bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 6.9% → 10.4%

Time: 6.8s

Alternatives: 12

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.4% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_2 := \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_3 := t\_1 - t\_0\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {t\_1}^{2}\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {t\_1}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_4, \left(\left({t\_0}^{4} - {t\_1}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_1, t\_3, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_1, t\_3, \left({\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}\right)}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot t\_4}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{t\_2}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{t\_2}\right)}^{3}, 2 \cdot t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (PI)))
        (t_1 (acos (- 1.0 x)))
        (t_2 (cbrt (PI)))
        (t_3 (- t_1 t_0))
        (t_4 (fma (* 0.25 (PI)) (PI) (pow t_1 2.0))))
   (/
    (/
     (fma
      (* (fma 0.125 (pow (PI) 3.0) (pow t_1 3.0)) (PI))
      t_4
      (*
       (* (- (pow t_0 4.0) (pow t_1 4.0)) -2.0)
       (fma t_1 t_3 (* (* (PI) (PI)) 0.25))))
     (* (fma t_1 t_3 (* (* (pow (cbrt (pow (PI) 1.5)) 2.0) (PI)) 0.25)) t_4))
    (fma (pow (cbrt (pow t_2 2.0)) 3.0) (pow (cbrt t_2) 3.0) (* 2.0 t_1)))))

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{1} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{1 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   7. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   8. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   9. pow3 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   10. add-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   11. cbrt-prod N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   12. cube-prod N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   13. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

   2. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

   3. cbrt-prod N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\right)}^{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

   5. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\right)}^{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

   6. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\right)}}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

   7. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}}\right)}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

   8. metadata-eval 9.6

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left({\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{1.5}}}\right)}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

10. Applied rewrites 9.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}\right)}^{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

11. Final simplification 9.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left({\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}\right)}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.4% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\\ t_1 := 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_2 := \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_3 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_4 := t\_3 - t\_1\\ t_5 := \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {t\_3}^{2}\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, t\_0, {t\_3}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_5, \left(\left({t\_1}^{4} - {t\_3}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_3, t\_4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_3, t\_4, \left(\sqrt[3]{t\_0} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot t\_5}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{t\_2}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{t\_2}\right)}^{3}, 2 \cdot t\_3\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (PI) 3.0))
        (t_1 (* 0.5 (PI)))
        (t_2 (cbrt (PI)))
        (t_3 (acos (- 1.0 x)))
        (t_4 (- t_3 t_1))
        (t_5 (fma (* 0.25 (PI)) (PI) (pow t_3 2.0))))
   (/
    (/
     (fma
      (* (fma 0.125 t_0 (pow t_3 3.0)) (PI))
      t_5
      (*
       (* (- (pow t_1 4.0) (pow t_3 4.0)) -2.0)
       (fma t_3 t_4 (* (* (PI) (PI)) 0.25))))
     (* (fma t_3 t_4 (* (* (cbrt t_0) (PI)) 0.25)) t_5))
    (fma (pow (cbrt (pow t_2 2.0)) 3.0) (pow (cbrt t_2) 3.0) (* 2.0 t_3)))))

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{1} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{1 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   7. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   8. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   9. pow3 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   10. add-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   11. cbrt-prod N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   12. cube-prod N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   13. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

   2. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

   3. lower-cbrt.f64 9.6

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

10. Applied rewrites 9.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)} \]

11. Final simplification 9.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.4% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_2 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(t\_2, t\_2 - t\_1, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {t\_2}^{2}\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {t\_2}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_4, \left(\left({t\_1}^{4} - {t\_2}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot t\_3\right)}{t\_3 \cdot t\_4}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{t\_0}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{t\_0}\right)}^{3}, 2 \cdot t\_2\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (PI)))
        (t_1 (* 0.5 (PI)))
        (t_2 (acos (- 1.0 x)))
        (t_3 (fma t_2 (- t_2 t_1) (* (* (PI) (PI)) 0.25)))
        (t_4 (fma (* 0.25 (PI)) (PI) (pow t_2 2.0))))
   (/
    (/
     (fma
      (* (fma 0.125 (pow (PI) 3.0) (pow t_2 3.0)) (PI))
      t_4
      (* (* (- (pow t_1 4.0) (pow t_2 4.0)) -2.0) t_3))
     (* t_3 t_4))
    (fma (pow (cbrt (pow t_0 2.0)) 3.0) (pow (cbrt t_0) 3.0) (* 2.0 t_2)))))

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{1} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{1 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   7. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   8. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   9. pow3 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   10. add-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   11. cbrt-prod N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   12. cube-prod N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   13. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)}} \]

