math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 66.8% → 99.5%

Time: 10.8s

Alternatives: 26

Speedup: 2.1×

• 49.9% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 66.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -5 \cdot 10^{+41}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{1}{t\_0}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right) \cdot im\_m\right) \cdot im\_m, im\_m, -2 \cdot im\_m\right) \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))) (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -5e+41)
      (/ t_1 (/ 1.0 t_0))
      (*
       (fma
        (*
         (* (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333) im_m)
         im_m)
        im_m
        (* -2.0 im_m))
       t_1)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -5e+41) {
		tmp = t_1 / (1.0 / t_0);
	} else {
		tmp = fma(((fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, (-2.0 * im_m)) * t_1;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -5e+41)
		tmp = Float64(t_1 / Float64(1.0 / t_0));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, Float64(-2.0 * im_m)) * t_1);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -5e+41], N[(t$95$1 / N[(1.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + N[(-2.0 * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -5.00000000000000022e41

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      3. flip-- N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{e^{-im} \cdot e^{-im} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{-im} + e^{im}}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{-im} + e^{im}}{e^{-im} \cdot e^{-im} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2} \cdot \sin re}{\frac{e^{-im} + e^{im}}{e^{-im} \cdot e^{-im} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      6. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2} \cdot \sin re}{\frac{e^{-im} + e^{im}}{e^{-im} \cdot e^{-im} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      7. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sin re}}{\frac{e^{-im} + e^{im}}{e^{-im} \cdot e^{-im} - e^{im} \cdot e^{im}}} \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin re \cdot \frac{1}{2}}}{\frac{e^{-im} + e^{im}}{e^{-im} \cdot e^{-im} - e^{im} \cdot e^{im}}} \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin re \cdot \frac{1}{2}}}{\frac{e^{-im} + e^{im}}{e^{-im} \cdot e^{-im} - e^{im} \cdot e^{im}}} \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{\sin re \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{-im} \cdot e^{-im} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{-im} + e^{im}}}}} \]

      11. flip-- N/A

          \[\leadsto \frac{\sin re \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{\color{blue}{e^{-im} - e^{im}}}} \]

      12. lift--.f64 N/A

          \[\leadsto \frac{\sin re \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{\color{blue}{e^{-im} - e^{im}}}} \]

      13. lower-/.f64 100.0

          \[\leadsto \frac{\sin re \cdot 0.5}{\color{blue}{\frac{1}{e^{-im} - e^{im}}}} \]

   4. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin re \cdot 0.5}{\frac{1}{e^{-im} - e^{im}}}} \]

   if -5.00000000000000022e41 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 57.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.8

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 91.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, \color{blue}{im}, -2 \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -5 \cdot 10^{+41}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot \sin re}{\frac{1}{e^{-im} - e^{im}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 82.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ t_2 := t\_1 \cdot \left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_2 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_2 \leq 2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (fma
           (fma
            (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
            (* im_m im_m)
            -0.3333333333333333)
           (* im_m im_m)
           -2.0)
          im_m))
        (t_1 (* 0.5 (sin re)))
        (t_2 (* t_1 (- (exp (- im_m)) (exp im_m)))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_2 (- INFINITY))
      (* t_0 (* 0.5 re))
      (if (<= t_2 2e-11)
        (* (* (fma -0.3333333333333333 (* im_m im_m) -2.0) im_m) t_1)
        (*
         (*
          (fma
           (fma
            (fma -9.92063492063492e-5 (* re re) 0.004166666666666667)
            (* re re)
            -0.08333333333333333)
           (* re re)
           0.5)
          re)
         t_0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m;
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double t_2 = t_1 * (exp(-im_m) - exp(im_m));
	double tmp;
	if (t_2 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * re);
	} else if (t_2 <= 2e-11) {
		tmp = (fma(-0.3333333333333333, (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * t_1;
	} else {
		tmp = (fma(fma(fma(-9.92063492063492e-5, (re * re), 0.004166666666666667), (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m)
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	t_2 = Float64(t_1 * Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)))
	tmp = 0.0
	if (t_2 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * re));
	elseif (t_2 <= 2e-11)
		tmp = Float64(Float64(fma(-0.3333333333333333, Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * t_1);
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(fma(-9.92063492063492e-5, Float64(re * re), 0.004166666666666667), Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * t_0);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 * N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$2, (-Infinity)], N[(t$95$0 * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$2, 2e-11], N[(N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-9.92063492063492e-5 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.004166666666666667), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 90.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 64.0

