Beckmann Sample, near normal, slope_x

Percentage Accurate: 57.9% → 99.2%

Time: 9.8s

Alternatives: 17

Speedup: 15.4×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 (PI)) u2))))

Initial Program: 57.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 (PI)) u2))))

Alternative 1: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (sin (* (PI) (fma -2.0 u2 0.5)))))

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-log.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - \color{blue}{1 \cdot u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) \cdot u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1 \cdot u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1}\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. lower-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-neg.f32 98.9

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

4. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. cos-neg-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   3. sin-+PI/2-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   4. lower-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   6. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   7. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   8. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   11. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   14. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   15. lift-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right) \]

   16. lower-/.f32 99.0

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot u2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

   4. lower-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. lower-fma.f32 99.1

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)}\right) \]

9. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 90.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.998199999332428:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* (* 2.0 (PI)) u2))))
   (if (<= t_0 0.998199999332428)
     (* (sqrt u1) t_0)
     (*
      (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
      (fma (* -2.0 (* u2 u2)) (* (PI) (PI)) 1.0)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)) < 0.998199999

   1. Initial program 61.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. neg-log N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-/.f32 58.6

         \[\leadsto \sqrt{\log \color{blue}{\left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 58.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-sqrt.f32 74.3

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied rewrites 74.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.998199999 < (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2))

   1. Initial program 53.1%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 95.4

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 95.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right)} \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

      9. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right) \]

      10. lower-PI.f32 95.3

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 95.3%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (cos (* (+ (PI) (PI)) u2))))

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-log.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - \color{blue}{1 \cdot u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) \cdot u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1 \cdot u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1}\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. lower-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-neg.f32 98.9

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

4. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

   2. count-2-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

   3. lower-+.f32 98.9

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

6. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 94.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right) \cdot u1\\ \sqrt{\frac{1 - t\_0 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, u1, 0.5\right) \cdot u1\right)}{1 - t\_0} \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1)))
   (*
    (sqrt
     (*
      (/ (- 1.0 (* t_0 (* (fma 0.3333333333333333 u1 0.5) u1))) (- 1.0 t_0))
      u1))
    (sin (fma -2.0 (* u2 (PI)) (/ (PI) 2.0))))))

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-fma.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. cos-neg-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   3. sin-+PI/2-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   4. lower-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   6. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   7. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   8. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   11. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   14. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   15. lift-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right) \]

   16. lower-/.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right)\right) \]

7. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

9. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\frac{1 - \left(\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right)\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right)\right) \cdot u1\right)}{1 + \left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right)\right) \cdot u1} \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

10. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1 - \left(\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right)\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, u1, \frac{1}{2}\right)\right) \cdot u1\right)}{1 + \left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right)\right) \cdot u1} \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

12. Applied rewrites 95.2%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1 - \left(\left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right)\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\left(-\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, u1, 0.5\right)\right) \cdot u1\right)}{1 + \left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right)\right) \cdot u1} \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

13. Final simplification 95.2%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1 - \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right) \cdot u1\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, u1, 0.5\right) \cdot u1\right)}{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right) \cdot u1} \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.7% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.006000000052154064:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.006000000052154064)
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (fma (* -2.0 (* u2 u2)) (* (PI) (PI)) 1.0))
   (*
    (sqrt (* (fma (fma 0.3333333333333333 u1 0.5) u1 1.0) u1))
    (sin (* (PI) (fma -2.0 u2 0.5))))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.00600000005

   1. Initial program 53.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - \color{blue}{1 \cdot u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) \cdot u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1 \cdot u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1}\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-neg.f32 99.4

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right)} \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

      9. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right) \]

      10. lower-PI.f32 99.3

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

   7. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right)} \]

   if 0.00600000005 < u2

   1. Initial program 59.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 91.9

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 91.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. cos-neg-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      3. sin-+PI/2-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

      4. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      7. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      8. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      11. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      14. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      15. lift-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right) \]

      16. lower-/.f32 92.2

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 92.2%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot u2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

      4. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. lower-fma.f32 92.5

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)}\right) \]

   10. Applied rewrites 92.5%

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, \frac{1}{2}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 90.7%

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 94.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right) \cdot u1, u1, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (fma (* (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1) u1 u1))
  (sin (* (PI) (fma -2.0 u2 0.5)))))

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-fma.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. cos-neg-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   3. sin-+PI/2-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   4. lower-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   6. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   7. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   8. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   11. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   14. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   15. lift-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right) \]

   16. lower-/.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right)\right) \]

7. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot u2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

   4. lower-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. lower-fma.f32 94.6

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)}\right) \]

10. Applied rewrites 94.6%

    \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

12. Applied rewrites 94.8%

    \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right) \cdot u1, \color{blue}{u1}, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.6% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.006000000052154064:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.006000000052154064)
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (fma (* -2.0 (* u2 u2)) (* (PI) (PI)) 1.0))
   (*
    (sqrt (* (fma (fma 0.3333333333333333 u1 0.5) u1 1.0) u1))
    (cos (* (* 2.0 (PI)) u2)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.00600000005

