bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 6.9% → 10.4%

Time: 8.5s

Alternatives: 14

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right)\\ t_2 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\\ t_3 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t\_0 + t\_2, t\_0, {t\_2}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {t\_2}^{3} - {t\_0}^{3}, \mathsf{fma}\left(t\_1, t\_0, t\_3 \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_1 \cdot 4, t\_0, t\_3\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x)))
        (t_1 (fma 0.5 (PI) t_0))
        (t_2 (/ (PI) 2.0))
        (t_3 (* (PI) (PI))))
   (/
    (fma
     (fma (+ t_0 t_2) t_0 (pow t_2 2.0))
     (* 2.0 (PI))
     (*
      -2.0
      (fma
       -2.0
       (- (pow t_2 3.0) (pow t_0 3.0))
       (* (fma t_1 t_0 (* t_3 0.25)) (PI)))))
    (fma (* t_1 4.0) t_0 t_3))))

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   5. flip3-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}\right) \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - 2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   7. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - 2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{2 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) - 2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) - 2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)\right) - \color{blue}{2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) - 2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)\right)} \]

   3. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) - 2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 11.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\color{blue}{4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{4 \cdot \color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{4 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{4 \cdot \left(\left(\sin^{-1} \left(1 - \color{blue}{1 \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{4 \cdot \left(\left(\sin^{-1} \left(1 - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)} \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]

   5. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{4 \cdot \left(\left(\sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot x\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{4 \cdot \left(\left(\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - \color{blue}{1 \cdot x}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{4 \cdot \left(\left(\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)} \cdot x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]

   8. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{4 \cdot \left(\left(\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot x\right)} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{4 \cdot \left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]

9. Applied rewrites 11.0%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \left(\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \left(\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    4. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \left(\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    5. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \left(\left(\sin^{-1} \left(1 - \color{blue}{1 \cdot x}\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \left(\left(\sin^{-1} \left(1 - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)} \cdot x\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    7. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \left(\left(\sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot x\right)} - \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    8. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \left(\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \left(\left(\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    10. *-lft-identity N/A

        \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \left(\left(\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - \color{blue}{1 \cdot x}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \left(\left(\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)} \cdot x\right) + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    12. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

        \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \left(\left(\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot x\right)} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    13. lower-fma.f64 N/A

        \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right), \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

12. Applied rewrites 11.0%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 4, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\\ t_1 := {\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.25}\\ t_2 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left({\left(t\_1 \cdot \left(t\_1 \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}\right)\right)}^{2}, t\_0, {\sin^{-1} \left(-1 + x\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_2, t\_2 + t\_0, {t\_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (PI) 2.0)) (t_1 (pow (PI) 0.25)) (t_2 (asin (- 1.0 x))))
   (/
    (fma
     (pow (* t_1 (* t_1 (/ (sqrt (PI)) -2.0))) 2.0)
     t_0
     (pow (asin (+ -1.0 x)) 3.0))
    (fma t_2 (+ t_2 t_0) (pow t_0 2.0)))))

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip3-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   4. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   5. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. lower-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

4. Applied rewrites 6.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   2. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   3. cube-mult N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   5. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   6. unpow3 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   8. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   9. sqr-neg-rev N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   10. cube-unmult N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   11. cube-neg-rev N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   12. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   13. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   14. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   15. cube-neg-rev N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   16. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

6. Applied rewrites 10.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   2. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   3. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   4. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   6. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   7. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   8. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right)}}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)\right)}}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

8. Applied rewrites 10.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.25} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.25} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}\right)\right)}}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

9. Final simplification 10.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.25} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.25} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}\right)\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-1 + x\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\\ t_1 := {t\_0}^{1.5}\\ t_2 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(t\_1, t\_1, {\sin^{-1} \left(-1 + x\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_2, t\_2 + t\_0, {t\_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (PI) 2.0)) (t_1 (pow t_0 1.5)) (t_2 (asin (- 1.0 x))))
   (/
    (fma t_1 t_1 (pow (asin (+ -1.0 x)) 3.0))
    (fma t_2 (+ t_2 t_0) (pow t_0 2.0)))))

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip3-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   4. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   5. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. lower-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

