Beckmann Sample, near normal, slope_x

Percentage Accurate: 57.6% → 98.6%

Time: 5.1s

Alternatives: 8

Speedup: N/A×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 57.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 98.6% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{if}\;u1 \leq 0.054999999701976776:\\ \;\;\;\;\sqrt{-1 \cdot \left(\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 + -1 \cdot 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1\right)} \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-1 \cdot \log \left(1 - u1\right)} \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* (* 2.0 PI) u2))))
   (if (<= u1 0.054999999701976776)
     (*
      (sqrt
       (*
        -1.0
        (*
         (/
          (-
           (*
            (* (+ (* -0.3333333333333333 u1) (* -1.0 0.5)) u1)
            (* (- (* -0.3333333333333333 u1) 0.5) u1))
           1.0)
          (fma (- (* (- (* -0.25 u1) 0.3333333333333333) u1) 0.5) u1 1.0))
         u1)))
      t_0)
     (* (sqrt (* -1.0 (log (- 1.0 u1)))) t_0))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
	float tmp;
	if (u1 <= 0.054999999701976776f) {
		tmp = sqrtf((-1.0f * (((((((-0.3333333333333333f * u1) + (-1.0f * 0.5f)) * u1) * (((-0.3333333333333333f * u1) - 0.5f) * u1)) - 1.0f) / fmaf(((((-0.25f * u1) - 0.3333333333333333f) * u1) - 0.5f), u1, 1.0f)) * u1))) * t_0;
	} else {
		tmp = sqrtf((-1.0f * logf((1.0f - u1)))) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2))
	tmp = Float32(0.0)
	if (u1 <= Float32(0.054999999701976776))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) * Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-0.3333333333333333) * u1) + Float32(Float32(-1.0) * Float32(0.5))) * u1) * Float32(Float32(Float32(Float32(-0.3333333333333333) * u1) - Float32(0.5)) * u1)) - Float32(1.0)) / fma(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-0.25) * u1) - Float32(0.3333333333333333)) * u1) - Float32(0.5)), u1, Float32(1.0))) * u1))) * t_0);
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) * log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * t_0);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u1 < 0.0549999997

   1. Initial program 49.3%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      3. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      6. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      9. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-*.f32 98.6

          \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 98.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      3. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      5. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      7. flip-- N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1 \cdot 1}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 + 1} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-/.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1 \cdot 1}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 + 1} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied rewrites 98.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 98.7%

       \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. lower-*.f32 98.8

          \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   13. Applied rewrites 98.8%

       \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.0549999997 < u1

   1. Initial program 97.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 0.054999999701976776:\\ \;\;\;\;\sqrt{-1 \cdot \left(\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 + -1 \cdot 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-1 \cdot \log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{if}\;u1 \leq 0.054999999701976776:\\ \;\;\;\;\sqrt{-1 \cdot \left(\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 + -1 \cdot 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1\right)} \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-1 \cdot \log \left(\left(\frac{1}{u1} - 1\right) \cdot u1\right)} \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* (* 2.0 PI) u2))))
   (if (<= u1 0.054999999701976776)
     (*
      (sqrt
       (*
        -1.0
        (*
         (/
          (-
           (*
            (* (+ (* -0.3333333333333333 u1) (* -1.0 0.5)) u1)
            (* (- (* -0.3333333333333333 u1) 0.5) u1))
           1.0)
          (fma (- (* (- (* -0.25 u1) 0.3333333333333333) u1) 0.5) u1 1.0))
         u1)))
      t_0)
     (* (sqrt (* -1.0 (log (* (- (/ 1.0 u1) 1.0) u1)))) t_0))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
	float tmp;
	if (u1 <= 0.054999999701976776f) {
		tmp = sqrtf((-1.0f * (((((((-0.3333333333333333f * u1) + (-1.0f * 0.5f)) * u1) * (((-0.3333333333333333f * u1) - 0.5f) * u1)) - 1.0f) / fmaf(((((-0.25f * u1) - 0.3333333333333333f) * u1) - 0.5f), u1, 1.0f)) * u1))) * t_0;
	} else {
		tmp = sqrtf((-1.0f * logf((((1.0f / u1) - 1.0f) * u1)))) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2))
	tmp = Float32(0.0)
	if (u1 <= Float32(0.054999999701976776))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) * Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-0.3333333333333333) * u1) + Float32(Float32(-1.0) * Float32(0.5))) * u1) * Float32(Float32(Float32(Float32(-0.3333333333333333) * u1) - Float32(0.5)) * u1)) - Float32(1.0)) / fma(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-0.25) * u1) - Float32(0.3333333333333333)) * u1) - Float32(0.5)), u1, Float32(1.0))) * u1))) * t_0);
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) * log(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / u1) - Float32(1.0)) * u1)))) * t_0);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u1 < 0.0549999997

