdot ux} + maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)) (t_1 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+
    (+
     (* (* (cos t_1) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0)))) xi)
     (*
      (*
       (sin t_1)
       (sqrt
        (*
         (pow ux 4.0)
         (-
          (/ 1.0 (pow ux 4.0))
          (fma
           -2.0
           (/ (* maxCos maxCos) ux)
           (+ (/ (* maxCos maxCos) (* ux ux)) (* maxCos maxCos)))))))
      yi))
    (* (fma (* (* zi ux) maxCos) -1.0 (* zi maxCos)) ux))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_1) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)))) * xi) + ((sinf(t_1) * sqrtf((powf(ux, 4.0f) * ((1.0f / powf(ux, 4.0f)) - fmaf(-2.0f, ((maxCos * maxCos) / ux), (((maxCos * maxCos) / (ux * ux)) + (maxCos * maxCos))))))) * yi)) + (fmaf(((zi * ux) * maxCos), -1.0f, (zi * maxCos)) * ux);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))) * xi) + Float32(Float32(sin(t_1) * sqrt(Float32((ux ^ Float32(4.0)) * Float32(Float32(Float32(1.0) / (ux ^ Float32(4.0))) - fma(Float32(-2.0), Float32(Float32(maxCos * maxCos) / ux), Float32(Float32(Float32(maxCos * maxCos) / Float32(ux * ux)) + Float32(maxCos * maxCos))))))) * yi)) + Float32(fma(Float32(Float32(zi * ux) * maxCos), Float32(-1.0), Float32(zi * maxCos)) * ux))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot zi\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{ux} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{ux} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot -1 + maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   4. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right), -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   10. lower-*.f32 98.8

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

5. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux} \]

6. Taylor expanded in ux around inf

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \left(-2 \cdot \frac{{maxCos}^{2}}{ux} + \left(\frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)\right)}}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]
7. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \left(-2 \cdot \frac{{maxCos}^{2}}{ux} + \left(\frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)\right)}}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   2. lower-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{{ux}^{4}}} - \left(-2 \cdot \frac{{maxCos}^{2}}{ux} + \left(\frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   3. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{{maxCos}^{2}}{ux} + \left(\frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)}\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   4. lower-/.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \left(\color{blue}{-2 \cdot \frac{{maxCos}^{2}}{ux}} + \left(\frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   5. lower-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \left(-2 \cdot \color{blue}{\frac{{maxCos}^{2}}{ux}} + \left(\frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   6. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{\frac{{maxCos}^{2}}{ux}}, \frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   7. lower-/.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{{maxCos}^{2}}{\color{blue}{ux}}, \frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   9. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   10. lower-+.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   11. lower-/.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{{maxCos}^{2}}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   12. pow2 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{maxCos \cdot maxCos}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   13. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{maxCos \cdot maxCos}{{ux}^{2}} + {maxCos}^{2}\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   14. pow2 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux \cdot ux} + {maxCos}^{2}\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   15. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux \cdot ux} + {maxCos}^{2}\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   16. pow2 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux \cdot ux} + maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   17. lift-*.f32 98.8

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux \cdot ux} + maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

8. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{1}{{ux}^{4}} - \mathsf{fma}\left(-2, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux \cdot ux} + maxCos \cdot maxCos\right)\right)}}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_1 \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\right) \cdot xi + \left(\sin t\_1 \cdot \sqrt{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{1}{ux \cdot ux}}{ux} - \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, -1, -2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}{ux} \cdot -1 - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)) (t_1 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+
    (+
     (* (* (cos t_1) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0)))) xi)
     (*
      (*
       (sin t_1)
       (sqrt
        (*
         (-
          (*
           (/
            (fma
             (- (/ (/ 1.0 (* ux ux)) ux) (/ (* maxCos maxCos) ux))
             -1.0
             (* -2.0 (* maxCos maxCos)))
            ux)
           -1.0)
          (* maxCos maxCos))
         (pow ux 4.0))))
      yi))
    (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_1) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)))) * xi) + ((sinf(t_1) * sqrtf(((((fmaf((((1.0f / (ux * ux)) / ux) - ((maxCos * maxCos) / ux)), -1.0f, (-2.0f * (maxCos * maxCos))) / ux) * -1.0f) - (maxCos * maxCos)) * powf(ux, 4.0f)))) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))) * xi) + Float32(Float32(sin(t_1) * sqrt(Float32(Float32(Float32(Float32(fma(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(ux * ux)) / ux) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) / ux)), Float32(-1.0), Float32(Float32(-2.0) * Float32(maxCos * maxCos))) / ux) * Float32(-1.0)) - Float32(maxCos * maxCos)) * (ux ^ Float32(4.0))))) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{{ux}^{4} \cdot \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right)}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{1}{ux \cdot ux}}{ux} - \frac{maxCos \cdot maxCos}{ux}, -1, -2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}{ux} \cdot -1 - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.8% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\\ \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\right) \cdot xi + \mathsf{fma}\left(2, \sin \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \pi\right), \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot t\_1\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot t\_1\right)\right)\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)) (t_1 (sin (* 2.0 (* uy PI)))))
   (+
    (+
     (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0)))) xi)
     (*
      (fma
       2.0
       (* (sin (* uy PI)) (cos (* uy PI)))
       (*
        (* ux ux)
        (+
         (* -0.5 (* (* maxCos maxCos) t_1))
         (* (* maxCos maxCos) (* ux t_1)))))
      yi))
    (* (fma (* (* zi ux) maxCos) -1.0 (* zi maxCos)) ux))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))));
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)))) * xi) + (fmaf(2.0f, (sinf((uy * ((float) M_PI))) * cosf((uy * ((float) M_PI)))), ((ux * ux) * ((-0.5f * ((maxCos * maxCos) * t_1)) + ((maxCos * maxCos) * (ux * t_1))))) * yi)) + (fmaf(((zi * ux) * maxCos), -1.0f, (zi * maxCos)) * ux);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))) * xi) + Float32(fma(Float32(2.0), Float32(sin(Float32(uy * Float32(pi))) * cos(Float32(uy * Float32(pi)))), Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(-0.5) * Float32(Float32(maxCos * maxCos) * t_1)) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * t_1))))) * yi)) + Float32(fma(Float32(Float32(zi * ux) * maxCos), Float32(-1.0), Float32(zi * maxCos)) * ux))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot zi\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{ux} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{ux} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot -1 + maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   4. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right), -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, maxCos \cdot zi\right) \cdot ux \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   10. lower-*.f32 98.8

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

5. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + {ux}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + {maxCos}^{2} \cdot \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-2 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(2 \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{{ux}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + {maxCos}^{2} \cdot \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

   2. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \mathsf{fma}\left(2, \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, {ux}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + {maxCos}^{2} \cdot \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]

