Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.0% → 100.0%

Time: 7.5s

Alternatives: 10

Speedup: 422.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = -1.050824107392327e+140

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 100.0% accurate, 4.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tanh x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (tanh x))

C

double code(double x) {
	return tanh(x);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    code = tanh(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.tanh(x);
}

Python

def code(x):
	return math.tanh(x)

Julia

function code(x)
	return tanh(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = tanh(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[Tanh[x], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}} \]

   2. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{e^{x} - e^{-x}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. lift-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{e^{x}} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(x\right)}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. lift-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{\color{blue}{e^{x} + e^{-x}}} \]

   7. lift-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{\color{blue}{e^{x}} + e^{-x}} \]

   8. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(x\right)}}} \]

   9. lift-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}} \]

   10. tanh-undef N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\tanh x} \]

   11. lower-tanh.f64 100.0

       \[\leadsto \color{blue}{\tanh x} \]

4. Applied rewrites 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tanh x} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.5% accurate, 4.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.0003968253968253968, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.002777777777777778, 0.08333333333333333\right) \cdot x, x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fma
   x
   2.0
   (*
    (*
     (*
      (fma
       (fma (* x x) 0.0003968253968253968 0.016666666666666666)
       (* x x)
       0.3333333333333333)
      x)
     x)
    x))
  (fma
   (fma (* (fma (* x x) 0.002777777777777778 0.08333333333333333) x) x 1.0)
   (* x x)
   2.0)))

C

double code(double x) {
	return fma(x, 2.0, (((fma(fma((x * x), 0.0003968253968253968, 0.016666666666666666), (x * x), 0.3333333333333333) * x) * x) * x)) / fma(fma((fma((x * x), 0.002777777777777778, 0.08333333333333333) * x), x, 1.0), (x * x), 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(fma(x, 2.0, Float64(Float64(Float64(fma(fma(Float64(x * x), 0.0003968253968253968, 0.016666666666666666), Float64(x * x), 0.3333333333333333) * x) * x) * x)) / fma(fma(Float64(fma(Float64(x * x), 0.002777777777777778, 0.08333333333333333) * x), x, 1.0), Float64(x * x), 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0 + N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.0003968253968253968 + 0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778 + 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * x + 1.0), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Applied rewrites 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{{x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right) + \color{blue}{2}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2} + 2} \]

   3. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right), \color{blue}{{x}^{2}}, 2\right)} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) + 1, {\color{blue}{x}}^{2}, 2\right)} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + 1, {x}^{2}, 2\right)} \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, 1\right), {\color{blue}{x}}^{2}, 2\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{12}, {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, {x}^{2}, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   11. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   13. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

   14. lift-*.f64 97.2

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

8. Applied rewrites 97.2%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot \color{blue}{x}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

10. Applied rewrites 97.2%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{2}, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.0003968253968253968, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{2520}, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    2. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{2520}, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1, \color{blue}{x} \cdot x, 2\right)} \]

    3. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{2520}, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1, x \cdot x, 2\right)} \]

    4. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{2520}, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{360} \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{1}{12}\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1, x \cdot x, 2\right)} \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{2520}, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\frac{1}{360} \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{1}{12}\right) \cdot x\right) \cdot x + 1, x \cdot x, 2\right)} \]

    6. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{2520}, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{360} \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{1}{12}\right) \cdot x, x, 1\right), \color{blue}{x} \cdot x, 2\right)} \]

    7. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{2520}, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{360} \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{1}{12}\right) \cdot x, x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{2520}, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360} + \frac{1}{12}\right) \cdot x, x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    9. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{2520}, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{360}, \frac{1}{12}\right) \cdot x, x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    10. lift-*.f64 97.2

        \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.0003968253968253968, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.002777777777777778, 0.08333333333333333\right) \cdot x, x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

12. Applied rewrites 97.2%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.0003968253968253968, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.002777777777777778, 0.08333333333333333\right) \cdot x, x, 1\right), \color{blue}{x} \cdot x, 2\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.5% accurate, 5.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.002777777777777778, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right) \cdot x, x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (*
   (fma
    (fma
     (fma 0.0003968253968253968 (* x x) 0.016666666666666666)
     (* x x)
     0.3333333333333333)
    (* x x)
    2.0)
   x)
  (fma
   (*
    (fma (fma (* x x) 0.002777777777777778 0.08333333333333333) (* x x) 1.0)
    x)
   x
   2.0)))

