math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 65.3% → 99.6%

Time: 6.8s

Alternatives: 23

Speedup: 2.2×

• 49.8% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(re, im)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 65.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(re, im)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ \mathbf{if}\;im \leq -2.1:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(e^{-im} - 1\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \sin re, -0.16666666666666666, -\sin re\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(1 - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (if (<= im -2.1)
     (* t_0 (- (exp (- im)) 1.0))
     (if (<= im 2.1)
       (* (fma (* (* im im) (sin re)) -0.16666666666666666 (- (sin re))) im)
       (* t_0 (- 1.0 (exp im)))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (im <= -2.1) {
		tmp = t_0 * (exp(-im) - 1.0);
	} else if (im <= 2.1) {
		tmp = fma(((im * im) * sin(re)), -0.16666666666666666, -sin(re)) * im;
	} else {
		tmp = t_0 * (1.0 - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im <= -2.1)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(exp(Float64(-im)) - 1.0));
	elseif (im <= 2.1)
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(im * im) * sin(re)), -0.16666666666666666, Float64(-sin(re))) * im);
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(1.0 - exp(im)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, -2.1], N[(t$95$0 * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2.1], N[(N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(1.0 - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < -2.10000000000000009

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - \color{blue}{1}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - \color{blue}{1}\right) \]

   if -2.10000000000000009 < im < 2.10000000000000009

   1. Initial program 28.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 99.8

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      2. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      3. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      4. lift-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      7. pow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6} + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({im}^{2} \cdot \sin re, \frac{-1}{6}, -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({im}^{2} \cdot \sin re, \frac{-1}{6}, -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      12. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \sin re, \frac{-1}{6}, -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      13. lift-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \sin re, \frac{-1}{6}, -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      14. lift-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \sin re, \frac{-1}{6}, -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      15. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \sin re, \frac{-1}{6}, \mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right) \cdot im \]

      16. lift-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \sin re, \frac{-1}{6}, \mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right) \cdot im \]

      17. lift-neg.f64 99.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \sin re, -0.16666666666666666, -\sin re\right) \cdot im \]

   7. Applied rewrites 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \sin re, -0.16666666666666666, -\sin re\right) \cdot im \]

   if 2.10000000000000009 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 83.1% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ t_1 := \left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 0.0004:\\ \;\;\;\;\left(-\sin re\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))
        (t_1
         (*
          (-
           (*
            (-
             (*
              (*
               (- (* -0.0003968253968253968 (* im im)) 0.016666666666666666)
               im)
              im)
             0.3333333333333333)
            (* im im))
           2.0)
          im)))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (*
      (*
       (fma
        (- (* 0.004166666666666667 (* re re)) 0.08333333333333333)
        (* re re)
        0.5)
       re)
      t_1)
     (if (<= t_0 0.0004)
       (* (- (sin re)) im)
       (*
        (*
         (fma
          (-
           (*
            (fma -9.92063492063492e-5 (* re re) 0.004166666666666667)
            (* re re))
           0.08333333333333333)
          (* re re)
          0.5)
         re)
        t_1)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	double t_1 = (((((((-0.0003968253968253968 * (im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im;
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = (fma(((0.004166666666666667 * (re * re)) - 0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * t_1;
	} else if (t_0 <= 0.0004) {
		tmp = -sin(re) * im;
	} else {
		tmp = (fma(((fma(-9.92063492063492e-5, (re * re), 0.004166666666666667) * (re * re)) - 0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
	t_1 = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * Float64(im * im)) - 2.0) * im)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(0.004166666666666667 * Float64(re * re)) - 0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * t_1);
	elseif (t_0 <= 0.0004)
		tmp = Float64(Float64(-sin(re)) * im);
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(fma(-9.92063492063492e-5, Float64(re * re), 0.004166666666666667) * Float64(re * re)) - 0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 0.0004], N[((-N[Sin[re], $MachinePrecision]) * im), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(-9.92063492063492e-5 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.004166666666666667), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 88.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 68.6

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 68.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < 4.00000000000000019e-4

