Beckmann Sample, near normal, slope_y

Percentage Accurate: 57.7% → 98.2%

Time: 4.5s

Alternatives: 11

Speedup: 8.9×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 (PI)) u2))))

Initial Program: 57.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 (PI)) u2))))

Alternative 1: 98.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{if}\;u1 \leq 0.03999999910593033:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (sin (* (+ (PI) (PI)) u2))))
   (if (<= u1 0.03999999910593033)
     (*
      (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
      t_0)
     (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) t_0))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u1 < 0.0399999991

   1. Initial program 52.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1 + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1 + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 98.3

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 98.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      4. lift-+.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      5. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-PI.f32 98.3

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied rewrites 98.3%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

   if 0.0399999991 < u1

   1. Initial program 97.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      4. lower-+.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      5. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-PI.f32 97.9

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 97.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u1 0.07999999821186066)
   (*
    (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
    (sin (* (+ (PI) (PI)) u2)))
   (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (* (* (PI) 2.0) u2))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u1 < 0.0799999982

   1. Initial program 53.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1 + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1 + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 97.9

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 97.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      4. lift-+.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      5. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-PI.f32 97.9

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied rewrites 97.9%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

   if 0.0799999982 < u1

   1. Initial program 98.1%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-PI.f32 86.7

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 86.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 95.1% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 0.02500000037252903:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u1 0.02500000037252903)
   (*
    (sqrt (* (fma (fma 0.3333333333333333 u1 0.5) u1 1.0) u1))
    (sin (* (+ (PI) (PI)) u2)))
   (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (* (* (PI) 2.0) u2))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u1 < 0.0250000004

   1. Initial program 51.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1 + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1 + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 98.3

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 98.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      4. lift-+.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      5. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-PI.f32 98.3

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied rewrites 98.3%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 97.9%

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.0250000004 < u1

   1. Initial program 97.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-PI.f32 85.4

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 85.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 93.3% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 0.017999999225139618:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u1 0.017999999225139618)
   (* (sqrt (* (fma 0.5 u1 1.0) u1)) (sin (* (+ (PI) (PI)) u2)))
   (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (* (* (PI) 2.0) u2))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u1 < 0.0179999992

   1. Initial program 50.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\frac{1}{2} \cdot u1 + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-fma.f32 95.8

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 95.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      4. lift-+.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      5. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-PI.f32 95.8

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied rewrites 95.8%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

   if 0.0179999992 < u1

   1. Initial program 97.3%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-PI.f32 84.9

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 84.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 90.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.029999999329447746:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.029999999329447746)
   (*
    (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
    (*
     (fma
      (* -1.3333333333333333 (* u2 u2))
      (* (* (PI) (PI)) (PI))
      (* (PI) 2.0))
     u2))
   (* (sqrt u1) (sin (* (+ (PI) (PI)) u2)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.0299999993

   1. Initial program 60.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1 + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1 + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 92.9

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 92.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      11. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      12. lift-PI.f32 92.4

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   8. Applied rewrites 92.4%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      3. unpow3 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      8. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      9. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      10. lift-PI.f32 92.4

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   10. Applied rewrites 92.4%

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.0299999993 < u2

   1. Initial program 49.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 83.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      3. count-2-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      4. lift-+.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      5. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \sin \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-PI.f32 83.8

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied rewrites 83.8%

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 85.3% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
  (*
   (fma (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* (* (PI) (PI)) (PI)) (* (PI) 2.0))
   u2)))

Derivation

1. Initial program 58.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1 + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1 + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-fma.f32 93.4

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 93.4%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   11. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   12. lift-PI.f32 83.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

8. Applied rewrites 83.5%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   2. lift-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   3. unpow3 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   7. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   8. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   9. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   10. lift-PI.f32 83.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

10. Applied rewrites 83.5%

    \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 81.8% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\\ \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0017999999690800905:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(t\_0 \cdot u2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right) \cdot u2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (PI) 2.0)))
   (if (<= u2 0.0017999999690800905)
     (*
      (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
      (* t_0 u2))
     (*
      (sqrt u1)
      (*
       (fma (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* (* (PI) (PI)) (PI)) t_0)
       u2)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.00179999997

   1. Initial program 60.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1 + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1 + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 93.0

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 93.0%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      6. lift-PI.f32 91.6

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   8. Applied rewrites 91.6%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)} \]

   if 0.00179999997 < u2

   1. Initial program 55.1%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 79.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      11. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      12. lift-PI.f32 55.7

          \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   8. Applied rewrites 55.7%

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      3. unpow3 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      8. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      9. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

      10. lift-PI.f32 55.7

          \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   10. Applied rewrites 55.7%

       \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 78.4% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
  (* (* (PI) 2.0) u2)))

Derivation

1. Initial program 58.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1 + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1 + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-fma.f32 93.4

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 93.4%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   6. lift-PI.f32 75.8

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

8. Applied rewrites 75.8%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 74.6% accurate, 5.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, 1, u1 \cdot \left(0.5 \cdot u1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (fma u1 1.0 (* u1 (* 0.5 u1)))) (* 2.0 (* (PI) u2))))

Derivation

1. Initial program 58.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\frac{1}{2} \cdot u1 + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. lower-fma.f32 88.1

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 88.1%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   3. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

   4. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   7. sin-2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   9. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   10. lower-sin.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \cos \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. lift-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot u2\right) \cdot \cos \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. lower-cos.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   16. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   17. lift-PI.f32 88.0

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 88.0%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right) \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right) \]

   3. lift-PI.f32 71.8

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \]

10. Applied rewrites 71.8%

    \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \]

    2. lift-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\left(\frac{1}{2} \cdot u1 + 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot u1 + 1\right)}} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot u1}\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \]

    5. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot 1 + \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)}} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \]

    6. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{1}, u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \]

    7. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, 1, u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \]

    8. lower-*.f32 71.9

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, 1, u1 \cdot \left(0.5 \cdot u1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \]

12. Applied rewrites 71.9%

    \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{1}, u1 \cdot \left(0.5 \cdot u1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 10: 74.6% accurate, 6.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (* (fma 0.5 u1 1.0) u1)) (* (* (PI) 2.0) u2)))

Derivation

1. Initial program 58.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\frac{1}{2} \cdot u1 + 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. lower-fma.f32 88.1

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 88.1%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   6. lift-PI.f32 71.8

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

8. Applied rewrites 71.8%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 11: 66.6% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt u1) (* (* (PI) 2.0) u2)))

Derivation

1. Initial program 58.8%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 76.1%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

   6. lift-PI.f32 63.8

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right) \]

8. Applied rewrites 63.8%

   \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right) \cdot u2\right)} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2025051 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 (PI)) u2))))