Sample trimmed logistic on [-pi, pi]

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 14.0s

Alternatives: 7

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right) \land \left(0 \leq s \land s \leq 1.0651631\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (PI) s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- (PI)) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (PI) s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- (PI)) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\\ t_1 := \frac{1}{1 + t\_0}\\ t_2 := e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\\ t_3 := e^{-\mathsf{log1p}\left(t\_0\right)}\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(t\_2 - t\_3, u, t\_3\right)\\ t_5 := \left({t\_4}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{t\_4}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(t\_2 - t\_1, u, t\_1\right)\right)}^{-3}}{t\_5} - \frac{1}{t\_5}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ (PI) s)))
        (t_1 (/ 1.0 (+ 1.0 t_0)))
        (t_2 (exp (- (log1p (exp (/ (- (PI)) s))))))
        (t_3 (exp (- (log1p t_0))))
        (t_4 (fma (- t_2 t_3) u t_3))
        (t_5 (+ (+ (pow t_4 -2.0) 1.0) (/ 1.0 t_4))))
   (* (- s) (log (- (/ (pow (fma (- t_2 t_1) u t_1) -3.0) t_5) (/ 1.0 t_5))))))

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right) \]

3. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lift-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \color{blue}{e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   2. lift-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)}}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   3. exp-neg N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \color{blue}{\frac{1}{e^{\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}}}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   4. inv-pow N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \color{blue}{{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}^{-1}}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   5. pow-exp N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right) \cdot -1}}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   6. lift-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{\color{blue}{\log \left(1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} \cdot -1}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   7. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \color{blue}{{\left(1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}^{-1}}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   8. inv-pow N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   9. lower-/.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   10. lower-+.f32 99.1

       \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

5. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \color{blue}{e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   2. lift-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)}}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   3. exp-neg N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \color{blue}{\frac{1}{e^{\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}}}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   4. lift-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \frac{1}{e^{\color{blue}{\log \left(1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}}}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   5. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   6. lower-/.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

   7. lower-+.f32 99.1

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]

7. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{{\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)}^{-3}}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}} - \frac{1}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)}^{-2} + 1\right) + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)} - e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}, u, e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (PI) s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- (PI)) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.4% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot t\_0}} - \frac{1}{1 + e^{t\_0}}\right)} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ (PI) s)))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/
       1.0
       (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (* -1.0 t_0)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp t_0))))))
      1.0)))))

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right) \]

2. Taylor expanded in u around inf

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)} - 1\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)} - 1\right)} \]

4. Applied rewrites 97.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)} - 1\right)} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 25.1% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (+ 1.0 (* 4.0 (/ (* 0.25 (PI)) s))))))

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right) \]

2. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. lower-+.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + \color{blue}{4 \cdot \frac{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right) \]

   3. lower-/.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \color{blue}{\frac{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right) \]

   4. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{\color{blue}{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{s}\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{\color{blue}{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \]

   6. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{u \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \]

   7. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{u \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \]

   8. lower-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \]

   9. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \]

   10. lower-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \]

   11. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{s}\right) \]

   12. lower-PI.f32 24.9

       \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{u \cdot \left(-0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -0.25 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s}\right) \]

4. Applied rewrites 24.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{u \cdot \left(-0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)} \]

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 25.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + 4 \cdot \frac{0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 11.7% accurate, 12.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 4 \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.25, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}, 0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* 4.0 (* u (- (fma -0.25 (/ (PI) u) (* 0.25 (PI))) (* -0.25 (PI))))))

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right) \]

2. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \color{blue}{4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(\color{blue}{u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   4. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   6. lower-PI.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   7. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   8. lower-PI.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   9. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

   10. lower-PI.f32 11.4

       \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - -0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 0.25 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 11.4%

   \[\leadsto \color{blue}{4 \cdot \left(u \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - -0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in u around inf

   \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u} + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 11.4%

   \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-0.25, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}, 0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 11.7% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 4 \cdot \mathsf{fma}\left(u \cdot 0.5, \mathsf{PI}\left(\right), -0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* 4.0 (fma (* u 0.5) (PI) (* -0.25 (PI)))))

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right) \]

2. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \color{blue}{4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(\color{blue}{u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   4. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   6. lower-PI.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   7. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   8. lower-PI.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   9. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

   10. lower-PI.f32 11.4

       \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - -0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 0.25 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 11.4%

   \[\leadsto \color{blue}{4 \cdot \left(u \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - -0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

6. Applied rewrites 11.4%

   \[\leadsto 4 \cdot \mathsf{fma}\left(u \cdot 0.5, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, -0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 7: 11.5% accurate, 170.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\mathsf{PI}\left(\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- (PI)))

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right) \]

2. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   2. lower-PI.f32 11.2

      \[\leadsto -1 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

4. Applied rewrites 11.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
5. Step-by-step derivation

6. Applied rewrites 11.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-\mathsf{PI}\left(\right)} \]
7. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024363 -o localize:costs -o setup:simplify -o generate:simplify
(FPCore (u s)
  :name "Sample trimmed logistic on [-pi, pi]"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)) (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631)))
  (* (- s) (log (- (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- (PI)) s)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (PI) s)))))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (PI) s)))))) 1.0))))