Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 8.6s

Alternatives: 12

Speedup: 1.0×

• 49.2% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x, y)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x, y)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x, y)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 83.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t\_1, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right) \cdot t\_2\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t\_1 \cdot y, y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))
        (t_1 (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333))
        (t_2 (fma (fma t_1 (* y y) 0.16666666666666666) (* y y) 1.0)))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (*
      (fma
       (* (- x) (* x x))
       (- (* 0.008333333333333333 (* x x)) 0.16666666666666666)
       x)
      t_2)
     (if (<= t_0 1.0)
       (* (sin x) (fma (* (fma (* t_1 y) y 0.16666666666666666) y) y 1.0))
       (*
        (*
         (*
          (fma
           (- (* (* x x) 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)
           (* x x)
           1.0)
          (sqrt x))
         (sqrt x))
        t_2)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = sin(x) * (sinh(y) / y);
	double t_1 = fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333);
	double t_2 = fma(fma(t_1, (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((-x * (x * x)), ((0.008333333333333333 * (x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_2;
	} else if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = sin(x) * fma((fma((t_1 * y), y, 0.16666666666666666) * y), y, 1.0);
	} else {
		tmp = ((fma((((x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666), (x * x), 1.0) * sqrt(x)) * sqrt(x)) * t_2;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
	t_1 = fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333)
	t_2 = fma(fma(t_1, Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(-x) * Float64(x * x)), Float64(Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_2);
	elseif (t_0 <= 1.0)
		tmp = Float64(sin(x) * fma(Float64(fma(Float64(t_1 * y), y, 0.16666666666666666) * y), y, 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666), Float64(x * x), 1.0) * sqrt(x)) * sqrt(x)) * t_2);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[((-x) * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1.0], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(t$95$1 * y), $MachinePrecision] * y + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 79.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 58.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 85.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{x}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 83.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))
        (t_1
         (fma
          (fma
           (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
           (* y y)
           0.16666666666666666)
          (* y y)
          1.0)))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (*
      (fma
       (* (- x) (* x x))
       (- (* 0.008333333333333333 (* x x)) 0.16666666666666666)
       x)
      t_1)
     (if (<= t_0 1.0)
       (*
        (sin x)
        (fma
         (*
          (fma (* 0.0001984126984126984 (* y y)) (* y y) 0.16666666666666666)
          y)
         y
         1.0))
       (*
        (*
         (*
          (fma
           (- (* (* x x) 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)
           (* x x)
           1.0)
          (sqrt x))
         (sqrt x))
        t_1)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = sin(x) * (sinh(y) / y);
	double t_1 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((-x * (x * x)), ((0.008333333333333333 * (x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_1;
	} else if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = sin(x) * fma((fma((0.0001984126984126984 * (y * y)), (y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0);
	} else {
		tmp = ((fma((((x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666), (x * x), 1.0) * sqrt(x)) * sqrt(x)) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
	t_1 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(-x) * Float64(x * x)), Float64(Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_1);
	elseif (t_0 <= 1.0)
		tmp = Float64(sin(x) * fma(Float64(fma(Float64(0.0001984126984126984 * Float64(y * y)), Float64(y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666), Float64(x * x), 1.0) * sqrt(x)) * sqrt(x)) * t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[((-x) * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1.0], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 79.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 58.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 99.2%

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 85.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{x}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 83.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))
        (t_1
         (fma
          (fma
           (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
           (* y y)
           0.16666666666666666)
          (* y y)
          1.0)))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (*
      (fma
       (* (- x) (* x x))
       (- (* 0.008333333333333333 (* x x)) 0.16666666666666666)
       x)
      t_1)
     (if (<= t_0 1.0)
       (*
        (sin x)
        (fma
         (* (fma 0.008333333333333333 (* y y) 0.16666666666666666) y)
         y
         1.0))
       (*
        (*
         (*
          (fma
           (- (* (* x x) 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)
           (* x x)
           1.0)
          (sqrt x))
         (sqrt x))
        t_1)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = sin(x) * (sinh(y) / y);
	double t_1 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((-x * (x * x)), ((0.008333333333333333 * (x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_1;
	} else if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = sin(x) * fma((fma(0.008333333333333333, (y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0);
	} else {
		tmp = ((fma((((x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666), (x * x), 1.0) * sqrt(x)) * sqrt(x)) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
	t_1 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(-x) * Float64(x * x)), Float64(Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_1);
	elseif (t_0 <= 1.0)
		tmp = Float64(sin(x) * fma(Float64(fma(0.008333333333333333, Float64(y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666), Float64(x * x), 1.0) * sqrt(x)) * sqrt(x)) * t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[((-x) * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1.0], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 79.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 58.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      11. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      15. lower-*.f64 99.2