   1. Initial program 28.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right) \cdot im \]

      5. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

      6. lift-sin.f64 99.2

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re\right) \cdot im} \]

   if 4.00000000000000019e-4 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 84.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 65.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 53.6% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot re\right) \cdot t\_0\right) \cdot im\\ \mathbf{elif}\;t\_1 \leq 0.1:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(t\_0 \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333, re \cdot re, 0.16666666666666666\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma (* -0.16666666666666666 im) im -1.0)) (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (if (<= t_1 -0.01)
     (* (* (* (fma (* re re) -0.16666666666666666 1.0) re) t_0) im)
     (if (<= t_1 0.1)
       (* re (* t_0 im))
       (*
        (*
         (-
          (*
           (fma -0.008333333333333333 (* re re) 0.16666666666666666)
           (* re re))
          1.0)
         re)
        im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = fma((-0.16666666666666666 * im), im, -1.0);
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (t_1 <= -0.01) {
		tmp = ((fma((re * re), -0.16666666666666666, 1.0) * re) * t_0) * im;
	} else if (t_1 <= 0.1) {
		tmp = re * (t_0 * im);
	} else {
		tmp = (((fma(-0.008333333333333333, (re * re), 0.16666666666666666) * (re * re)) - 1.0) * re) * im;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	t_0 = fma(Float64(-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.16666666666666666, 1.0) * re) * t_0) * im);
	elseif (t_1 <= 0.1)
		tmp = Float64(re * Float64(t_0 * im));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(fma(-0.008333333333333333, Float64(re * re), 0.16666666666666666) * Float64(re * re)) - 1.0) * re) * im);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(-0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im + -1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, -0.01], N[(N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$1, 0.1], N[(re * N[(t$95$0 * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.008333333333333333 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 59.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 74.6

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 74.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2} + 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6} + 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{6}, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, \frac{-1}{6}, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lower-*.f64 24.8

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   8. Applied rewrites 24.8%

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   if -0.0100000000000000002 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < 0.10000000000000001

   1. Initial program 78.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 76.3

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 70.1%

      \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      3. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      4. lift-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot im\right)} \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot im\right)} \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      8. lift-fma.f64 N/A

         \[\leadsto re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right) \]

      9. lift-*.f64 75.7

         \[\leadsto re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right) \]

   10. Applied rewrites 75.7%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right)} \]

   if 0.10000000000000001 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re))

   1. Initial program 61.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right) \cdot im \]

      5. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

      6. lift-sin.f64 45.6

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 45.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) - 1\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      5. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{6}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{120}, {re}^{2}, \frac{1}{6}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{120}, re \cdot re, \frac{1}{6}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{120}, re \cdot re, \frac{1}{6}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{120}, re \cdot re, \frac{1}{6}\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 30.1

          \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333, re \cdot re, 0.16666666666666666\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

   8. Applied rewrites 30.1%

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333, re \cdot re, 0.16666666666666666\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 52.9% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, 0.16666666666666666, -im\right) \cdot re\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 0.1:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333, re \cdot re, 0.16666666666666666\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (if (<= t_0 -0.01)
     (* (fma (* (* re re) im) 0.16666666666666666 (- im)) re)
     (if (<= t_0 0.1)
       (* re (* (fma (* -0.16666666666666666 im) im -1.0) im))
       (*
        (*
         (-
          (*
           (fma -0.008333333333333333 (* re re) 0.16666666666666666)
           (* re re))
          1.0)
         re)
        im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.01) {
		tmp = fma(((re * re) * im), 0.16666666666666666, -im) * re;
	} else if (t_0 <= 0.1) {
		tmp = re * (fma((-0.16666666666666666 * im), im, -1.0) * im);
	} else {
		tmp = (((fma(-0.008333333333333333, (re * re), 0.16666666666666666) * (re * re)) - 1.0) * re) * im;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.01)
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(re * re) * im), 0.16666666666666666, Float64(-im)) * re);
	elseif (t_0 <= 0.1)
		tmp = Float64(re * Float64(fma(Float64(-0.16666666666666666 * im), im, -1.0) * im));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(fma(-0.008333333333333333, Float64(re * re), 0.16666666666666666) * Float64(re * re)) - 1.0) * re) * im);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, -0.01], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + (-im)), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 0.1], N[(re * N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im + -1.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.008333333333333333 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 59.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right) \cdot im \]

      5. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

      6. lift-sin.f64 46.6

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 46.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot re \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot re \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{1}{6} + -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(im \cdot {re}^{2}, \frac{1}{6}, -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot im, \frac{1}{6}, -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot im, \frac{1}{6}, -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, \frac{1}{6}, -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, \frac{1}{6}, -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, \frac{1}{6}, \mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot re \]

      11. lower-neg.f64 20.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, 0.16666666666666666, -im\right) \cdot re \]

   8. Applied rewrites 20.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, 0.16666666666666666, -im\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   if -0.0100000000000000002 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < 0.10000000000000001

   1. Initial program 78.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 76.3

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 70.1%

      \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      3. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      4. lift-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot im\right)} \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot im\right)} \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      8. lift-fma.f64 N/A

         \[\leadsto re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right) \]

      9. lift-*.f64 75.7

         \[\leadsto re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right) \]

   10. Applied rewrites 75.7%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right)} \]

   if 0.10000000000000001 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re))