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 64.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < 1.99999999999999988e-11

   1. Initial program 38.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 98.3

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 98.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   if 1.99999999999999988e-11 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 86.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{240}}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, {re}^{2}, \frac{1}{240}\right)}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      17. lower-*.f64 69.7

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 69.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 82.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq 2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 82.7% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\\ t_1 := \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_1 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_1 \leq 2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (fma
           (fma
            (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
            (* im_m im_m)
            -0.3333333333333333)
           (* im_m im_m)
           -2.0)
          im_m))
        (t_1 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im_m)) (exp im_m)))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_1 (- INFINITY))
      (* t_0 (* 0.5 re))
      (if (<= t_1 2e-11)
        (* (sin re) (- im_m))
        (*
         (*
          (fma
           (fma
            (fma -9.92063492063492e-5 (* re re) 0.004166666666666667)
            (* re re)
            -0.08333333333333333)
           (* re re)
           0.5)
          re)
         t_0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m;
	double t_1 = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im_m) - exp(im_m));
	double tmp;
	if (t_1 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * re);
	} else if (t_1 <= 2e-11) {
		tmp = sin(re) * -im_m;
	} else {
		tmp = (fma(fma(fma(-9.92063492063492e-5, (re * re), 0.004166666666666667), (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m)
	t_1 = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * re));
	elseif (t_1 <= 2e-11)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(-im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(fma(-9.92063492063492e-5, Float64(re * re), 0.004166666666666667), Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * t_0);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$1, (-Infinity)], N[(t$95$0 * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$1, 2e-11], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * (-im$95$m)), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-9.92063492063492e-5 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.004166666666666667), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 90.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 64.0

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 64.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < 1.99999999999999988e-11

   1. Initial program 38.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 98.0

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 1.99999999999999988e-11 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 86.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{240}}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, {re}^{2}, \frac{1}{240}\right)}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      17. lower-*.f64 69.7

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 69.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 82.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq 2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 89.3% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ t_1 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \cdot t\_1 \leq -4 \cdot 10^{-202}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right) \cdot im\_m\right) \cdot im\_m, im\_m, -2 \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))) (t_1 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= (* t_0 t_1) -4e-202)
      (* (* 0.5 re) t_1)
      (*
       (fma
        (*
         (*
          (fma
           (fma (* im_m im_m) -0.0003968253968253968 -0.016666666666666666)
           (* im_m im_m)
           -0.3333333333333333)
          im_m)
         im_m)
        im_m
        (* -2.0 im_m))
       t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double t_1 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if ((t_0 * t_1) <= -4e-202) {
		tmp = (0.5 * re) * t_1;
	} else {
		tmp = fma(((fma(fma((im_m * im_m), -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, (-2.0 * im_m)) * t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	t_1 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 * t_1) <= -4e-202)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * t_1);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(fma(fma(Float64(im_m * im_m), -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, Float64(-2.0 * im_m)) * t_0);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision], -4e-202], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968 + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + N[(-2.0 * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < -4.0000000000000001e-202

   1. Initial program 99.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 72.2

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 72.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   if -4.0000000000000001e-202 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)))