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 85.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{x}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 83.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))
        (t_1
         (fma
          (fma
           (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
           (* y y)
           0.16666666666666666)
          (* y y)
          1.0)))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (*
      (fma
       (* (- x) (* x x))
       (- (* 0.008333333333333333 (* x x)) 0.16666666666666666)
       x)
      t_1)
     (if (<= t_0 1.0)
       (* (sin x) (fma (* 0.16666666666666666 y) y 1.0))
       (*
        (*
         (*
          (fma
           (- (* (* x x) 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)
           (* x x)
           1.0)
          (sqrt x))
         (sqrt x))
        t_1)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = sin(x) * (sinh(y) / y);
	double t_1 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((-x * (x * x)), ((0.008333333333333333 * (x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_1;
	} else if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = sin(x) * fma((0.16666666666666666 * y), y, 1.0);
	} else {
		tmp = ((fma((((x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666), (x * x), 1.0) * sqrt(x)) * sqrt(x)) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
	t_1 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(-x) * Float64(x * x)), Float64(Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_1);
	elseif (t_0 <= 1.0)
		tmp = Float64(sin(x) * fma(Float64(0.16666666666666666 * y), y, 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666), Float64(x * x), 1.0) * sqrt(x)) * sqrt(x)) * t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[((-x) * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1.0], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[(0.16666666666666666 * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 79.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 58.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 99.2

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 85.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{x}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 83.0% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))
        (t_1
         (fma
          (fma
           (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
           (* y y)
           0.16666666666666666)
          (* y y)
          1.0)))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (*
      (fma
       (* (- x) (* x x))
       (- (* 0.008333333333333333 (* x x)) 0.16666666666666666)
       x)
      t_1)
     (if (<= t_0 1.0)
       (* (sin x) 1.0)
       (*
        (*
         (*
          (fma
           (- (* (* x x) 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)
           (* x x)
           1.0)
          (sqrt x))
         (sqrt x))
        t_1)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = sin(x) * (sinh(y) / y);
	double t_1 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((-x * (x * x)), ((0.008333333333333333 * (x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_1;
	} else if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = sin(x) * 1.0;
	} else {
		tmp = ((fma((((x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666), (x * x), 1.0) * sqrt(x)) * sqrt(x)) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
	t_1 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(-x) * Float64(x * x)), Float64(Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_1);
	elseif (t_0 <= 1.0)
		tmp = Float64(sin(x) * 1.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666), Float64(x * x), 1.0) * sqrt(x)) * sqrt(x)) * t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[((-x) * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1.0], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 79.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 58.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 99.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 85.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{x}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 34.7% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 0.1:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot x\right) \cdot 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(-x\right) \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (sin x) (/ (sinh y) y)) 0.1)
   (* (* (fma (* x x) -0.16666666666666666 1.0) x) 1.0)
   (* (fma (* -0.16666666666666666 (* (- x) x)) x x) 1.0)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((sin(x) * (sinh(y) / y)) <= 0.1) {
		tmp = (fma((x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0;
	} else {
		tmp = fma((-0.16666666666666666 * (-x * x)), x, x) * 1.0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y)) <= 0.1)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(Float64(-x) * x)), x, x) * 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.1], N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * N[((-x) * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 0.10000000000000001