   1. Initial program 61.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right) \cdot im \]

      5. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

      6. lift-sin.f64 45.6

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 45.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) - 1\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      5. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{6}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{120}, {re}^{2}, \frac{1}{6}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{120}, re \cdot re, \frac{1}{6}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{120}, re \cdot re, \frac{1}{6}\right) \cdot {re}^{2} - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{120}, re \cdot re, \frac{1}{6}\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 30.1

          \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333, re \cdot re, 0.16666666666666666\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]

   8. Applied rewrites 30.1%

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333, re \cdot re, 0.16666666666666666\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 1\right) \cdot re\right) \cdot im \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ \mathbf{if}\;im \leq -2.1:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(e^{-im} - 1\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.1:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(1 - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (if (<= im -2.1)
     (* t_0 (- (exp (- im)) 1.0))
     (if (<= im 2.1)
       (* (* (sin re) (fma (* -0.16666666666666666 im) im -1.0)) im)
       (* t_0 (- 1.0 (exp im)))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (im <= -2.1) {
		tmp = t_0 * (exp(-im) - 1.0);
	} else if (im <= 2.1) {
		tmp = (sin(re) * fma((-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im;
	} else {
		tmp = t_0 * (1.0 - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im <= -2.1)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(exp(Float64(-im)) - 1.0));
	elseif (im <= 2.1)
		tmp = Float64(Float64(sin(re) * fma(Float64(-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im);
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(1.0 - exp(im)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, -2.1], N[(t$95$0 * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2.1], N[(N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(1.0 - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < -2.10000000000000009

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - \color{blue}{1}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - \color{blue}{1}\right) \]

   if -2.10000000000000009 < im < 2.10000000000000009

   1. Initial program 28.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 99.8

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

   if 2.10000000000000009 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.4% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ \mathbf{if}\;im \leq 2.2:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(1 - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (if (<= im 2.2)
     (*
      t_0
      (*
       (-
        (*
         (-
          (* (* (* (* -0.0003968253968253968 im) im) im) im)
          0.3333333333333333)
         (* im im))
        2.0)
       im))
     (* t_0 (- 1.0 (exp im))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (im <= 2.2) {
		tmp = t_0 * ((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im);
	} else {
		tmp = t_0 * (1.0 - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(re, im)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 * sin(re)
    if (im <= 2.2d0) then
        tmp = t_0 * (((((((((-0.0003968253968253968d0) * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333d0) * (im * im)) - 2.0d0) * im)
    else
        tmp = t_0 * (1.0d0 - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (im <= 2.2) {
		tmp = t_0 * ((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im);
	} else {
		tmp = t_0 * (1.0 - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if im <= 2.2:
		tmp = t_0 * ((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im)
	else:
		tmp = t_0 * (1.0 - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im <= 2.2)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333) * Float64(im * im)) - 2.0) * im));
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(1.0 - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2.2)
		tmp = t_0 * ((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im);
	else
		tmp = t_0 * (1.0 - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 2.2], N[(t$95$0 * N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(1.0 - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.2000000000000002

   1. Initial program 54.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 95.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. lower-*.f64 95.3

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 95.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   if 2.2000000000000002 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 59.4% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\\ \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sin re \leq -0.001:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (-
           (*
            (-
             (*
              (*
               (- (* -0.0003968253968253968 (* im im)) 0.016666666666666666)
               im)
              im)
             0.3333333333333333)
            (* im im))
           2.0)
          im)))
   (if (<= (* 0.5 (sin re)) -0.001)
     (*
      (*
       (fma
        (-
         (*
          (fma -9.92063492063492e-5 (* re re) 0.004166666666666667)
          (* re re))
         0.08333333333333333)
        (* re re)
        0.5)
       re)
      t_0)
     (*
      (*
       (fma
        (- (* 0.004166666666666667 (* re re)) 0.08333333333333333)
        (* re re)
        0.5)
       re)
      t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (((((((-0.0003968253968253968 * (im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im;
	double tmp;
	if ((0.5 * sin(re)) <= -0.001) {
		tmp = (fma(((fma(-9.92063492063492e-5, (re * re), 0.004166666666666667) * (re * re)) - 0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * t_0;
	} else {
		tmp = (fma(((0.004166666666666667 * (re * re)) - 0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * Float64(im * im)) - 2.0) * im)
	tmp = 0.0
	if (Float64(0.5 * sin(re)) <= -0.001)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(fma(-9.92063492063492e-5, Float64(re * re), 0.004166666666666667) * Float64(re * re)) - 0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(0.004166666666666667 * Float64(re * re)) - 0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.001], N[(N[(N[(N[(N[(N[(-9.92063492063492e-5 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.004166666666666667), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < -1e-3

