Beckmann Sample, near normal, slope_y

Percentage Accurate: 57.3% → 98.0%

Time: 5.6s

Alternatives: 1

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * sin(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 57.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * sin(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 98.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\\ t_1 := \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{if}\;u1 \leq 0.05000000074505806:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\frac{{t\_0}^{3} - 1}{\mathsf{fma}\left(t\_0, \left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1, 1 + t\_0\right)} \cdot u1} \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- (* (- (* -0.25 u1) 0.3333333333333333) u1) 0.5) u1))
        (t_1 (sin (* (* 2.0 PI) u2))))
   (if (<= u1 0.05000000074505806)
     (*
      (sqrt
       (-
        (*
         (/
          (- (pow t_0 3.0) 1.0)
          (fma t_0 (* (- (* -0.3333333333333333 u1) 0.5) u1) (+ 1.0 t_0)))
         u1)))
      t_1)
     (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) t_1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = ((((-0.25f * u1) - 0.3333333333333333f) * u1) - 0.5f) * u1;
	float t_1 = sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
	float tmp;
	if (u1 <= 0.05000000074505806f) {
		tmp = sqrtf(-(((powf(t_0, 3.0f) - 1.0f) / fmaf(t_0, (((-0.3333333333333333f * u1) - 0.5f) * u1), (1.0f + t_0))) * u1)) * t_1;
	} else {
		tmp = sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-0.25) * u1) - Float32(0.3333333333333333)) * u1) - Float32(0.5)) * u1)
	t_1 = sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2))
	tmp = Float32(0.0)
	if (u1 <= Float32(0.05000000074505806))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-Float32(Float32(Float32((t_0 ^ Float32(3.0)) - Float32(1.0)) / fma(t_0, Float32(Float32(Float32(Float32(-0.3333333333333333) * u1) - Float32(0.5)) * u1), Float32(Float32(1.0) + t_0))) * u1))) * t_1);
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * t_1);
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u1 < 0.0500000007

   1. Initial program 52.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      3. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      6. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      9. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-*.f32 98.1

          \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 98.1%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      3. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      5. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1 - 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      7. flip3-- N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\frac{{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right)}^{3} - {1}^{3}}{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot 1\right)} \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-/.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\frac{{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right)}^{3} - {1}^{3}}{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot 1\right)} \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied rewrites 98.1%

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right)}^{3} - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1, \left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1, 1 + \left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot 1\right)} \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\frac{{\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right)}^{3} - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1, \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1, 1 + \left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) \cdot u1\right) \cdot 1\right)} \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 98.2%

       \[\leadsto \sqrt{-\frac{{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right)}^{3} - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1, \left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1, 1 + \left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot 1\right)} \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.0500000007 < u1

   1. Initial program 97.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 0.05000000074505806:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\frac{{\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right)}^{3} - 1}{\mathsf{fma}\left(\left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1, \left(-0.3333333333333333 \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1, 1 + \left(\left(-0.25 \cdot u1 - 0.3333333333333333\right) \cdot u1 - 0.5\right) \cdot u1\right)} \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2025059 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))