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 49.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      11. metadata-eval 34.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 34.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 34.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 34.1%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

   if 0.10000000000000001 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 34.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      11. metadata-eval 9.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 9.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 9.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 13.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(-x\right) \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 58.6% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{if}\;\sin x \leq -0.05:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          (fma
           (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
           (* y y)
           0.16666666666666666)
          (* y y)
          1.0)))
   (if (<= (sin x) -0.05)
     (*
      (fma
       (* (- x) (* x x))
       (- (* 0.008333333333333333 (* x x)) 0.16666666666666666)
       x)
      t_0)
     (*
      (fma
       (* (- (* (* x x) 0.008333333333333333) 0.16666666666666666) (* x x))
       x
       x)
      t_0))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	double tmp;
	if (sin(x) <= -0.05) {
		tmp = fma((-x * (x * x)), ((0.008333333333333333 * (x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_0;
	} else {
		tmp = fma(((((x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666) * (x * x)), x, x) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= -0.05)
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(-x) * Float64(x * x)), Float64(Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * x)) - 0.16666666666666666), x) * t_0);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666) * Float64(x * x)), x, x) * t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], -0.05], N[(N[(N[((-x) * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < -0.050000000000000003

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 90.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 36.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 36.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 25.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if -0.050000000000000003 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 89.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 63.6

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 63.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 63.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 58.6% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{if}\;\sin x \leq -0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          (fma
           (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
           (* y y)
           0.16666666666666666)
          (* y y)
          1.0)))
   (if (<= (sin x) -0.04)
     (* (fma (* -0.16666666666666666 (* x x)) x x) t_0)
     (*
      (fma
       (* (- (* (* x x) 0.008333333333333333) 0.16666666666666666) (* x x))
       x
       x)
      t_0))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	double tmp;
	if (sin(x) <= -0.04) {
		tmp = fma((-0.16666666666666666 * (x * x)), x, x) * t_0;
	} else {
		tmp = fma(((((x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666) * (x * x)), x, x) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= -0.04)
		tmp = Float64(fma(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(x * x)), x, x) * t_0);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666) * Float64(x * x)), x, x) * t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], -0.04], N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < -0.0400000000000000008

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 90.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 36.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 36.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 36.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 24.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if -0.0400000000000000008 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 89.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 63.6

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 63.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 63.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 58.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 2 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 2e-9)
   (*
    (fma (* -0.16666666666666666 (* x x)) x x)
    (fma
     (fma
      (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
      (* y y)
      0.16666666666666666)
     (* y y)
     1.0))
   (*
    (fma
     (* (- (* (* x x) 0.008333333333333333) 0.16666666666666666) (* x x))
     x
     x)
    (fma (fma 0.008333333333333333 (* y y) 0.16666666666666666) (* y y) 1.0))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 2e-9) {
		tmp = fma((-0.16666666666666666 * (x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	} else {
		tmp = fma(((((x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666) * (x * x)), x, x) * fma(fma(0.008333333333333333, (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 2e-9)
		tmp = Float64(fma(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666) * Float64(x * x)), x, x) * fma(fma(0.008333333333333333, Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2e-9], N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 2.00000000000000012e-9

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 87.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 68.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 63.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if 2.00000000000000012e-9 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 23.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 23.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 23.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{120} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 23.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 56.5% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(-x\right) \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 5e-7)
   (*
    (fma (* -0.16666666666666666 (* x x)) x x)
    (fma
     (fma
      (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
      (* y y)
      0.16666666666666666)
     (* y y)
     1.0))
   (* (fma (* -0.16666666666666666 (* (- x) x)) x x) 1.0)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 5e-7) {
		tmp = fma((-0.16666666666666666 * (x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	} else {
		tmp = fma((-0.16666666666666666 * (-x * x)), x, x) * 1.0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 5e-7)
		tmp = Float64(fma(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(Float64(-x) * x)), x, x) * 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 5e-7], N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * N[((-x) * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 4.99999999999999977e-7

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      2. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      4. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + 1\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 87.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. lower--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 68.3

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 68.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 63.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if 4.99999999999999977e-7 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 58.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      11. metadata-eval 13.6

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 13.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 13.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 19.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(-x\right) \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 34.7% accurate, 9.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot x\right) \cdot 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (* (* (fma (* x x) -0.16666666666666666 1.0) x) 1.0))

C

double code(double x, double y) {
	return (fma((x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0;
}

Julia

function code(x, y)
	return Float64(Float64(fma(Float64(x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0)
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 43.7%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot 1 \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

   5. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

   8. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

   10. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

   11. metadata-eval 24.7

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1 \]

8. Applied rewrites 24.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot 1 \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 24.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]
11. Step-by-step derivation

12. Applied rewrites 24.7%

    \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024354 
(FPCore (x y)
  :name "Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64
  (* (sin x) (/ (sinh y) y)))