   1. Initial program 59.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 85.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 26.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right) \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   if -1e-3 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re))

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 93.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 71.2

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 71.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 59.3% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\\ \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sin re \leq -0.001:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (-
           (*
            (-
             (*
              (*
               (- (* -0.0003968253968253968 (* im im)) 0.016666666666666666)
               im)
              im)
             0.3333333333333333)
            (* im im))
           2.0)
          im)))
   (if (<= (* 0.5 (sin re)) -0.001)
     (* (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re) t_0)
     (*
      (*
       (fma
        (- (* 0.004166666666666667 (* re re)) 0.08333333333333333)
        (* re re)
        0.5)
       re)
      t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (((((((-0.0003968253968253968 * (im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im;
	double tmp;
	if ((0.5 * sin(re)) <= -0.001) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * t_0;
	} else {
		tmp = (fma(((0.004166666666666667 * (re * re)) - 0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * Float64(im * im)) - 2.0) * im)
	tmp = 0.0
	if (Float64(0.5 * sin(re)) <= -0.001)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(0.004166666666666667 * Float64(re * re)) - 0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.001], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < -1e-3

   1. Initial program 59.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 85.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{12} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 24.8

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   if -1e-3 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re))

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 93.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 71.2

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 71.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 59.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sin re \leq 0.0005:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667 - 0.08333333333333333\right) \cdot re, re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (* 0.5 (sin re)) 0.0005)
   (*
    (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
    (*
     (-
      (*
       (-
        (*
         (* (- (* -0.0003968253968253968 (* im im)) 0.016666666666666666) im)
         im)
        0.3333333333333333)
       (* im im))
      2.0)
     im))
   (*
    (*
     (fma
      (* (- (* (* re re) 0.004166666666666667) 0.08333333333333333) re)
      re
      0.5)
     re)
    (*
     (-
      (* (* (- (* -0.016666666666666666 (* im im)) 0.3333333333333333) im) im)
      2.0)
     im))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((0.5 * sin(re)) <= 0.0005) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * ((((((((-0.0003968253968253968 * (im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im);
	} else {
		tmp = (fma(((((re * re) * 0.004166666666666667) - 0.08333333333333333) * re), re, 0.5) * re) * ((((((-0.016666666666666666 * (im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (Float64(0.5 * sin(re)) <= 0.0005)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * Float64(im * im)) - 2.0) * im));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667) - 0.08333333333333333) * re), re, 0.5) * re) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.016666666666666666 * Float64(im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0005], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision] - 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * re + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < 5.0000000000000001e-4

   1. Initial program 72.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 90.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{12} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 68.4

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 68.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   if 5.0000000000000001e-4 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re))

   1. Initial program 60.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 95.5

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 95.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 30.8

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 30.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lift-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot \left(re \cdot re\right) + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot \left(re \cdot re\right) + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot \left(re \cdot re\right) + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot \left(re \cdot re\right) + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot re\right) \cdot re + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot re, re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot re, re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot re, re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot re, re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240} - \frac{1}{12}\right) \cdot re, re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240} - \frac{1}{12}\right) \cdot re, re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      13. pow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{240} - \frac{1}{12}\right) \cdot re, re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      14. lift-*.f64 30.8

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667 - 0.08333333333333333\right) \cdot re, re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   10. Applied rewrites 30.8%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667 - 0.08333333333333333\right) \cdot re, re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 59.1% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sin re \leq 0.0005:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (* 0.5 (sin re)) 0.0005)
   (*
    (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
    (*
     (-
      (*
       (-
        (*
         (* (- (* -0.0003968253968253968 (* im im)) 0.016666666666666666) im)
         im)
        0.3333333333333333)
       (* im im))
      2.0)
     im))
   (*
    (* (fma (* (* re re) 0.004166666666666667) (* re re) 0.5) re)
    (*
     (-
      (* (* (- (* -0.016666666666666666 (* im im)) 0.3333333333333333) im) im)
      2.0)
     im))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((0.5 * sin(re)) <= 0.0005) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * ((((((((-0.0003968253968253968 * (im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im);
	} else {
		tmp = (fma(((re * re) * 0.004166666666666667), (re * re), 0.5) * re) * ((((((-0.016666666666666666 * (im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (Float64(0.5 * sin(re)) <= 0.0005)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * Float64(im * im)) - 2.0) * im));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667), Float64(re * re), 0.5) * re) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.016666666666666666 * Float64(im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0005], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < 5.0000000000000001e-4

   1. Initial program 72.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 90.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{12} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 68.4

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 68.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   if 5.0000000000000001e-4 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re))

   1. Initial program 60.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 95.5

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 95.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 30.8