   1. Initial program 59.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 95.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 95.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, \color{blue}{im}, -2 \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq -4 \cdot 10^{-202}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 90.1% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ t_1 := e^{-im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \cdot \left(t\_1 - e^{im\_m}\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\log t\_1 \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right) \cdot im\_m\right) \cdot im\_m, im\_m, -2 \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))) (t_1 (exp (- im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= (* t_0 (- t_1 (exp im_m))) (- INFINITY))
      (* (log t_1) re)
      (*
       (fma
        (*
         (*
          (fma
           (fma (* im_m im_m) -0.0003968253968253968 -0.016666666666666666)
           (* im_m im_m)
           -0.3333333333333333)
          im_m)
         im_m)
        im_m
        (* -2.0 im_m))
       t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double t_1 = exp(-im_m);
	double tmp;
	if ((t_0 * (t_1 - exp(im_m))) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = log(t_1) * re;
	} else {
		tmp = fma(((fma(fma((im_m * im_m), -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, (-2.0 * im_m)) * t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	t_1 = exp(Float64(-im_m))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 * Float64(t_1 - exp(im_m))) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(log(t_1) * re);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(fma(fma(Float64(im_m * im_m), -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, Float64(-2.0 * im_m)) * t_0);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(t$95$0 * N[(t$95$1 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[Log[t$95$1], $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968 + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + N[(-2.0 * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 4.2

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto -1 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 10.9%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{re} \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 72.4%

       \[\leadsto \log \left(e^{-im}\right) \cdot re \]

   if -inf.0 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)))

   1. Initial program 59.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 94.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, \color{blue}{im}, -2 \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\log \left(e^{-im}\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 86.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \cdot \left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right) \cdot im\_m\right) \cdot im\_m, im\_m, -2 \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= (* t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))) (- INFINITY))
      (*
       (*
        (fma
         (fma
          (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
          (* im_m im_m)
          -0.3333333333333333)
         (* im_m im_m)
         -2.0)
        im_m)
       (* 0.5 re))
      (*
       (fma
        (*
         (* (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333) im_m)
         im_m)
        im_m
        (* -2.0 im_m))
       t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if ((t_0 * (exp(-im_m) - exp(im_m))) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = fma(((fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, (-2.0 * im_m)) * t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 * Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, Float64(-2.0 * im_m)) * t_0);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(t$95$0 * N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + N[(-2.0 * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 90.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 64.0

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 64.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)))

   1. Initial program 59.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.2

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 91.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, \color{blue}{im}, -2 \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 86.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \cdot \left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= (* t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))) (- INFINITY))
      (*
       (*
        (fma
         (fma
          (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
          (* im_m im_m)
          -0.3333333333333333)
         (* im_m im_m)
         -2.0)
        im_m)
       (* 0.5 re))
      (*
       (*
        (fma
         (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
         (* im_m im_m)
         -2.0)
        im_m)
       t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if ((t_0 * (exp(-im_m) - exp(im_m))) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 * Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * t_0);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(t$95$0 * N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 90.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 64.0

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 64.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)))

   1. Initial program 59.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.2

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 99.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im\_m} - e^{im\_m} \leq -5 \cdot 10^{+41}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 - im\_m\right) - e^{im\_m}\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right) \cdot im\_m\right) \cdot im\_m, im\_m, -2 \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) -5e+41)
      (* (- (- 1.0 im_m) (exp im_m)) t_0)
      (*
       (fma
        (*
         (* (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333) im_m)
         im_m)
        im_m
        (* -2.0 im_m))
       t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if ((exp(-im_m) - exp(im_m)) <= -5e+41) {
		tmp = ((1.0 - im_m) - exp(im_m)) * t_0;
	} else {
		tmp = fma(((fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, (-2.0 * im_m)) * t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) <= -5e+41)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 - im_m) - exp(im_m)) * t_0);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, Float64(-2.0 * im_m)) * t_0);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -5e+41], N[(N[(N[(1.0 - im$95$m), $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + N[(-2.0 * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -5.00000000000000022e41

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -1 \cdot im\right)} - e^{im}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) - e^{im}\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(1 - im\right)} - e^{im}\right) \]

      3. lower--.f64 100.0

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(1 - im\right)} - e^{im}\right) \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(1 - im\right)} - e^{im}\right) \]

   if -5.00000000000000022e41 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 57.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.8

