bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 7.1% → 10.6%

Time: 8.7s

Alternatives: 12

Speedup: 0.9×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 7.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := {t\_0}^{2}\\ t_2 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\\ t_3 := {t\_2}^{2}\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_0 - t\_2, t\_3\right)\\ t_5 := \sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({t\_0}^{3} + {t\_2}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_1 + t\_3, t\_4 \cdot \left(-2 \cdot \left({t\_2}^{4} - {t\_0}^{4}\right)\right)\right)}{t\_4 \cdot \left(t\_1 + {\left({\left(t\_5 \cdot t\_5\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(t\_2 + t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 1.0 x)))
        (t_1 (pow t_0 2.0))
        (t_2 (/ (PI) 2.0))
        (t_3 (pow t_2 2.0))
        (t_4 (fma t_0 (- t_0 t_2) t_3))
        (t_5 (cbrt (- (sqrt (PI))))))
   (/
    (/
     (fma
      (* (+ (pow t_0 3.0) (pow t_2 3.0)) (PI))
      (+ t_1 t_3)
      (* t_4 (* -2.0 (- (pow t_2 4.0) (pow t_0 4.0)))))
     (* t_4 (+ t_1 (pow (* (pow (* t_5 t_5) 2.0) (/ (cbrt (PI)) 2.0)) 2.0))))
    (* 2.0 (+ t_2 t_0)))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. rem-3cbrt-lft N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. lower-/.f64 10.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. sqr-neg-rev N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. cbrt-prod N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)}}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)}}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{-\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{-\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   12. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   13. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{-\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   14. lower-sqrt.f64 10.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{-\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 10.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_2 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\\ t_3 := {t\_2}^{2}\\ t_4 := t\_1 - t\_2\\ t_5 := {t\_1}^{2}\\ t_6 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({t\_1}^{3} + {t\_2}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_5 + t\_3, \mathsf{fma}\left(t\_1, t\_4, t\_3\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({t\_2}^{4} - {t\_1}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_1, t\_4, {\left(\frac{t\_6 \cdot t\_6}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(t\_5 + {\left({t\_0}^{2} \cdot \frac{t\_0}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(t\_2 + t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (PI)))
        (t_1 (acos (- 1.0 x)))
        (t_2 (/ (PI) 2.0))
        (t_3 (pow t_2 2.0))
        (t_4 (- t_1 t_2))
        (t_5 (pow t_1 2.0))
        (t_6 (sqrt (PI))))
   (/
    (/
     (fma
      (* (+ (pow t_1 3.0) (pow t_2 3.0)) (PI))
      (+ t_5 t_3)
      (* (fma t_1 t_4 t_3) (* -2.0 (- (pow t_2 4.0) (pow t_1 4.0)))))
     (*
      (fma t_1 t_4 (pow (/ (* t_6 t_6) 2.0) 2.0))
      (+ t_5 (pow (* (pow t_0 2.0) (/ t_0 2.0)) 2.0))))
    (* 2.0 (+ t_2 t_1)))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. rem-3cbrt-lft N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. lower-/.f64 10.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lower-sqrt.f64 10.1

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 10.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := {t\_0}^{2}\\ t_2 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\\ t_3 := {t\_2}^{2}\\ t_4 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\\ t_5 := t\_0 - t\_2\\ t_6 := \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({t\_0}^{3} + {t\_2}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_1 + t\_3, \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_5, t\_3\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({t\_2}^{4} - {t\_0}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_0, t\_5, t\_4 \cdot t\_4\right) \cdot \left(t\_1 + {\left({t\_6}^{2} \cdot \frac{t\_6}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(t\_2 + t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 1.0 x)))
        (t_1 (pow t_0 2.0))
        (t_2 (/ (PI) 2.0))
        (t_3 (pow t_2 2.0))
        (t_4 (* (PI) 0.5))
        (t_5 (- t_0 t_2))
        (t_6 (cbrt (PI))))
   (/
    (/
     (fma
      (* (+ (pow t_0 3.0) (pow t_2 3.0)) (PI))
      (+ t_1 t_3)
      (* (fma t_0 t_5 t_3) (* -2.0 (- (pow t_2 4.0) (pow t_0 4.0)))))
     (*
      (fma t_0 t_5 (* t_4 t_4))
      (+ t_1 (pow (* (pow t_6 2.0) (/ t_6 2.0)) 2.0))))
    (* 2.0 (+ t_2 t_0)))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. rem-3cbrt-lft N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. lower-/.f64 10.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lower-*.f64 10.1

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1}}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. lower-*.f64 10.1