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 30.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

       3. pow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

       4. lift-*.f64 30.8

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   11. Applied rewrites 30.8%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 59.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (* 0.5 (sin re)) -0.01)
   (*
    (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
    (*
     (-
      (* (* (- (* -0.016666666666666666 (* im im)) 0.3333333333333333) im) im)
      2.0)
     im))
   (*
    (* re 0.5)
    (*
     (-
      (*
       (*
        (-
         (*
          (* (- (* (* -0.0003968253968253968 im) im) 0.016666666666666666) im)
          im)
         0.3333333333333333)
        im)
       im)
      2.0)
     im))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((0.5 * sin(re)) <= -0.01) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * ((((((-0.016666666666666666 * (im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
	} else {
		tmp = (re * 0.5) * ((((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (Float64(0.5 * sin(re)) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.016666666666666666 * Float64(im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im));
	else
		tmp = Float64(Float64(re * 0.5) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * im) * im) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(re * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 59.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 80.2

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 80.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{12} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 24.8

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   if -0.0100000000000000002 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re))

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 93.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   7. Applied rewrites 93.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im - 0.016666666666666666\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. lift-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. lift--.f64 93.8

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   9. Applied rewrites 93.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   10. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

       2. lower-*.f64 70.7

          \[\leadsto \left(re \cdot \color{blue}{0.5}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   12. Applied rewrites 70.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 57.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sin re \leq 0.0005:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (* 0.5 (sin re)) 0.0005)
   (*
    (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
    (*
     (-
      (* (* (- (* -0.016666666666666666 (* im im)) 0.3333333333333333) im) im)
      2.0)
     im))
   (*
    (*
     (*
      (fma
       (- (* 0.008333333333333333 (* re re)) 0.16666666666666666)
       (* re re)
       1.0)
      re)
     (fma (* -0.16666666666666666 im) im -1.0))
    im)))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((0.5 * sin(re)) <= 0.0005) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * ((((((-0.016666666666666666 * (im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
	} else {
		tmp = ((fma(((0.008333333333333333 * (re * re)) - 0.16666666666666666), (re * re), 1.0) * re) * fma((-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (Float64(0.5 * sin(re)) <= 0.0005)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.016666666666666666 * Float64(im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(Float64(0.008333333333333333 * Float64(re * re)) - 0.16666666666666666), Float64(re * re), 1.0) * re) * fma(Float64(-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0005], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < 5.0000000000000001e-4

   1. Initial program 72.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 87.2

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 87.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{12} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 67.3

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 67.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   if 5.0000000000000001e-4 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re))

   1. Initial program 60.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 87.4

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 87.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(\left(re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot {re}^{2} + 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}, {re}^{2}, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}, {re}^{2}, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}, {re}^{2}, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{6}, {re}^{2}, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{6}, {re}^{2}, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{6}, re \cdot re, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 30.7

          \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   8. Applied rewrites 30.7%

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 93.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (* 0.5 (sin re))
  (*
   (-
    (*
     (*
      (-
       (*
        (* (- (* (* -0.0003968253968253968 im) im) 0.016666666666666666) im)
        im)
       0.3333333333333333)
      im)
     im)
    2.0)
   im)))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * ((((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(re, im)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (((((((((((-0.0003968253968253968d0) * im) * im) - 0.016666666666666666d0) * im) * im) - 0.3333333333333333d0) * im) * im) - 2.0d0) * im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * ((((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * ((((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * im) * im) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * ((((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 69.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

5. Applied rewrites 91.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   2. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   5. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   6. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

7. Applied rewrites 91.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im - 0.016666666666666666\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   3. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   5. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   7. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   11. lift--.f64 91.7