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 91.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, \color{blue}{im}, -2 \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -5 \cdot 10^{+41}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 - im\right) - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 59.6% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 0.022:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right) \cdot im\_m, im\_m \cdot im\_m, -2 \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) 0.022)
    (*
     (fma
      (*
       (fma
        (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       im_m)
      (* im_m im_m)
      (* -2.0 im_m))
     (*
      (fma
       (fma
        (fma -9.92063492063492e-5 (* re re) 0.004166666666666667)
        (* re re)
        -0.08333333333333333)
       (* re re)
       0.5)
      re))
    (*
     (*
      (fma
       (fma 0.004166666666666667 (* re re) -0.08333333333333333)
       (* re re)
       0.5)
      re)
     (*
      (fma
       (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= 0.022) {
		tmp = fma((fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m), (im_m * im_m), (-2.0 * im_m)) * (fma(fma(fma(-9.92063492063492e-5, (re * re), 0.004166666666666667), (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re);
	} else {
		tmp = (fma(fma(0.004166666666666667, (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= 0.022)
		tmp = Float64(fma(Float64(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m), Float64(im_m * im_m), Float64(-2.0 * im_m)) * Float64(fma(fma(fma(-9.92063492063492e-5, Float64(re * re), 0.004166666666666667), Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(0.004166666666666667, Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], 0.022], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + N[(-2.0 * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-9.92063492063492e-5 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.004166666666666667), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < 0.021999999999999999

   1. Initial program 72.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 94.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, \color{blue}{im}, -2 \cdot im\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Applied rewrites 94.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im, \color{blue}{im \cdot im}, -2 \cdot im\right) \]

   10. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       6. sub-neg N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       9. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       10. +-commutative N/A

           \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{240}}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       11. lower-fma.f64 N/A

           \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, {re}^{2}, \frac{1}{240}\right)}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       13. lower-*.f64 N/A

           \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       15. lower-*.f64 N/A

           \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       17. lower-*.f64 74.1

           \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

   12. Applied rewrites 74.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

   if 0.021999999999999999 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 53.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 86.8

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 86.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 27.4

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 27.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 0.022:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 59.6% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 0.022:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) 0.022)
    (*
     (*
      (fma
       (fma
        (fma -9.92063492063492e-5 (* re re) 0.004166666666666667)
        (* re re)
        -0.08333333333333333)
       (* re re)
       0.5)
      re)
     (*
      (fma
       (fma
        (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m))
    (*
     (*
      (fma
       (fma 0.004166666666666667 (* re re) -0.08333333333333333)
       (* re re)
       0.5)
      re)
     (*
      (fma
       (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= 0.022) {
		tmp = (fma(fma(fma(-9.92063492063492e-5, (re * re), 0.004166666666666667), (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	} else {
		tmp = (fma(fma(0.004166666666666667, (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= 0.022)
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(fma(-9.92063492063492e-5, Float64(re * re), 0.004166666666666667), Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(0.004166666666666667, Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], 0.022], N[(N[(N[(N[(N[(-9.92063492063492e-5 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.004166666666666667), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < 0.021999999999999999

   1. Initial program 72.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{240}}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, {re}^{2}, \frac{1}{240}\right)}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      17. lower-*.f64 74.1

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 74.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if 0.021999999999999999 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 53.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 86.8

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 86.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 27.4

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 27.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 59.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right) \cdot im\_m, im\_m \cdot im\_m, -2 \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) 5e-6)
    (*
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
     (fma
      (*
       (fma
        (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       im_m)
      (* im_m im_m)
      (* -2.0 im_m)))
    (*
     (*
      (fma
       (fma 0.004166666666666667 (* re re) -0.08333333333333333)
       (* re re)
       0.5)
      re)
     (*
      (fma
       (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= 5e-6) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * fma((fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m), (im_m * im_m), (-2.0 * im_m));
	} else {
		tmp = (fma(fma(0.004166666666666667, (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= 5e-6)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * fma(Float64(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m), Float64(im_m * im_m), Float64(-2.0 * im_m)));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(0.004166666666666667, Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], 5e-6], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + N[(-2.0 * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < 5.00000000000000041e-6