   1. Initial program 53.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - \color{blue}{1 \cdot u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) \cdot u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1 \cdot u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1}\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-neg.f32 99.4

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right)} \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

      9. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right) \]

      10. lower-PI.f32 99.3

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

   7. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right)} \]

   if 0.00600000005 < u2

   1. Initial program 59.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{3} \cdot u1 + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-fma.f32 90.2

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, u1, 0.5\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 90.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.9% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right) \cdot u1, u1, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (fma (* (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1) u1 u1))
  (cos (* (* 2.0 (PI)) u2))))

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-fma.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 94.7%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right) \cdot u1, \color{blue}{u1}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.9% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.006000000052154064:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.006000000052154064)
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (fma (* -2.0 (* u2 u2)) (* (PI) (PI)) 1.0))
   (* (sqrt (* (fma 0.5 u1 1.0) u1)) (sin (* (PI) (fma -2.0 u2 0.5))))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.00600000005

   1. Initial program 53.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - \color{blue}{1 \cdot u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) \cdot u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1 \cdot u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1}\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-neg.f32 99.4

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right)} \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

      9. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right) \]

      10. lower-PI.f32 99.3

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

   7. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right)} \]

   if 0.00600000005 < u2

   1. Initial program 59.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 91.9

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 91.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. cos-neg-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      3. sin-+PI/2-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

      4. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      7. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      8. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      11. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      14. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      15. lift-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right) \]

      16. lower-/.f32 92.2

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 92.2%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot u2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

      4. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. lower-fma.f32 92.5

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)}\right) \]

   10. Applied rewrites 92.5%

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, \frac{1}{2}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 87.1%

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 93.8% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
  (cos (* (+ (PI) (PI)) u2))))

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-fma.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

   2. count-2-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

   3. lower-+.f32 94.5

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

7. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 11: 94.7% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 7.000000186963007 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 7.000000186963007e-5)
   (sqrt (- (log1p (- u1))))
   (* (sqrt (* (fma 0.5 u1 1.0) u1)) (sin (* (PI) (fma -2.0 u2 0.5))))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 7.00000019e-5

   1. Initial program 52.1%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. neg-log N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-/.f32 49.9

         \[\leadsto \sqrt{\log \color{blue}{\left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 49.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]

      2. log-rec N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}} \]

      3. lower-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-\log \left(1 - u1\right)}} \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - \color{blue}{1 \cdot u1}\right)} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)} \cdot u1\right)} \]

      6. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot u1\right)}} \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \]

      8. lower-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}} \]

      9. lower-neg.f32 99.6

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \]

   7. Applied rewrites 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \]

   if 7.00000019e-5 < u2

   1. Initial program 58.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 93.6

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 93.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. cos-neg-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      3. sin-+PI/2-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

      4. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      7. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      8. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      11. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      14. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      15. lift-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right) \]

      16. lower-/.f32 93.8

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 93.8%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot u2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

      4. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. lower-fma.f32 94.0

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)}\right) \]

   10. Applied rewrites 94.0%

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, \frac{1}{2}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 89.1%

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 94.6% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 7.000000186963007 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 7.000000186963007e-5)
   (sqrt (- (log1p (- u1))))
   (* (sqrt (* (fma 0.5 u1 1.0) u1)) (cos (* (* 2.0 (PI)) u2)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 7.00000019e-5

   1. Initial program 52.1%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. neg-log N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-/.f32 49.9

         \[\leadsto \sqrt{\log \color{blue}{\left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 49.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]

      2. log-rec N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}} \]

      3. lower-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-\log \left(1 - u1\right)}} \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - \color{blue}{1 \cdot u1}\right)} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)} \cdot u1\right)} \]

      6. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot u1\right)}} \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \]

      8. lower-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}} \]

      9. lower-neg.f32 99.6

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \]

   7. Applied rewrites 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \]

   if 7.00000019e-5 < u2

   1. Initial program 58.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot u1 + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-fma.f32 88.9

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 88.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 90.4% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.009499999694526196:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.009499999694526196)
   (*
    (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
    (fma (* -2.0 (* u2 u2)) (* (PI) (PI)) 1.0))
   (* (sqrt (- (- u1))) (sin (* (PI) (fma -2.0 u2 0.5))))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 0.00949999969

   1. Initial program 53.1%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 95.4

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 95.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right)} \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

      9. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right) \]

      10. lower-PI.f32 95.3

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 95.3%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right)} \]

   if 0.00949999969 < u2

   1. Initial program 61.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 - u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - \color{blue}{1 \cdot u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) \cdot u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1 \cdot u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1}\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-neg.f32 97.0

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. cos-neg-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      3. sin-+PI/2-rev N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

      4. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

      5. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      7. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      8. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      10. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

      11. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      14. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

      15. lift-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right) \]

      16. lower-/.f32 97.4

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right)\right) \]

   6. Applied rewrites 97.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot u2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right)} \]

      4. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(-2 \cdot u2 + \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. lower-fma.f32 98.0

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)}\right) \]