4. Applied rewrites 6.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   2. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   3. cube-mult N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   5. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   6. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   7. sqr-neg-rev N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   8. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} + \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   9. cube-neg-rev N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   10. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   11. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   12. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\color{blue}{\frac{3}{2}}}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   14. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}, \color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\color{blue}{\frac{3}{2}}}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   16. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

6. Applied rewrites 10.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{1.5}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{1.5}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

7. Final simplification 10.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{1.5}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{1.5}, {\sin^{-1} \left(-1 + x\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_2 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left({t\_2}^{2}, t\_2, {\sin^{-1} \left(-1 + x\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_1, t\_1 + t\_2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{-4}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-e^{\log \left(t\_2 - t\_1\right) \cdot 2}}{-t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 1.0 x))) (t_1 (asin (- 1.0 x))) (t_2 (/ (PI) 2.0)))
   (if (<= t_0 0.0)
     (/
      (fma (pow t_2 2.0) t_2 (pow (asin (+ -1.0 x)) 3.0))
      (fma t_1 (+ t_1 t_2) (/ (* (PI) (PI)) -4.0)))
     (/ (- (exp (* (log (- t_2 t_1)) 2.0))) (- t_0)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (acos.f64 (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)) < 0.0

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. flip3-- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      4. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      5. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      6. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      8. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      10. lower-asin.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

   4. Applied rewrites 3.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      2. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      5. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      8. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      9. sqr-neg-rev N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      10. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      11. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      12. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      14. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      15. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      16. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   6. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   8. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{-4}}\right)} \]

   if 0.0 < (acos.f64 (-.f64 #s(literal 1 binary64) x))

   1. Initial program 70.3%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. asin-acos N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      4. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      5. associate--r- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      6. flip-+ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. Applied rewrites 70.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. pow-to-exp N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{e^{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. lower-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{e^{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      4. unpow1 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{1}\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      5. pow-to-exp N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left(e^{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1}\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      6. rem-log-exp N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\color{blue}{\left(\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\color{blue}{\left(\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \cdot 2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      8. rem-log-exp N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\color{blue}{\log \left(e^{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1}\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      9. pow-to-exp N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{1}\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      10. unpow1 N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      11. lower-log.f64 70.3

          \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\color{blue}{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   6. Applied rewrites 70.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{e^{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. lift-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      4. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      5. lift-asin.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      6. lower--.f64 70.5

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   8. Applied rewrites 70.5%

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 10.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos^{-1} \left(1 - x\right) \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-1 + x\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{-4}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-e^{\log \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2}}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 10.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\\ t_1 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left({t\_0}^{2}, t\_0, {\sin^{-1} \left(-1 + x\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_1, t\_1 + t\_0, \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{4}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (PI) 2.0)) (t_1 (asin (- 1.0 x))))
   (/
    (fma (pow t_0 2.0) t_0 (pow (asin (+ -1.0 x)) 3.0))
    (fma t_1 (+ t_1 t_0) (/ (* (PI) (PI)) 4.0)))))

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip3-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   4. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   5. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. lower-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

4. Applied rewrites 6.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   2. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   3. cube-mult N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   5. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   6. unpow3 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   8. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   9. sqr-neg-rev N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   10. cube-unmult N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   11. cube-neg-rev N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   12. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   13. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   14. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   15. cube-neg-rev N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   16. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

6. Applied rewrites 10.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}}\right)} \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right)} \]

   3. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right)} \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{2 \cdot 2}}\right)} \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{2 \cdot 2}\right)} \]

   7. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2 \cdot 2}\right)} \]

   8. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{2 \cdot 2}}\right)} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{2 \cdot 2}\right)} \]

   10. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2 \cdot 2}\right)} \]

   11. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{2 \cdot 2}\right)} \]

   12. metadata-eval 10.9

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\color{blue}{4}}\right)} \]