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

9. Applied rewrites 91.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 14: 91.9% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)\\ t_1 := \left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\\ \mathbf{if}\;im \leq -4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq -600:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;im \leq 800:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (* (* 0.5 (sin re)) (* (- (* -0.3333333333333333 (* im im)) 2.0) im)))
        (t_1
         (*
          (-
           (*
            (-
             (*
              (*
               (- (* -0.0003968253968253968 (* im im)) 0.016666666666666666)
               im)
              im)
             0.3333333333333333)
            (* im im))
           2.0)
          im)))
   (if (<= im -4.4e+101)
     t_0
     (if (<= im -600.0)
       (* (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re) t_1)
       (if (<= im 800.0)
         (* (* (sin re) (fma (* -0.16666666666666666 im) im -1.0)) im)
         (if (<= im 8e+102)
           (*
            (*
             (fma
              (- (* 0.004166666666666667 (* re re)) 0.08333333333333333)
              (* re re)
              0.5)
             re)
            t_1)
           t_0))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (0.5 * sin(re)) * (((-0.3333333333333333 * (im * im)) - 2.0) * im);
	double t_1 = (((((((-0.0003968253968253968 * (im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im;
	double tmp;
	if (im <= -4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= -600.0) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * t_1;
	} else if (im <= 800.0) {
		tmp = (sin(re) * fma((-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im;
	} else if (im <= 8e+102) {
		tmp = (fma(((0.004166666666666667 * (re * re)) - 0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * t_1;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(Float64(Float64(-0.3333333333333333 * Float64(im * im)) - 2.0) * im))
	t_1 = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * Float64(im * im)) - 2.0) * im)
	tmp = 0.0
	if (im <= -4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= -600.0)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * t_1);
	elseif (im <= 800.0)
		tmp = Float64(Float64(sin(re) * fma(Float64(-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im);
	elseif (im <= 8e+102)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(0.004166666666666667 * Float64(re * re)) - 0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * t_1);
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, -4.4e+101], t$95$0, If[LessEqual[im, -600.0], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 800.0], N[(N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 8e+102], N[(N[(N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], t$95$0]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < -4.4000000000000001e101 or 7.99999999999999982e102 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-*.f64 98.2

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   if -4.4000000000000001e101 < im < -600

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 66.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{12} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 57.5

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 57.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   if -600 < im < 800

   1. Initial program 28.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 99.8

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

   if 800 < im < 7.99999999999999982e102

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 48.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 70.0

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 15: 57.3% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (* 0.5 (sin re)) -0.01)
   (*
    (*
     (* (fma (* re re) -0.16666666666666666 1.0) re)
     (fma (* -0.16666666666666666 im) im -1.0))
    im)
   (*
    (* 0.5 re)
    (*
     (-
      (* (* (- (* -0.016666666666666666 (* im im)) 0.3333333333333333) im) im)
      2.0)
     im))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((0.5 * sin(re)) <= -0.01) {
		tmp = ((fma((re * re), -0.16666666666666666, 1.0) * re) * fma((-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im;
	} else {
		tmp = (0.5 * re) * ((((((-0.016666666666666666 * (im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (Float64(0.5 * sin(re)) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.16666666666666666, 1.0) * re) * fma(Float64(-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.016666666666666666 * Float64(im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 59.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 74.6

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 74.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2} + 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6} + 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{6}, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, \frac{-1}{6}, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lower-*.f64 24.8

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   8. Applied rewrites 24.8%

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   if -0.0100000000000000002 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re))

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 92.8

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 92.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 69.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 16: 93.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (* 0.5 (sin re))
  (*
   (-
    (*
     (- (* (* (* (* -0.0003968253968253968 im) im) im) im) 0.3333333333333333)
     (* im im))
    2.0)
   im)))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * ((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(re, im)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (((((((((-0.0003968253968253968d0) * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333d0) * (im * im)) - 2.0d0) * im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * ((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im);
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * ((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333) * Float64(im * im)) - 2.0) * im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * ((((((((-0.0003968253968253968 * im) * im) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 69.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

5. Applied rewrites 91.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

6. Taylor expanded in im around inf

   \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   3. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   4. lower-*.f64 91.7

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

8. Applied rewrites 91.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 17: 57.1% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (* 0.5 (sin re)) -0.01)
   (*
    (*
     (* (fma (* re re) -0.16666666666666666 1.0) re)
     (fma (* -0.16666666666666666 im) im -1.0))
    im)
   (*
    (* 0.5 re)
    (* (- (* (* (* (* im im) -0.016666666666666666) im) im) 2.0) im))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((0.5 * sin(re)) <= -0.01) {
		tmp = ((fma((re * re), -0.16666666666666666, 1.0) * re) * fma((-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im;
	} else {
		tmp = (0.5 * re) * ((((((im * im) * -0.016666666666666666) * im) * im) - 2.0) * im);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (Float64(0.5 * sin(re)) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.16666666666666666, 1.0) * re) * fma(Float64(-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(im * im) * -0.016666666666666666) * im) * im) - 2.0) * im));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 59.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 74.6

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 74.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2} + 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6} + 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{6}, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, \frac{-1}{6}, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lower-*.f64 24.8

         \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   8. Applied rewrites 24.8%

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   if -0.0100000000000000002 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re))

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 92.8

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 92.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 69.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