   9. Applied rewrites 98.0%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right)} \]

   10. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{-1 \cdot u1}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, \frac{1}{2}\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, \frac{1}{2}\right)\right) \]

       2. lower-neg.f32 74.4

          \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(-u1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right) \]

   12. Applied rewrites 74.4%

       \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(-u1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, u2, 0.5\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 14: 84.0% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2, 0\right) \cdot u2 - -1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
  (- (* (fma (* (* (PI) u2) (PI)) -2.0 0.0) u2) -1.0)))

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-fma.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. cos-neg-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   3. sin-+PI/2-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   4. lower-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   6. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   7. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   8. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   11. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   14. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   15. lift-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right) \]

   16. lower-/.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right)\right) \]

7. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   2. lift-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   3. sin-sum N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \cos \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   4. sin-+PI/2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \color{blue}{\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   5. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   6. lift-/.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right) \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   7. lift-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   8. lift-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   9. lift-/.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}\right) \]

   10. lift-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right) \]

   11. sin-PI/2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{1}\right) \]

   12. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)\right)\right) \cdot 1\right)} \]

9. Applied rewrites 94.4%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot -2\right) \cdot 0 - \cos \left(\mathsf{fma}\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 1\right)} \]

10. Taylor expanded in u2 around 0

    \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sin \mathsf{PI}\left(\right)\right) + 2 \cdot \left(u2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \cos \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) - \cos \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

12. Applied rewrites 84.9%

    \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2, 0\right) \cdot u2 - -1\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 15: 84.0% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
  (fma (* -2.0 (* u2 u2)) (* (PI) (PI)) 1.0)))

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-fma.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 1\right) \]

   3. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot {u2}^{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right)} \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

   9. lower-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right) \]

   10. lower-PI.f32 84.9

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 1\right) \]

8. Applied rewrites 84.9%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 1\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 16: 76.8% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* (fma (fma (fma 0.25 u1 0.3333333333333333) u1 0.5) u1 1.0) u1))
  1.0))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((fmaf(fmaf(fmaf(0.25f, u1, 0.3333333333333333f), u1, 0.5f), u1, 1.0f) * u1)) * 1.0f;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(fma(fma(fma(Float32(0.25), u1, Float32(0.3333333333333333)), u1, Float32(0.5)), u1, Float32(1.0)) * u1)) * Float32(1.0))
end

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) \cdot u1} + 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1, 1\right)} \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) \cdot u1} + \frac{1}{2}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, u1, \frac{1}{2}\right)}, u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. lower-fma.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right)}, u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. cos-neg-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   3. sin-+PI/2-rev N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   4. lower-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   5. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   6. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   7. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   8. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \]

   11. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(2\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   14. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   15. lift-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right) \]

   16. lower-/.f32 94.5

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right)\right) \]

7. Applied rewrites 94.5%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   2. lift-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \sin \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   3. sin-sum N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \cos \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \]

   4. sin-+PI/2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \color{blue}{\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   5. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   6. lift-/.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right) \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   7. lift-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   8. lift-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \]

   9. lift-/.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}\right) \]

   10. lift-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right) \]

   11. sin-PI/2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{1}\right) \]

   12. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(-2, u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)\right)\right)\right) \cdot 1\right)} \]

9. Applied rewrites 94.4%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot -2\right) \cdot 0 - \cos \left(\mathsf{fma}\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 1\right)} \]

10. Taylor expanded in u2 around 0

    \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. cos-PI N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, u1, \frac{1}{3}\right), u1, \frac{1}{2}\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{-1}\right) \]

    2. metadata-eval 77.2

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{1} \]

12. Applied rewrites 77.2%

    \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.25, u1, 0.3333333333333333\right), u1, 0.5\right), u1, 1\right) \cdot u1} \cdot \color{blue}{1} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 17: 64.7% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\left(-u1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (sqrt (- (- u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-(-u1));
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
use fmin_fmax_functions
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt(-(-u1))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(Float32(-Float32(-u1)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-(-u1));
end

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sqrt{-1}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sqrt{-1}} \]

   2. lower-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(1 - u1\right)}} \cdot \sqrt{-1} \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(1 - \color{blue}{1 \cdot u1}\right)} \cdot \sqrt{-1} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(1 - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)} \cdot u1\right)} \cdot \sqrt{-1} \]

   5. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot u1\right)}} \cdot \sqrt{-1} \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \sqrt{-1} \]

   7. lower-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}} \cdot \sqrt{-1} \]

   8. lower-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \sqrt{-1} \]

   9. lower-sqrt.f32 -0.0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{-1}} \]

5. Applied rewrites -0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sqrt{-1}} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{-1 \cdot u1} \cdot \sqrt{-1} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites -0.0%

   \[\leadsto \sqrt{-u1} \cdot \sqrt{-1} \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 67.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-1 \cdot \left(-u1\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

12. Applied rewrites 67.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\left(-u1\right)}} \]

13. Final simplification 67.0%

    \[\leadsto \sqrt{-\left(-u1\right)} \]
14. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024351 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 (PI)) u2))))