C

double code(double x) {
	return (fma(fma(fma(0.0003968253968253968, (x * x), 0.016666666666666666), (x * x), 0.3333333333333333), (x * x), 2.0) * x) / fma((fma(fma((x * x), 0.002777777777777778, 0.08333333333333333), (x * x), 1.0) * x), x, 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(fma(fma(fma(0.0003968253968253968, Float64(x * x), 0.016666666666666666), Float64(x * x), 0.3333333333333333), Float64(x * x), 2.0) * x) / fma(Float64(fma(fma(Float64(x * x), 0.002777777777777778, 0.08333333333333333), Float64(x * x), 1.0) * x), x, 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(N[(0.0003968253968253968 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778 + 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * x + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Applied rewrites 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{{x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right) + \color{blue}{2}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2} + 2} \]

   3. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right), \color{blue}{{x}^{2}}, 2\right)} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) + 1, {\color{blue}{x}}^{2}, 2\right)} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + 1, {x}^{2}, 2\right)} \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, 1\right), {\color{blue}{x}}^{2}, 2\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{12}, {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, {x}^{2}, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   11. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   13. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

   14. lift-*.f64 97.2

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

8. Applied rewrites 97.2%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{2}} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 2} \]

   4. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 2} \]

   5. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 2} \]

   6. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\left(\left(\frac{1}{360} \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{1}{12}\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 2} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\left(\left(\left(\frac{1}{360} \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{1}{12}\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \cdot x\right) \cdot x + 2} \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\frac{1}{360} \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{1}{12}\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \cdot x, \color{blue}{x}, 2\right)} \]

   9. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\frac{1}{360} \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{1}{12}\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \cdot x, x, 2\right)} \]

   10. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360} \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{1}{12}, x \cdot x, 1\right) \cdot x, x, 2\right)} \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360} + \frac{1}{12}, x \cdot x, 1\right) \cdot x, x, 2\right)} \]

   12. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{360}, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right) \cdot x, x, 2\right)} \]

   13. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{360}, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right) \cdot x, x, 2\right)} \]

   14. lift-*.f64 97.2

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.002777777777777778, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right) \cdot x, x, 2\right)} \]

10. Applied rewrites 97.2%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.002777777777777778, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right) \cdot x, \color{blue}{x}, 2\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.4% accurate, 5.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.016666666666666666, 0.3333333333333333\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fma
   x
   2.0
   (* (* (* (fma (* x x) 0.016666666666666666 0.3333333333333333) x) x) x))
  (fma
   (fma (fma 0.002777777777777778 (* x x) 0.08333333333333333) (* x x) 1.0)
   (* x x)
   2.0)))

C

double code(double x) {
	return fma(x, 2.0, (((fma((x * x), 0.016666666666666666, 0.3333333333333333) * x) * x) * x)) / fma(fma(fma(0.002777777777777778, (x * x), 0.08333333333333333), (x * x), 1.0), (x * x), 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(fma(x, 2.0, Float64(Float64(Float64(fma(Float64(x * x), 0.016666666666666666, 0.3333333333333333) * x) * x) * x)) / fma(fma(fma(0.002777777777777778, Float64(x * x), 0.08333333333333333), Float64(x * x), 1.0), Float64(x * x), 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0 + N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.016666666666666666 + 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(0.002777777777777778 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Applied rewrites 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{{x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right) + \color{blue}{2}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2} + 2} \]

   3. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right), \color{blue}{{x}^{2}}, 2\right)} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) + 1, {\color{blue}{x}}^{2}, 2\right)} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + 1, {x}^{2}, 2\right)} \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, 1\right), {\color{blue}{x}}^{2}, 2\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{12}, {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, {x}^{2}, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   11. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   13. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

   14. lift-*.f64 97.2

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

8. Applied rewrites 97.2%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot \color{blue}{x}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

10. Applied rewrites 97.2%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{2}, \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.0003968253968253968, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    5. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\left(\frac{1}{60} \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{60} + \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    7. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{60}, \frac{1}{3}\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    8. lift-*.f64 97.1