       3. pow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

       4. lift-*.f64 69.3

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   11. Applied rewrites 69.3%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 18: 89.2% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im\\ t_1 := \left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\\ \mathbf{if}\;im \leq -4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq -600:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;im \leq 800 \lor \neg \left(im \leq 1.8 \cdot 10^{+131}\right):\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* (sin re) (fma (* -0.16666666666666666 im) im -1.0)) im))
        (t_1
         (*
          (-
           (*
            (-
             (*
              (*
               (- (* -0.0003968253968253968 (* im im)) 0.016666666666666666)
               im)
              im)
             0.3333333333333333)
            (* im im))
           2.0)
          im)))
   (if (<= im -4.4e+101)
     t_0
     (if (<= im -600.0)
       (* (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re) t_1)
       (if (or (<= im 800.0) (not (<= im 1.8e+131)))
         t_0
         (*
          (*
           (fma
            (- (* 0.004166666666666667 (* re re)) 0.08333333333333333)
            (* re re)
            0.5)
           re)
          t_1))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (sin(re) * fma((-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im;
	double t_1 = (((((((-0.0003968253968253968 * (im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * (im * im)) - 2.0) * im;
	double tmp;
	if (im <= -4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= -600.0) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * t_1;
	} else if ((im <= 800.0) || !(im <= 1.8e+131)) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = (fma(((0.004166666666666667 * (re * re)) - 0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(sin(re) * fma(Float64(-0.16666666666666666 * im), im, -1.0)) * im)
	t_1 = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im * im)) - 0.016666666666666666) * im) * im) - 0.3333333333333333) * Float64(im * im)) - 2.0) * im)
	tmp = 0.0
	if (im <= -4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= -600.0)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * t_1);
	elseif ((im <= 800.0) || !(im <= 1.8e+131))
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(0.004166666666666667 * Float64(re * re)) - 0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, -4.4e+101], t$95$0, If[LessEqual[im, -600.0], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[Or[LessEqual[im, 800.0], N[Not[LessEqual[im, 1.8e+131]], $MachinePrecision]], t$95$0, N[(N[(N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < -4.4000000000000001e101 or -600 < im < 800 or 1.80000000000000016e131 < im

   1. Initial program 60.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 98.1

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 98.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

   if -4.4000000000000001e101 < im < -600

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 66.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{12} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 57.5

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 57.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   if 800 < im < 1.80000000000000016e131

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 60.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      6. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right) - \frac{1}{12}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{60}\right) \cdot im\right) \cdot im - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 77.0

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 77.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im\\ \mathbf{elif}\;im \leq -600:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 800 \lor \neg \left(im \leq 1.8 \cdot 10^{+131}\right):\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right) - 0.08333333333333333, re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.016666666666666666\right) \cdot im\right) \cdot im - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 90.6% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (* 0.5 (sin re))
  (*
   (-
    (* (* (- (* -0.016666666666666666 (* im im)) 0.3333333333333333) im) im)
    2.0)
   im)))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * ((((((-0.016666666666666666 * (im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(re, im)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (((((((-0.016666666666666666d0) * (im * im)) - 0.3333333333333333d0) * im) * im) - 2.0d0) * im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * ((((((-0.016666666666666666 * (im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * ((((((-0.016666666666666666 * (im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-0.016666666666666666 * Float64(im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * ((((((-0.016666666666666666 * (im * im)) - 0.3333333333333333) * im) * im) - 2.0) * im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 69.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   3. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - 2\right) \cdot im\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   7. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   8. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   9. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot \left(im \cdot im\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

   12. lower-*.f64 89.4

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right) \]

5. Applied rewrites 89.4%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im - 2\right) \cdot im\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 20: 52.8% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;0.5 \cdot \sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, 0.16666666666666666, -im\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (* 0.5 (sin re)) -0.01)
   (* (fma (* (* re re) im) 0.16666666666666666 (- im)) re)
   (* re (* (fma (* -0.16666666666666666 im) im -1.0) im))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((0.5 * sin(re)) <= -0.01) {
		tmp = fma(((re * re) * im), 0.16666666666666666, -im) * re;
	} else {
		tmp = re * (fma((-0.16666666666666666 * im), im, -1.0) * im);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (Float64(0.5 * sin(re)) <= -0.01)
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(re * re) * im), 0.16666666666666666, Float64(-im)) * re);
	else
		tmp = Float64(re * Float64(fma(Float64(-0.16666666666666666 * im), im, -1.0) * im));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + (-im)), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im + -1.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 59.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right) \cdot im \]

      5. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

      6. lift-sin.f64 46.6

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 46.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot re \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot re \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{1}{6} + -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(im \cdot {re}^{2}, \frac{1}{6}, -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot im, \frac{1}{6}, -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot im, \frac{1}{6}, -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, \frac{1}{6}, -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, \frac{1}{6}, -1 \cdot im\right) \cdot re \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, \frac{1}{6}, \mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot re \]

      11. lower-neg.f64 20.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, 0.16666666666666666, -im\right) \cdot re \]