   1. Initial program 72.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 94.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, \color{blue}{im}, -2 \cdot im\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Applied rewrites 94.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im, \color{blue}{im \cdot im}, -2 \cdot im\right) \]

   10. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

       7. lower-*.f64 74.1

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

   12. Applied rewrites 74.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im, im \cdot im, -2 \cdot im\right) \]

   if 5.00000000000000041e-6 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 52.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 87.0

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 87.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 28.6

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 28.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 59.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) 5e-6)
    (*
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
     (*
      (fma
       (fma
        (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m))
    (*
     (*
      (fma
       (fma 0.004166666666666667 (* re re) -0.08333333333333333)
       (* re re)
       0.5)
      re)
     (*
      (fma
       (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= 5e-6) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	} else {
		tmp = (fma(fma(0.004166666666666667, (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= 5e-6)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(0.004166666666666667, Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], 5e-6], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < 5.00000000000000041e-6

   1. Initial program 72.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 74.1

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 74.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if 5.00000000000000041e-6 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 52.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 87.0

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 87.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 28.6

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 28.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 59.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) 5e-6)
    (*
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
     (*
      (fma
       (fma
        (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m))
    (*
     (* (fma -0.3333333333333333 (* im_m im_m) -2.0) im_m)
     (*
      (fma
       (fma 0.004166666666666667 (* re re) -0.08333333333333333)
       (* re re)
       0.5)
      re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= 5e-6) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	} else {
		tmp = (fma(-0.3333333333333333, (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma(fma(0.004166666666666667, (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= 5e-6)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(-0.3333333333333333, Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(fma(0.004166666666666667, Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], 5e-6], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < 5.00000000000000041e-6

   1. Initial program 72.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 74.1

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 74.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if 5.00000000000000041e-6 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 52.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 87.0

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 87.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{240}}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, {re}^{2}, \frac{1}{240}\right)}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      17. lower-*.f64 29.0

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 29.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 29.0%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 26.9%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 59.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right) \cdot im\_m\right) \cdot im\_m, im\_m, -2 \cdot im\_m\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.01)
    (*
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
     (*
      (fma
       (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m))
    (*
     (fma
      (*
       (*
        (fma
         (fma (* im_m im_m) -0.0003968253968253968 -0.016666666666666666)
         (* im_m im_m)
         -0.3333333333333333)
        im_m)
       im_m)
      im_m
      (* -2.0 im_m))
     (* 0.5 re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.01) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	} else {
		tmp = fma(((fma(fma((im_m * im_m), -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, (-2.0 * im_m)) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(fma(fma(Float64(im_m * im_m), -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, Float64(-2.0 * im_m)) * Float64(0.5 * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968 + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + N[(-2.0 * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.2

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 31.5

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 31.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if -0.0100000000000000002 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 73.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 92.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 92.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, \color{blue}{im}, -2 \cdot im\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, \frac{-1}{2520}, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 75.3

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \]

   10. Applied rewrites 75.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 59.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.01)
    (*
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
     (*
      (fma
       (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m))
    (*
     (*
      (fma
       (fma
        (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)
     (* 0.5 re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.01) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	} else {
		tmp = (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(0.5 * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.2

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 31.5

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 31.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if -0.0100000000000000002 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 73.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 92.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 75.2

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 75.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 59.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.01)
    (*
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
     (* (fma -0.3333333333333333 (* im_m im_m) -2.0) im_m))
    (*
     (*
      (fma
       (fma
        (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)
     (* 0.5 re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.01) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * (fma(-0.3333333333333333, (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	} else {
		tmp = (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(fma(-0.3333333333333333, Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(0.5 * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.2

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{240}}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, {re}^{2}, \frac{1}{240}\right)}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      17. lower-*.f64 31.3

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 31.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 29.9%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 30.1%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if -0.0100000000000000002 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 73.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 92.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 75.2