   1. Initial program 49.3%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      3. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      6. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      9. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-*.f32 98.6

          \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 98.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      3. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      5. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      7. flip-- N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1 \cdot 1}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 + 1} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-/.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1 \cdot 1}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 + 1} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied rewrites 98.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 98.7%

       \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. lower-*.f32 98.8

          \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   13. Applied rewrites 98.8%

       \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.0549999997 < u1

   1. Initial program 97.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around inf

      \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{u1} - 1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(\left(\frac{1}{u1} - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(\left(\frac{1}{u1} - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      3. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(\left(\frac{1}{u1} - 1\right) \cdot u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-/.f32 97.5

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(\left(\frac{1}{u1} - 1\right) \cdot u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 97.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{u1} - 1\right) \cdot u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 0.054999999701976776:\\ \;\;\;\;\sqrt{-1 \cdot \left(\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 + -1 \cdot 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-1 \cdot \log \left(\left(\frac{1}{u1} - 1\right) \cdot u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 94.8% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\\ \sqrt{-1 \cdot \left(\frac{\left(t\_0 \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(t\_0, u1, 1\right)} \cdot u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (- (* (- (* -0.25 u1) 0.3333333333333333) u1) 0.5)))
   (*
    (sqrt
     (*
      -1.0
      (*
       (/
        (- (* (* t_0 u1) (* (- (* -0.3333333333333333 u1) 0.5) u1)) 1.0)
        (fma t_0 u1 1.0))
       u1)))
    (cos (* (* 2.0 PI) u2)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = (((-0.25f * u1) - 0.3333333333333333f) * u1) - 0.5f;
	return sqrtf((-1.0f * (((((t_0 * u1) * (((-0.3333333333333333f * u1) - 0.5f) * u1)) - 1.0f) / fmaf(t_0, u1, 1.0f)) * u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-0.25) * u1) - Float32(0.3333333333333333)) * u1) - Float32(0.5))
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) * Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(t_0 * u1) * Float32(Float32(Float32(Float32(-0.3333333333333333) * u1) - Float32(0.5)) * u1)) - Float32(1.0)) / fma(t_0, u1, Float32(1.0))) * u1))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

Derivation

1. Initial program 54.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   9. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-*.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. flip-- N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1 \cdot 1}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 + 1} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-/.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1 \cdot 1}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 + 1} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

7. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 95.3%

    \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

11. Final simplification 95.3%

    \[\leadsto \sqrt{-1 \cdot \left(\frac{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 94.5% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-1 \cdot \left(\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 + -1 \cdot 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    -1.0
    (*
     (/
      (-
       (*
        (* (+ (* -0.3333333333333333 u1) (* -1.0 0.5)) u1)
        (* (- (* -0.3333333333333333 u1) 0.5) u1))
       1.0)
      (fma (- (* (- (* -0.25 u1) 0.3333333333333333) u1) 0.5) u1 1.0))
     u1)))
  (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((-1.0f * (((((((-0.3333333333333333f * u1) + (-1.0f * 0.5f)) * u1) * (((-0.3333333333333333f * u1) - 0.5f) * u1)) - 1.0f) / fmaf(((((-0.25f * u1) - 0.3333333333333333f) * u1) - 0.5f), u1, 1.0f)) * u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) * Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-0.3333333333333333) * u1) + Float32(Float32(-1.0) * Float32(0.5))) * u1) * Float32(Float32(Float32(Float32(-0.3333333333333333) * u1) - Float32(0.5)) * u1)) - Float32(1.0)) / fma(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-0.25) * u1) - Float32(0.3333333333333333)) * u1) - Float32(0.5)), u1, Float32(1.0))) * u1))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

Derivation

1. Initial program 54.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   9. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-*.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. flip-- N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1 \cdot 1}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 + 1} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-/.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1 \cdot 1}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 + 1} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

7. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 95.3%

    \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

11. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 95.1

       \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

13. Applied rewrites 95.1%

    \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

14. Final simplification 95.1%

    \[\leadsto \sqrt{-1 \cdot \left(\frac{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 + -1 \cdot 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 5: 94.0% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-1 \cdot \left(\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    -1.0
    (* (- (* (- (* (- (* -0.25 u1) 0.3333333333333333) u1) 0.5) u1) 1.0) u1)))
  (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((-1.0f * (((((((-0.25f * u1) - 0.3333333333333333f) * u1) - 0.5f) * u1) - 1.0f) * u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) * Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-0.25) * u1) - Float32(0.3333333333333333)) * u1) - Float32(0.5)) * u1) - Float32(1.0)) * u1))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((single(-1.0) * (((((((single(-0.25) * u1) - single(0.3333333333333333)) * u1) - single(0.5)) * u1) - single(1.0)) * u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Derivation

1. Initial program 54.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   9. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-*.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. flip-- N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1 \cdot 1}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 + 1} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-/.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) - 1 \cdot 1}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 + 1} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

7. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\frac{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   9. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   10. lift--.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

10. Applied rewrites 94.5%

    \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

11. Final simplification 94.5%

    \[\leadsto \sqrt{-1 \cdot \left(\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 93.8% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-1 \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{u1 \cdot u1}\right) + 0.3333333333333333}{u1} + 0.25\right)\right) \cdot {u1}^{4}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    -1.0
    (*
     (*
      -1.0
      (+
       (/ (+ (fma (/ 1.0 u1) 0.5 (/ 1.0 (* u1 u1))) 0.3333333333333333) u1)
       0.25))
     (pow u1 4.0))))
  (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((-1.0f * ((-1.0f * (((fmaf((1.0f / u1), 0.5f, (1.0f / (u1 * u1))) + 0.3333333333333333f) / u1) + 0.25f)) * powf(u1, 4.0f)))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) * Float32(Float32(Float32(-1.0) * Float32(Float32(Float32(fma(Float32(Float32(1.0) / u1), Float32(0.5), Float32(Float32(1.0) / Float32(u1 * u1))) + Float32(0.3333333333333333)) / u1) + Float32(0.25))) * (u1 ^ Float32(4.0))))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

Derivation

1. Initial program 54.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   9. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-*.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u1 around -inf

   \[\leadsto \sqrt{-{u1}^{4} \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u1} + \frac{1}{{u1}^{2}}\right)}{u1} - \frac{1}{4}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u1} + \frac{1}{{u1}^{2}}\right)}{u1} - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{\color{blue}{4}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u1} + \frac{1}{{u1}^{2}}\right)}{u1} - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{\color{blue}{4}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

8. Applied rewrites 94.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{u1 \cdot u1}\right) + 0.3333333333333333}{u1} \cdot -1 - 0.25\right) \cdot \color{blue}{{u1}^{4}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

9. Final simplification 94.3%

   \[\leadsto \sqrt{-1 \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{u1 \cdot u1}\right) + 0.3333333333333333}{u1} + 0.25\right)\right) \cdot {u1}^{4}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 90.0% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-1 \cdot \left(\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + 0.3333333333333333}{-1 \cdot u1} - 0.25\right) \cdot {u1}^{4}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    -1.0
    (*
     (-
      (/
       (+
        (fma (/ 1.0 u1) 0.5 (/ 1.0 (exp (* (log u1) 2.0))))
        0.3333333333333333)
       (* -1.0 u1))
      0.25)
     (pow u1 4.0))))
  (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((-1.0f * ((((fmaf((1.0f / u1), 0.5f, (1.0f / expf((logf(u1) * 2.0f)))) + 0.3333333333333333f) / (-1.0f * u1)) - 0.25f) * powf(u1, 4.0f)))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) * Float32(Float32(Float32(Float32(fma(Float32(Float32(1.0) / u1), Float32(0.5), Float32(Float32(1.0) / exp(Float32(log(u1) * Float32(2.0))))) + Float32(0.3333333333333333)) / Float32(Float32(-1.0) * u1)) - Float32(0.25)) * (u1 ^ Float32(4.0))))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