   8. Applied rewrites 20.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(re \cdot re\right) \cdot im, 0.16666666666666666, -im\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   if -0.0100000000000000002 < (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re))

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 79.2

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 79.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 58.6%

      \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      3. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      4. lift-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot im\right)} \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot im\right)} \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      8. lift-fma.f64 N/A

         \[\leadsto re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right) \]

      9. lift-*.f64 62.6

         \[\leadsto re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right) \]

   10. Applied rewrites 62.6%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 21: 48.5% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.2 \cdot 10^{-9} \lor \neg \left(im \leq 1.05 \cdot 10^{-31}\right):\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-re\right) \cdot im\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (or (<= im -3.2e-9) (not (<= im 1.05e-31)))
   (* (* re (* (* im im) -0.16666666666666666)) im)
   (* (- re) im)))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -3.2e-9) || !(im <= 1.05e-31)) {
		tmp = (re * ((im * im) * -0.16666666666666666)) * im;
	} else {
		tmp = -re * im;
	}
	return tmp;
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(re, im)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if ((im <= (-3.2d-9)) .or. (.not. (im <= 1.05d-31))) then
        tmp = (re * ((im * im) * (-0.16666666666666666d0))) * im
    else
        tmp = -re * im
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -3.2e-9) || !(im <= 1.05e-31)) {
		tmp = (re * ((im * im) * -0.16666666666666666)) * im;
	} else {
		tmp = -re * im;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if (im <= -3.2e-9) or not (im <= 1.05e-31):
		tmp = (re * ((im * im) * -0.16666666666666666)) * im
	else:
		tmp = -re * im
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if ((im <= -3.2e-9) || !(im <= 1.05e-31))
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(Float64(im * im) * -0.16666666666666666)) * im);
	else
		tmp = Float64(Float64(-re) * im);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if ((im <= -3.2e-9) || ~((im <= 1.05e-31)))
		tmp = (re * ((im * im) * -0.16666666666666666)) * im;
	else
		tmp = -re * im;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Or[LessEqual[im, -3.2e-9], N[Not[LessEqual[im, 1.05e-31]], $MachinePrecision]], N[(N[(re * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision], N[((-re) * im), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < -3.20000000000000012e-9 or 1.04999999999999996e-31 < im

   1. Initial program 96.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      7. lift-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

      10. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

      11. lower-*.f64 63.7

          \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 63.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 46.6%

      \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot im \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right) \cdot im \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right) \cdot im \]

       3. pow2 N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right) \cdot im \]

       4. lift-*.f64 46.6

          \[\leadsto \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot im \]

   11. Applied rewrites 46.6%

       \[\leadsto \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot im \]

   if -3.20000000000000012e-9 < im < 1.04999999999999996e-31

   1. Initial program 27.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right) \cdot im \]

      5. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

      6. lift-sin.f64 99.8

         \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

   5. Applied rewrites 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(-re\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 50.0%

      \[\leadsto \left(-re\right) \cdot im \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.2 \cdot 10^{-9} \lor \neg \left(im \leq 1.05 \cdot 10^{-31}\right):\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-re\right) \cdot im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 52.9% accurate, 14.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* re (* (fma (* -0.16666666666666666 im) im -1.0) im)))

C

double code(double re, double im) {
	return re * (fma((-0.16666666666666666 * im), im, -1.0) * im);
}

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re * Float64(fma(Float64(-0.16666666666666666 * im), im, -1.0) * im))
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re * N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im + -1.0), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 69.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \sin re\right) \cdot im \]

   5. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

   6. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

   7. lift-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \cdot im \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \cdot im \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

   10. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   11. lower-*.f64 78.0

       \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

5. Applied rewrites 78.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 48.0%

   \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(re \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   4. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \left(re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right) \cdot im \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot im\right)} \]

   6. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot im\right)} \]

   7. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   8. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right) \]

   9. lift-*.f64 50.9

      \[\leadsto re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right) \]

10. Applied rewrites 50.9%

    \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot im\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 23: 32.8% accurate, 39.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-re\right) \cdot im \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* (- re) im))

C

double code(double re, double im) {
	return -re * im;
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(re, im)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = -re * im
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return -re * im;
}

Python

def code(re, im):
	return -re * im

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(-re) * im)
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = -re * im;
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[((-re) * im), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 69.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto -1 \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{im}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

   3. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right) \cdot im \]

   5. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

   6. lift-sin.f64 44.7

      \[\leadsto \left(-\sin re\right) \cdot im \]

5. Applied rewrites 44.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re\right) \cdot im} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \left(-re\right) \cdot im \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 26.9%

   \[\leadsto \left(-re\right) \cdot im \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(re, im)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2025064 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))