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 75.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 63.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 59.1% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.01)
    (*
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
     (* (fma -0.3333333333333333 (* im_m im_m) -2.0) im_m))
    (*
     (*
      (fma
       (fma
        (* -0.0003968253968253968 (* im_m im_m))
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)
     (* 0.5 re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.01) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * (fma(-0.3333333333333333, (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	} else {
		tmp = (fma(fma((-0.0003968253968253968 * (im_m * im_m)), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(fma(-0.3333333333333333, Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im_m * im_m)), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(0.5 * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.2

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{240}}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, {re}^{2}, \frac{1}{240}\right)}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      17. lower-*.f64 31.3

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 31.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 29.9%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 30.1%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if -0.0100000000000000002 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 73.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 92.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 75.2

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 75.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 75.2%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 63.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 93.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right) \cdot im\_m\right) \cdot im\_m, im\_m, -2 \cdot im\_m\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   (fma
    (*
     (*
      (fma
       (fma (* im_m im_m) -0.0003968253968253968 -0.016666666666666666)
       (* im_m im_m)
       -0.3333333333333333)
      im_m)
     im_m)
    im_m
    (* -2.0 im_m))
   (* 0.5 (sin re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (fma(((fma(fma((im_m * im_m), -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, (-2.0 * im_m)) * (0.5 * sin(re)));
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(fma(Float64(Float64(fma(fma(Float64(im_m * im_m), -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, Float64(-2.0 * im_m)) * Float64(0.5 * sin(re))))
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968 + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + N[(-2.0 * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.7%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

5. Applied rewrites 93.2%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 93.2%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, \color{blue}{im}, -2 \cdot im\right) \]

8. Final simplification 93.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0003968253968253968, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 19: 57.5% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right) \cdot im\_m\right) \cdot im\_m, im\_m, -2 \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.01)
    (*
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
     (* (fma -0.3333333333333333 (* im_m im_m) -2.0) im_m))
    (*
     (* 0.5 re)
     (fma
      (*
       (* (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333) im_m)
       im_m)
      im_m
      (* -2.0 im_m))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.01) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * (fma(-0.3333333333333333, (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	} else {
		tmp = (0.5 * re) * fma(((fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, (-2.0 * im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(fma(-0.3333333333333333, Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * fma(Float64(Float64(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333) * im_m) * im_m), im_m, Float64(-2.0 * im_m)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + N[(-2.0 * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.2

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{240}}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, {re}^{2}, \frac{1}{240}\right)}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      17. lower-*.f64 31.3

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 31.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 29.9%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 30.1%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if -0.0100000000000000002 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 73.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 88.4

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 88.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 88.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, \color{blue}{im}, -2 \cdot im\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 71.2

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \]

   10. Applied rewrites 71.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right) \cdot im\right) \cdot im, im, -2 \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 20: 93.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   (*
    (fma
     (fma
      (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
      (* im_m im_m)
      -0.3333333333333333)
     (* im_m im_m)
     -2.0)
    im_m)
   (* 0.5 (sin re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (0.5 * sin(re)));
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(0.5 * sin(re))))
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.7%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

5. Applied rewrites 93.2%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

6. Final simplification 93.2%

   \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 21: 57.5% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.01)
    (*
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
     (* (fma -0.3333333333333333 (* im_m im_m) -2.0) im_m))
    (*
     (*
      (fma
       (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)
     (* 0.5 re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.01) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * (fma(-0.3333333333333333, (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	} else {
		tmp = (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(fma(-0.3333333333333333, Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(0.5 * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.2

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{240}}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, {re}^{2}, \frac{1}{240}\right)}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      17. lower-*.f64 31.3

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 31.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 29.9%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 30.1%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if -0.0100000000000000002 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 73.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 88.4

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 88.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 71.2

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 71.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 56.8% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(re \cdot im\_m\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.01)
    (* (* (* (* re im_m) re) 0.16666666666666666) re)
    (*
     (*
      (fma
       (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)
     (* 0.5 re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.01) {
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re;
	} else {
		tmp = (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re);
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(0.5 * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(re * im$95$m), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 49.3