Derivation

1. Initial program 54.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   9. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-*.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u1 around -inf

   \[\leadsto \sqrt{-{u1}^{4} \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u1} + \frac{1}{{u1}^{2}}\right)}{u1} - \frac{1}{4}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u1} + \frac{1}{{u1}^{2}}\right)}{u1} - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{\color{blue}{4}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u1} + \frac{1}{{u1}^{2}}\right)}{u1} - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{\color{blue}{4}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

8. Applied rewrites 94.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{u1 \cdot u1}\right) + 0.3333333333333333}{u1} \cdot -1 - 0.25\right) \cdot \color{blue}{{u1}^{4}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{u1 \cdot u1}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. pow2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{{u1}^{2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. lower-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lower-log.f32 90.2

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + 0.3333333333333333}{u1} \cdot -1 - 0.25\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

10. Applied rewrites 90.2%

    \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + 0.3333333333333333}{u1} \cdot -1 - 0.25\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

11. Final simplification 90.2%

    \[\leadsto \sqrt{-1 \cdot \left(\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + 0.3333333333333333}{-1 \cdot u1} - 0.25\right) \cdot {u1}^{4}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 90.0% accurate, N/A× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-1 \cdot \left(\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + 0.3333333333333333}{-1 \cdot u1} - 0.25\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    -1.0
    (*
     (-
      (/
       (+
        (fma (/ 1.0 u1) 0.5 (/ 1.0 (exp (* (log u1) 2.0))))
        0.3333333333333333)
       (* -1.0 u1))
      0.25)
     (* (* u1 u1) (* u1 u1)))))
  (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((-1.0f * ((((fmaf((1.0f / u1), 0.5f, (1.0f / expf((logf(u1) * 2.0f)))) + 0.3333333333333333f) / (-1.0f * u1)) - 0.25f) * ((u1 * u1) * (u1 * u1))))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(-1.0) * Float32(Float32(Float32(Float32(fma(Float32(Float32(1.0) / u1), Float32(0.5), Float32(Float32(1.0) / exp(Float32(log(u1) * Float32(2.0))))) + Float32(0.3333333333333333)) / Float32(Float32(-1.0) * u1)) - Float32(0.25)) * Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(u1 * u1))))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

Derivation

1. Initial program 54.6%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   9. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-*.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u1 around -inf

   \[\leadsto \sqrt{-{u1}^{4} \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u1} + \frac{1}{{u1}^{2}}\right)}{u1} - \frac{1}{4}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u1} + \frac{1}{{u1}^{2}}\right)}{u1} - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{\color{blue}{4}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u1} + \frac{1}{{u1}^{2}}\right)}{u1} - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{\color{blue}{4}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

8. Applied rewrites 94.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{u1 \cdot u1}\right) + 0.3333333333333333}{u1} \cdot -1 - 0.25\right) \cdot \color{blue}{{u1}^{4}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{u1 \cdot u1}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   2. pow2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{{u1}^{2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   3. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. lower-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. lower-log.f32 90.2

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + 0.3333333333333333}{u1} \cdot -1 - 0.25\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

10. Applied rewrites 90.2%

    \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + 0.3333333333333333}{u1} \cdot -1 - 0.25\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. lift-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot {u1}^{4}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

    2. sqr-pow N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left({u1}^{\left(\frac{4}{2}\right)} \cdot {u1}^{\color{blue}{\left(\frac{4}{2}\right)}}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left({u1}^{2} \cdot {u1}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left({u1}^{2} \cdot {u1}^{2}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

    5. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left({u1}^{2} \cdot {u1}^{\color{blue}{2}}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

    6. pow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot {u1}^{2}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

    7. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot {u1}^{2}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

    8. pow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + \frac{1}{3}}{u1} \cdot -1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

    9. lift-*.f32 90.2

       \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + 0.3333333333333333}{u1} \cdot -1 - 0.25\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

12. Applied rewrites 90.2%

    \[\leadsto \sqrt{-\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + 0.3333333333333333}{u1} \cdot -1 - 0.25\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(u1 \cdot \color{blue}{u1}\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

13. Final simplification 90.2%

    \[\leadsto \sqrt{-1 \cdot \left(\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{u1}, 0.5, \frac{1}{e^{\log u1 \cdot 2}}\right) + 0.3333333333333333}{-1 \cdot u1} - 0.25\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
14. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2025064 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))