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1}}{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   13. lower-*.f64 10.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 10.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 10.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := {t\_0}^{2}\\ t_2 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\\ t_3 := {t\_2}^{2}\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_0 - t\_2, t\_3\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({t\_0}^{3} + {t\_2}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_1 + t\_3, t\_4 \cdot \left(-2 \cdot \left({t\_2}^{4} - {t\_0}^{4}\right)\right)\right)}{t\_4 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}, t\_1\right)}}{2 \cdot \left(t\_2 + t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 1.0 x)))
        (t_1 (pow t_0 2.0))
        (t_2 (/ (PI) 2.0))
        (t_3 (pow t_2 2.0))
        (t_4 (fma t_0 (- t_0 t_2) t_3)))
   (/
    (/
     (fma
      (* (+ (pow t_0 3.0) (pow t_2 3.0)) (PI))
      (+ t_1 t_3)
      (* t_4 (* -2.0 (- (pow t_2 4.0) (pow t_0 4.0)))))
     (* t_4 (fma (PI) (pow (/ (sqrt (PI)) 2.0) 2.0) t_1)))
    (* 2.0 (+ t_2 t_0)))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} + {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} + {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{2} + {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2} + {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2} + {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2} + {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}} + {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2} + {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2} + {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2} + {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   12. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   13. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   14. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}}^{2}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   15. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), {\left(\frac{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   16. lower-sqrt.f64 10.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}\right)}^{2}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 10.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\\ t_1 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_2 := {t\_1}^{2}\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{4}, t\_2\right)\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), t\_0, t\_2\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(t\_3, \left({t\_0}^{3} + {t\_1}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(-2 \cdot t\_4\right) \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{-2}\right)}^{4} - {t\_1}^{4}\right)\right)}{t\_4 \cdot t\_3}}{2 \cdot \left(t\_0 + t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (PI) 2.0))
        (t_1 (acos (- 1.0 x)))
        (t_2 (pow t_1 2.0))
        (t_3 (fma (PI) (/ (PI) 4.0) t_2))
        (t_4 (fma (asin (- 1.0 x)) t_0 t_2)))
   (/
    (/
     (fma
      t_3
      (* (+ (pow t_0 3.0) (pow t_1 3.0)) (PI))
      (* (* -2.0 t_4) (- (pow (/ (PI) -2.0) 4.0) (pow t_1 4.0))))
     (* t_4 t_3))
    (* 2.0 (+ t_0 t_1)))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right) \cdot \left({\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{4}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} + {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(-2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)\right) \cdot \left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{-2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{4}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 10.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(t\_0, \sin^{-1} \left(x - 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))))
   (/ (fma t_0 (asin (- x 1.0)) (* (* (PI) (PI)) 0.25)) (fma 0.5 (PI) t_0))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   5. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   6. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   7. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   8. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}}^{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   9. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right)}^{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   11. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   12. lower-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}}^{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   13. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

   14. lower-+.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

   15. lower-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   16. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]

   17. lower-PI.f64 6.5

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   2. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   4. fp-cancel-sub-sign-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   5. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   8. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   9. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \color{blue}{\left(1 - x\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   10. lift-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   11. asin-neg-rev N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\sin^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - x\right)\right)\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   12. lower-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{\sin^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - x\right)\right)\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   13. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \color{blue}{\left(-\left(1 - x\right)\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   14. lift--.f64 4.7

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(-\color{blue}{\left(1 - x\right)}\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

6. Applied rewrites 4.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(x - 1\right)}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(x - 1\right)}{\sin^{-1} \left(1 - \color{blue}{1 \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(x - 1\right)}{\sin^{-1} \left(1 - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)} \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. fp-cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(x - 1\right)}{\sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot x\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   4. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(x - 1\right)}{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

9. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(x - 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 10.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (cbrt (pow (PI) 3.0)) 2.0) (asin (- 1.0 x))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   4. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   5. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   6. lower-asin.f64 6.5

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow1 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(3 \cdot \frac{1}{3}\right)}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   3. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}^{\frac{1}{3}}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{{\left({\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1\right)}}^{3}\right)}^{\frac{1}{3}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   5. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left({\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1\right)}}^{3}\right)}^{\frac{1}{3}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   6. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1\right)}^{3}}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   7. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1\right)}^{3}}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   8. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1\right)}}^{3}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   10. lower-pow.f64 10.0

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

6. Applied rewrites 10.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 8: 10.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\left(\sqrt{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (pow (sqrt (asin (- 1.0 x))) 2.0)))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   4. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   5. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   6. lower-asin.f64 6.5

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow1 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{1}} \]

   2. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}} \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{{\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}} \]

   4. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{{\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\color{blue}{\left(\sqrt{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}}^{2} \]

   7. lower-sqrt.f64 10.0

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - {\color{blue}{\left(\sqrt{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}}^{2} \]

6. Applied rewrites 10.0%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{{\left(\sqrt{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}^{2}} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 9: 9.6% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.6e-17)
   (acos (- x))
   (- (/ (PI) 2.0) (- (* (PI) 0.5) (acos (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.6

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.6%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.5999999999999998e-17 < x

   1. Initial program 55.6%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. lower--.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      4. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

      5. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

      6. lower-asin.f64 55.6

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   4. Applied rewrites 55.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift-asin.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. asin-acos N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      3. lift-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      4. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      5. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      6. lower--.f64 55.7

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      7. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      8. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      9. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      11. lower-*.f64 55.7

          \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. Applied rewrites 55.7%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 9.6% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.6e-17) (acos (- x)) (acos (- 1.0 x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.6e-17) {
		tmp = acos(-x);
	} else {
		tmp = acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 5.6d-17) then
        tmp = acos(-x)
    else
        tmp = acos((1.0d0 - x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.6e-17) {
		tmp = Math.acos(-x);
	} else {
		tmp = Math.acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 5.6e-17:
		tmp = math.acos(-x)
	else:
		tmp = math.acos((1.0 - x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5.6e-17)
		tmp = acos(Float64(-x));
	else
		tmp = acos(Float64(1.0 - x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5.6e-17)
		tmp = acos(-x);
	else
		tmp = acos((1.0 - x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 5.6e-17], N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision], N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.6

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.6%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.5999999999999998e-17 < x

   1. Initial program 55.6%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 6.9

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 6.9%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 12: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024337 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))