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 49.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 25.8%

      \[\leadsto \left(im \cdot \mathsf{fma}\left(re \cdot re, 0.16666666666666666, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot re \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 25.8%

       \[\leadsto \left(\left(\left(re \cdot im\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re \]

   if -0.0100000000000000002 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 73.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 88.4

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 88.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f64 71.2

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 71.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(re \cdot im\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 53.4% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(re \cdot im\_m\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.01)
    (* (* (* (* re im_m) re) 0.16666666666666666) re)
    (* (* 0.5 re) (* (fma -0.3333333333333333 (* im_m im_m) -2.0) im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.01) {
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re;
	} else {
		tmp = (0.5 * re) * (fma(-0.3333333333333333, (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(fma(-0.3333333333333333, Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(re * im$95$m), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 49.3

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 49.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 25.8%

      \[\leadsto \left(im \cdot \mathsf{fma}\left(re \cdot re, 0.16666666666666666, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot re \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 25.8%

       \[\leadsto \left(\left(\left(re \cdot im\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re \]

   if -0.0100000000000000002 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 73.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 88.4

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 88.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{240}}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, {re}^{2}, \frac{1}{240}\right)}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{240}\right), {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      17. lower-*.f64 72.5

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 72.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{10080}, re \cdot re, \frac{1}{240}\right), re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 67.3%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-9.92063492063492 \cdot 10^{-5}, re \cdot re, 0.004166666666666667\right), re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 65.6%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 24: 34.9% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 0.022:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, 0.16666666666666666, -1\right) \cdot im\_m\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) 0.022)
    (* (* (fma (* re re) 0.16666666666666666 -1.0) im_m) re)
    (* re (- im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= 0.022) {
		tmp = (fma((re * re), 0.16666666666666666, -1.0) * im_m) * re;
	} else {
		tmp = re * -im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= 0.022)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), 0.16666666666666666, -1.0) * im_m) * re);
	else
		tmp = Float64(re * Float64(-im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], 0.022], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + -1.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision], N[(re * (-im$95$m)), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < 0.021999999999999999

   1. Initial program 72.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 51.4

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 51.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 43.6%

      \[\leadsto \left(im \cdot \mathsf{fma}\left(re \cdot re, 0.16666666666666666, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   if 0.021999999999999999 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 53.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 51.3

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 51.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto -1 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 16.6%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{re} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 38.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 0.022:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, 0.16666666666666666, -1\right) \cdot im\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 25: 34.7% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(re \cdot im\_m\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.01)
    (* (* (* (* re im_m) re) 0.16666666666666666) re)
    (* re (- im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.01) {
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re;
	} else {
		tmp = re * -im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (sin(re) <= (-0.01d0)) then
        tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666d0) * re
    else
        tmp = re * -im_m
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (Math.sin(re) <= -0.01) {
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re;
	} else {
		tmp = re * -im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if math.sin(re) <= -0.01:
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re
	else:
		tmp = re * -im_m
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.01)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re);
	else
		tmp = Float64(re * Float64(-im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (sin(re) <= -0.01)
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re;
	else
		tmp = re * -im_m;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.01], N[(N[(N[(N[(re * im$95$m), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision], N[(re * (-im$95$m)), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 49.3

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 49.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 25.8%

      \[\leadsto \left(im \cdot \mathsf{fma}\left(re \cdot re, 0.16666666666666666, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot re \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 25.8%

       \[\leadsto \left(\left(\left(re \cdot im\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re \]

   if -0.0100000000000000002 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 73.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 52.1

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 52.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto -1 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 42.5%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{re} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 38.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(re \cdot im\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 26: 33.1% accurate, 39.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(re \cdot \left(-im\_m\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* re (- im_m))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (re * -im_m);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (re * -im_m)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (re * -im_m);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (re * -im_m)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(re * Float64(-im_m)))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (re * -im_m);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(re * (-im$95$m)), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.7%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

   4. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. lower-sin.f64 51.4

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

5. Applied rewrites 51.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto -1 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot re\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 34.2%

   \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{re} \]

9. Final simplification 34.2%

   \[\leadsto re \cdot \left(-im\right) \]
10. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024332 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))