8. Applied rewrites 10.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{4}}\right)} \]

9. Final simplification 10.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-1 + x\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{4}\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 10.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\\ t_1 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}, t\_1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{{t\_0}^{2} - {t\_1}^{2}}{t\_1 + t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (PI) 2.0)) (t_1 (asin (- 1.0 x))))
   (if (<= x 5.5e-17)
     (fma
      (pow (PI) 0.16666666666666666)
      (* (cbrt (PI)) (/ (sqrt (PI)) -2.0))
      t_1)
     (/ (- (pow t_0 2.0) (pow t_1 2.0)) (+ t_1 t_0)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.50000000000000001e-17

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. flip3-- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      4. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      5. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      6. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      8. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      10. lower-asin.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

   4. Applied rewrites 3.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      2. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      5. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      8. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      9. sqr-neg-rev N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      10. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      11. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      12. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      14. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      15. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      16. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   6. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   8. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   if 5.50000000000000001e-17 < x

   1. Initial program 70.3%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. flip-- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      4. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      5. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      6. pow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      7. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      8. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      9. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      10. pow2 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      11. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      12. lower-asin.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}}^{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

      14. lower-+.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

      15. lower-asin.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

      16. lower-/.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

      17. lower-PI.f64 70.4

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}} \]

   4. Applied rewrites 70.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 10.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}, t\_0\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-e^{\log \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - t\_0\right) \cdot 2}}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))))
   (if (<= x 5.5e-17)
     (fma
      (pow (PI) 0.16666666666666666)
      (* (cbrt (PI)) (/ (sqrt (PI)) -2.0))
      t_0)
     (/ (- (exp (* (log (- (/ (PI) 2.0) t_0)) 2.0))) (- (acos (- 1.0 x)))))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.50000000000000001e-17

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. flip3-- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      4. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      5. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      6. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      8. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      10. lower-asin.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

   4. Applied rewrites 3.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      2. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      5. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      8. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      9. sqr-neg-rev N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      10. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      11. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      12. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      14. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      15. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      16. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   6. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   8. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   if 5.50000000000000001e-17 < x

   1. Initial program 70.3%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. asin-acos N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      4. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      5. associate--r- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      6. flip-+ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. Applied rewrites 70.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. pow-to-exp N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{e^{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. lower-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{e^{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      4. unpow1 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{1}\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      5. pow-to-exp N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left(e^{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1}\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      6. rem-log-exp N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\color{blue}{\left(\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\color{blue}{\left(\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \cdot 2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      8. rem-log-exp N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\color{blue}{\log \left(e^{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1}\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      9. pow-to-exp N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{1}\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      10. unpow1 N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      11. lower-log.f64 70.3

          \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\color{blue}{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   6. Applied rewrites 70.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{e^{\log \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. lift-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      4. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      5. lift-asin.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      6. lower--.f64 70.5

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   8. Applied rewrites 70.5%

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - e^{\log \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot 2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 10.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-e^{\log \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2}}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 10.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{{t\_0}^{2}}{t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 1.0 x))))
   (if (<= x 5.5e-17)
     (fma
      (pow (PI) 0.16666666666666666)
      (* (cbrt (PI)) (/ (sqrt (PI)) -2.0))
      (asin (- 1.0 x)))
     (/ (pow t_0 2.0) t_0))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.50000000000000001e-17

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. flip3-- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      4. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      5. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      6. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      8. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      10. lower-asin.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

   4. Applied rewrites 3.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      2. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      5. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      8. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      9. sqr-neg-rev N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      10. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      11. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      12. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      14. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      15. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      16. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   6. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   8. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   if 5.50000000000000001e-17 < x

   1. Initial program 70.3%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. asin-acos N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      4. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      5. associate--r- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      6. flip-+ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. Applied rewrites 70.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      2. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      4. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      6. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      7. flip-+ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      8. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \cos^{-1} \left(1 - x\right) \]

      9. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right) \]

      10. +-inverses N/A

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{0}}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \color{blue}{0} + \cos^{-1} \left(1 - x\right) \]

      12. +-lft-identity 70.3

          \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      13. unpow1 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{1}} \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{\color{blue}{\left(2 - 1\right)}} \]

   6. Applied rewrites 70.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 10.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999999998:\\ \;\;\;\;\frac{{t\_0}^{2}}{t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{t\_1}{-2}, t\_1, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 1.0 x))) (t_1 (sqrt (PI))))
   (if (<= (- 1.0 x) 0.9999999999999998)
     (/ (pow t_0 2.0) t_0)
     (fma (/ t_1 -2.0) t_1 (asin (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 #s(literal 1 binary64) x) < 0.99999999999999978