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.016666666666666666, 0.3333333333333333\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

13. Applied rewrites 97.1%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x, 2, \left(\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.016666666666666666, 0.3333333333333333\right) \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.4% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (* (fma (fma 0.016666666666666666 (* x x) 0.3333333333333333) (* x x) 2.0) x)
  (fma
   (fma (fma 0.002777777777777778 (* x x) 0.08333333333333333) (* x x) 1.0)
   (* x x)
   2.0)))

C

double code(double x) {
	return (fma(fma(0.016666666666666666, (x * x), 0.3333333333333333), (x * x), 2.0) * x) / fma(fma(fma(0.002777777777777778, (x * x), 0.08333333333333333), (x * x), 1.0), (x * x), 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(fma(fma(0.016666666666666666, Float64(x * x), 0.3333333333333333), Float64(x * x), 2.0) * x) / fma(fma(fma(0.002777777777777778, Float64(x * x), 0.08333333333333333), Float64(x * x), 1.0), Float64(x * x), 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(0.016666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(0.002777777777777778 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Applied rewrites 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{{x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right) + \color{blue}{2}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2} + 2} \]

   3. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right), \color{blue}{{x}^{2}}, 2\right)} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) + 1, {\color{blue}{x}}^{2}, 2\right)} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + 1, {x}^{2}, 2\right)} \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, 1\right), {\color{blue}{x}}^{2}, 2\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{12}, {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, {x}^{2}, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   11. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   13. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

   14. lift-*.f64 97.2

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

8. Applied rewrites 97.2%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)}} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 97.0%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.4% accurate, 6.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.08333333333333333, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (* (fma (fma 0.016666666666666666 (* x x) 0.3333333333333333) (* x x) 2.0) x)
  (fma (fma (* x x) 0.08333333333333333 1.0) (* x x) 2.0)))

C

double code(double x) {
	return (fma(fma(0.016666666666666666, (x * x), 0.3333333333333333), (x * x), 2.0) * x) / fma(fma((x * x), 0.08333333333333333, 1.0), (x * x), 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(fma(fma(0.016666666666666666, Float64(x * x), 0.3333333333333333), Float64(x * x), 2.0) * x) / fma(fma(Float64(x * x), 0.08333333333333333, 1.0), Float64(x * x), 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(0.016666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Applied rewrites 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{{x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right) + \color{blue}{2}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2} + 2} \]

   3. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right), \color{blue}{{x}^{2}}, 2\right)} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) + 1, {\color{blue}{x}}^{2}, 2\right)} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + 1, {x}^{2}, 2\right)} \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, 1\right), {\color{blue}{x}}^{2}, 2\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{12}, {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, {x}^{2}, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), {x}^{2}, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   11. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), {x}^{2}, 2\right)} \]

   13. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

   14. lift-*.f64 97.2

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

8. Applied rewrites 97.2%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)}} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{360}, x \cdot x, \frac{1}{12}\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 97.0%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, x \cdot x, 0.08333333333333333\right), x \cdot x, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

12. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{{x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{2}} \]

    2. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right) + 2} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 2} \]

    4. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}, \color{blue}{x \cdot x}, 2\right)} \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{12} \cdot {x}^{2} + 1, \color{blue}{x} \cdot x, 2\right)} \]

    6. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot x\right) + 1, x \cdot x, 2\right)} \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{12} + 1, x \cdot x, 2\right)} \]

    8. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{12}, 1\right), \color{blue}{x} \cdot x, 2\right)} \]

    9. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{12}, 1\right), x \cdot x, 2\right)} \]

    10. lift-*.f64 97.0

        \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.08333333333333333, 1\right), x \cdot \color{blue}{x}, 2\right)} \]

14. Applied rewrites 97.0%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.08333333333333333, 1\right), x \cdot x, 2\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.2% accurate, 12.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.3333333333333333, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* (fma (* x x) 0.3333333333333333 2.0) x) (fma x x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return (fma((x * x), 0.3333333333333333, 2.0) * x) / fma(x, x, 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(fma(Float64(x * x), 0.3333333333333333, 2.0) * x) / fma(x, x, 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.3333333333333333 + 2.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] / N[(x * x + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Applied rewrites 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{{x}^{2} + \color{blue}{2}} \]