8. Applied rewrites 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, \sin \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \pi\right), \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot yi\right) + \mathsf{fma}\left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos, -1, zi \cdot maxCos\right) \cdot ux \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.0% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\\ \left(-1 \cdot yi\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(xi \cdot \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot uy, 2, \frac{\pi}{2}\right)\right)}{yi}\right) \cdot t\_0, -1, \left(-1 \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right) \cdot t\_0\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (sqrt
          (- 1.0 (* (* (pow (- 1.0 ux) 2.0) (* ux ux)) (* maxCos maxCos))))))
   (+
    (*
     (* -1.0 yi)
     (fma
      (* (* xi (/ (sin (fma (* PI uy) 2.0 (/ PI 2.0))) yi)) t_0)
      -1.0
      (* (* -1.0 (sin (* PI (* 2.0 uy)))) t_0)))
    (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = sqrtf((1.0f - ((powf((1.0f - ux), 2.0f) * (ux * ux)) * (maxCos * maxCos))));
	return ((-1.0f * yi) * fmaf(((xi * (sinf(fmaf((((float) M_PI) * uy), 2.0f, (((float) M_PI) / 2.0f))) / yi)) * t_0), -1.0f, ((-1.0f * sinf((((float) M_PI) * (2.0f * uy)))) * t_0))) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32((Float32(Float32(1.0) - ux) ^ Float32(2.0)) * Float32(ux * ux)) * Float32(maxCos * maxCos))))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(-1.0) * yi) * fma(Float32(Float32(xi * Float32(sin(fma(Float32(Float32(pi) * uy), Float32(2.0), Float32(Float32(pi) / Float32(2.0)))) / yi)) * t_0), Float32(-1.0), Float32(Float32(Float32(-1.0) * sin(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy)))) * t_0))) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in yi around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(yi \cdot \left(-1 \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + -1 \cdot \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot yi\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(xi \cdot \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot uy, 2, \frac{\pi}{2}\right)\right)}{yi}\right) \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, -1, \left(-1 \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.9% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\cos \left(\left(\pi \cdot uy\right) \cdot 2\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (fma
   (sqrt (- 1.0 (* (* (pow (- 1.0 ux) 2.0) (* ux ux)) (* maxCos maxCos))))
   (fma
    xi
    (/ (cos (* (* PI uy) 2.0)) zi)
    (* yi (/ (sin (* PI (* 2.0 uy))) zi)))
   (* (* (- 1.0 ux) ux) maxCos))
  zi))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(sqrtf((1.0f - ((powf((1.0f - ux), 2.0f) * (ux * ux)) * (maxCos * maxCos)))), fmaf(xi, (cosf(((((float) M_PI) * uy) * 2.0f)) / zi), (yi * (sinf((((float) M_PI) * (2.0f * uy))) / zi))), (((1.0f - ux) * ux) * maxCos)) * zi;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(fma(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32((Float32(Float32(1.0) - ux) ^ Float32(2.0)) * Float32(ux * ux)) * Float32(maxCos * maxCos)))), fma(xi, Float32(cos(Float32(Float32(Float32(pi) * uy) * Float32(2.0))) / zi), Float32(yi * Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))) / zi))), Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * ux) * maxCos)) * zi)
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) + \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)} \]

5. Applied rewrites 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot uy, 2, \frac{\pi}{2}\right)\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot uy, 2, \frac{\pi}{2}\right)\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   2. lift-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\sin \left(\left(\pi \cdot uy\right) \cdot 2 + \frac{\pi}{2}\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   3. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2 + \frac{\pi}{2}\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2 + \frac{\pi}{2}\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   5. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   6. lift-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   7. sin-+PI/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   8. lower-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   9. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   10. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   11. lift-PI.f32 97.9

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\cos \left(\left(\pi \cdot uy\right) \cdot 2\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

7. Applied rewrites 97.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\cos \left(\left(\pi \cdot uy\right) \cdot 2\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 86.3% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, xi \cdot \left(\frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \pi, t\_0\right)\right)}{zi} + \frac{yi}{xi} \cdot \frac{\sin t\_0}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (*
    (fma
     (sqrt (- 1.0 (* (* (pow (- 1.0 ux) 2.0) (* ux ux)) (* maxCos maxCos))))
     (* xi (+ (/ (sin (fma 0.5 PI t_0)) zi) (* (/ yi xi) (/ (sin t_0) zi))))
     (* (* (- 1.0 ux) ux) maxCos))
    zi)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return fmaf(sqrtf((1.0f - ((powf((1.0f - ux), 2.0f) * (ux * ux)) * (maxCos * maxCos)))), (xi * ((sinf(fmaf(0.5f, ((float) M_PI), t_0)) / zi) + ((yi / xi) * (sinf(t_0) / zi)))), (((1.0f - ux) * ux) * maxCos)) * zi;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(fma(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32((Float32(Float32(1.0) - ux) ^ Float32(2.0)) * Float32(ux * ux)) * Float32(maxCos * maxCos)))), Float32(xi * Float32(Float32(sin(fma(Float32(0.5), Float32(pi), t_0)) / zi) + Float32(Float32(yi / xi) * Float32(sin(t_0) / zi)))), Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * ux) * maxCos)) * zi)
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) + \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)} \]

5. Applied rewrites 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(xi, \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot uy, 2, \frac{\pi}{2}\right)\right)}{zi}, yi \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi} \]

6. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, xi \cdot \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi \cdot zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, xi \cdot \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi \cdot zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

   2. lower-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, xi \cdot \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi \cdot zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

8. Applied rewrites 81.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, xi \cdot \left(\frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \pi, 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)}{zi} + \frac{yi}{xi} \cdot \frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{zi}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2025065 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))