   1. Initial program 70.3%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. asin-acos N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      4. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      5. associate--r- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      6. flip-+ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. Applied rewrites 70.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      2. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      4. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      6. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      7. flip-+ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      8. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \cos^{-1} \left(1 - x\right) \]

      9. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right) \]

      10. +-inverses N/A

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{0}}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \color{blue}{0} + \cos^{-1} \left(1 - x\right) \]

      12. +-lft-identity 70.3

          \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      13. unpow1 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{1}} \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{\color{blue}{\left(2 - 1\right)}} \]

   6. Applied rewrites 70.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   if 0.99999999999999978 < (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. flip3-- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      4. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      5. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      6. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      8. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      10. lower-asin.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

   4. Applied rewrites 3.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      2. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      5. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      8. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      9. sqr-neg-rev N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      10. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      11. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      12. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      14. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      15. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      16. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   6. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   8. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 10.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999999998:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{t\_1}{-2}, t\_1, t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))) (t_1 (sqrt (PI))))
   (if (<= (- 1.0 x) 0.9999999999999998)
     (- (/ (PI) 2.0) t_0)
     (fma (/ t_1 -2.0) t_1 t_0))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 #s(literal 1 binary64) x) < 0.99999999999999978

   1. Initial program 70.3%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      4. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

      5. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

      6. lower-asin.f64 70.3

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   4. Applied rewrites 70.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   if 0.99999999999999978 < (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. flip3-- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      4. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      5. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      6. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      8. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      10. lower-asin.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

   4. Applied rewrites 3.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      2. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      5. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      8. lift-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      9. sqr-neg-rev N/A

         \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      10. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      11. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      12. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      14. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      15. cube-neg-rev N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

      16. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   6. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)} \]

   8. Applied rewrites 8.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 9.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.5e-17) (acos (- x)) (- (/ (PI) 2.0) (asin (- 1.0 x)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.50000000000000001e-17

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.8

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.8%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.50000000000000001e-17 < x

   1. Initial program 70.3%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      4. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

      5. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

      6. lower-asin.f64 70.3

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   4. Applied rewrites 70.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 9.5% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.5e-17) (acos (- x)) (acos (- 1.0 x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.5e-17) {
		tmp = acos(-x);
	} else {
		tmp = acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 5.5d-17) then
        tmp = acos(-x)
    else
        tmp = acos((1.0d0 - x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.5e-17) {
		tmp = Math.acos(-x);
	} else {
		tmp = Math.acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 5.5e-17:
		tmp = math.acos(-x)
	else:
		tmp = math.acos((1.0 - x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5.5e-17)
		tmp = acos(Float64(-x));
	else
		tmp = acos(Float64(1.0 - x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5.5e-17)
		tmp = acos(-x);
	else
		tmp = acos((1.0 - x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 5.5e-17], N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision], N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.50000000000000001e-17

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.8

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.8%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.50000000000000001e-17 < x

   1. Initial program 70.3%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 7.2

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 7.2%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 14: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

module fmin_fmax_functions
    implicit none
    private
    public fmax
    public fmin

    interface fmax
        module procedure fmax88
        module procedure fmax44
        module procedure fmax84
        module procedure fmax48
    end interface
    interface fmin
        module procedure fmin88
        module procedure fmin44
        module procedure fmin84
        module procedure fmin48
    end interface
contains
    real(8) function fmax88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmax44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, max(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, max(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmax48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), max(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin88(x, y) result (res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(4) function fmin44(x, y) result (res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(x, min(x, y), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin84(x, y) result(res)
        real(8), intent (in) :: x
        real(4), intent (in) :: y
        res = merge(dble(y), merge(x, min(x, dble(y)), y /= y), x /= x)
    end function
    real(8) function fmin48(x, y) result(res)
        real(4), intent (in) :: x
        real(8), intent (in) :: y
        res = merge(y, merge(dble(x), min(dble(x), y), y /= y), x /= x)
    end function
end module

real(8) function code(x)
use fmin_fmax_functions
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024346 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))