   2. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2520}, x \cdot x, \frac{1}{60}\right), x \cdot x, \frac{1}{3}\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{x \cdot x + 2} \]

   3. lower-fma.f64 96.6

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x}, 2\right)} \]

8. Applied rewrites 96.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, x \cdot x, 0.016666666666666666\right), x \cdot x, 0.3333333333333333\right), x \cdot x, 2\right) \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(2 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

    2. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(2 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

    3. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{3} \cdot {x}^{2} + 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

    4. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{3} \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{3} + 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

    6. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{3}, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

    7. lift-*.f64 96.7

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.3333333333333333, 2\right) \cdot x}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

11. Applied rewrites 96.7%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.3333333333333333, 2\right) \cdot x}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.2% accurate, 14.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.3333333333333333, x \cdot x, 1\right) \cdot x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (fma (- (* 0.13333333333333333 (* x x)) 0.3333333333333333) (* x x) 1.0)
  x))

C

double code(double x) {
	return fma(((0.13333333333333333 * (x * x)) - 0.3333333333333333), (x * x), 1.0) * x;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(fma(Float64(Float64(0.13333333333333333 * Float64(x * x)) - 0.3333333333333333), Float64(x * x), 1.0) * x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(0.13333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}} \]

   2. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{e^{x} - e^{-x}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. lift-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{e^{x}} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(x\right)}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. lift-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{\color{blue}{e^{x} + e^{-x}}} \]

   7. lift-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{\color{blue}{e^{x}} + e^{-x}} \]

   8. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(x\right)}}} \]

   9. lift-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}} \]

   10. tanh-undef N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\tanh x} \]

   11. lower-tanh.f64 100.0

       \[\leadsto \color{blue}{\tanh x} \]

4. Applied rewrites 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tanh x} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. tanh-undef N/A

      \[\leadsto \color{blue}{x} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right) \cdot \color{blue}{x} \]

   3. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right) \cdot \color{blue}{x} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right) + 1\right) \cdot x \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {x}^{2} + 1\right) \cdot x \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}, {x}^{2}, 1\right) \cdot x \]

   7. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}, {x}^{2}, 1\right) \cdot x \]

   8. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}, {x}^{2}, 1\right) \cdot x \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{2}{15} \cdot \left(x \cdot x\right) - \frac{1}{3}, {x}^{2}, 1\right) \cdot x \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{2}{15} \cdot \left(x \cdot x\right) - \frac{1}{3}, {x}^{2}, 1\right) \cdot x \]

   11. pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{2}{15} \cdot \left(x \cdot x\right) - \frac{1}{3}, x \cdot x, 1\right) \cdot x \]

   12. lift-*.f64 96.7

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.3333333333333333, x \cdot x, 1\right) \cdot x \]

7. Applied rewrites 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.3333333333333333, x \cdot x, 1\right) \cdot x} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.8% accurate, 24.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.3333333333333333, x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fma (* (* x x) x) -0.3333333333333333 x))

C

double code(double x) {
	return fma(((x * x) * x), -0.3333333333333333, x);
}

Julia

function code(x)
	return fma(Float64(Float64(x * x) * x), -0.3333333333333333, x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333 + x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{-1}{3} \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{1}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x + \color{blue}{1 \cdot x} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{1} \cdot x \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{3}\right) + 1 \cdot x \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{1} \cdot x \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{-1}{3} + 1 \cdot x \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{-1}{3} + 1 \cdot x \]

   8. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{-1}{3} + x \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{-1}{3}}, x\right) \]

   10. lower-pow.f64 96.3

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.3333333333333333, x\right) \]

5. Applied rewrites 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.3333333333333333, x\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{-1}{3}, x\right) \]

   2. unpow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \frac{-1}{3}, x\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot x, \frac{-1}{3}, x\right) \]

   4. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot x, \frac{-1}{3}, x\right) \]

   5. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \frac{-1}{3}, x\right) \]

   6. lift-*.f64 96.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.3333333333333333, x\right) \]

7. Applied rewrites 96.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.3333333333333333, x\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 10: 96.7% accurate, 422.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 9.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2025057 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))