9. Final simplification 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}\\ t_1 := 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_2 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(t\_2, t\_2 - t\_1, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {t\_2}^{2}\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {t\_2}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_4, \left(\left({t\_1}^{4} - {t\_2}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot t\_3\right)}{t\_3 \cdot t\_4}}{\mathsf{fma}\left(t\_0, t\_0, 2 \cdot t\_2\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (pow (PI) 1.5)))
        (t_1 (* 0.5 (PI)))
        (t_2 (acos (- 1.0 x)))
        (t_3 (fma t_2 (- t_2 t_1) (* (* (PI) (PI)) 0.25)))
        (t_4 (fma (* 0.25 (PI)) (PI) (pow t_2 2.0))))
   (/
    (/
     (fma
      (* (fma 0.125 (pow (PI) 3.0) (pow t_2 3.0)) (PI))
      t_4
      (* (* (- (pow t_1 4.0) (pow t_2 4.0)) -2.0) t_3))
     (* t_3 t_4))
    (fma t_0 t_0 (* 2.0 t_2)))))

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{1} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{1 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   7. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   8. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   9. pow3 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   10. add-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   11. cbrt-prod N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   12. cube-prod N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} + 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   13. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}, {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} + \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2}} \]

10. Applied rewrites 9.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}, \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 2\right)}} \]

11. Final simplification 9.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}, \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}, 2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\\ t_1 := 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_2 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_3 := t\_2 - t\_1\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {t\_2}^{2}\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, t\_0, {t\_2}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_4, \left(\left({t\_1}^{4} - {t\_2}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_2, t\_3, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_2, t\_3, \left(\sqrt[3]{t\_0} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot t\_4}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_2\right) \cdot 2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (PI) 3.0))
        (t_1 (* 0.5 (PI)))
        (t_2 (acos (- 1.0 x)))
        (t_3 (- t_2 t_1))
        (t_4 (fma (* 0.25 (PI)) (PI) (pow t_2 2.0))))
   (/
    (/
     (fma
      (* (fma 0.125 t_0 (pow t_2 3.0)) (PI))
      t_4
      (*
       (* (- (pow t_1 4.0) (pow t_2 4.0)) -2.0)
       (fma t_2 t_3 (* (* (PI) (PI)) 0.25))))
     (* (fma t_2 t_3 (* (* (cbrt t_0) (PI)) 0.25)) t_4))
    (* (fma 0.5 (PI) t_2) 2.0))))

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lower-cbrt.f64 9.6

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

9. Final simplification 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_2 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {t\_2}^{2}\right)\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(t\_2, t\_2 - t\_1, t\_0 \cdot 0.25\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, t\_0 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {t\_2}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_3, \left(\left({t\_1}^{4} - {t\_2}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot t\_4\right)}{t\_4 \cdot t\_3}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_2\right) \cdot 2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (PI) (PI)))
        (t_1 (* 0.5 (PI)))
        (t_2 (acos (- 1.0 x)))
        (t_3 (fma (* 0.25 (PI)) (PI) (pow t_2 2.0)))
        (t_4 (fma t_2 (- t_2 t_1) (* t_0 0.25))))
   (/
    (/
     (fma
      (* (fma 0.125 (* t_0 (PI)) (pow t_2 3.0)) (PI))
      t_3
      (* (* (- (pow t_1 4.0) (pow t_2 4.0)) -2.0) t_4))
     (* t_4 t_3))
    (* (fma 0.5 (PI) t_2) 2.0))))

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. unpow3 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lower-*.f64 9.6

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

9. Final simplification 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 10.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.5}{t\_0}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma (PI) 0.5 (acos (- 1.0 x)))))
   (fma (* t_0 (PI)) (/ 0.5 t_0) (- (asin (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   5. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   6. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   8. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   11. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   12. lower-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   13. difference-of-squares N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]

   14. acos-asin N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   15. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

4. Applied rewrites 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

6. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.5}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right)} \]

7. Final simplification 9.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.5}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 8: 10.3% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (/ 2.0 (PI)) (* (* (PI) (PI)) 0.25) (- (asin (- 1.0 x)))))

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 6.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   3. unpow1 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{1}} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{\left(-1 + 2\right)}} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   5. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{-1} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2}} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. inv-pow N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   9. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   10. clear-num N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   11. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot {\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}}^{2} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot {\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   14. unpow-prod-down N/A

       \[\leadsto \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left({\frac{1}{2}}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{4}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   16. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   17. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   18. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   19. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 9: 9.4% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.5e-17) (acos (- x)) (fma (PI) 0.5 (- (asin (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.50000000000000001e-17

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.4

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.50000000000000001e-17 < x

   1. Initial program 53.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      6. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      8. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      9. lower-asin.f64 54.0

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   4. Applied rewrites 54.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 9.4% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.5e-17) (acos (- x)) (acos (- 1.0 x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.5e-17) {
		tmp = acos(-x);
	} else {
		tmp = acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 5.5d-17) then
        tmp = acos(-x)
    else
        tmp = acos((1.0d0 - x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.5e-17) {
		tmp = Math.acos(-x);
	} else {
		tmp = Math.acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 5.5e-17:
		tmp = math.acos(-x)
	else:
		tmp = math.acos((1.0 - x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5.5e-17)
		tmp = acos(Float64(-x));
	else
		tmp = acos(Float64(1.0 - x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5.5e-17)
		tmp = acos(-x);
	else
		tmp = acos((1.0 - x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 5.5e-17], N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision], N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.50000000000000001e-17

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.4

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.50000000000000001e-17 < x

   1. Initial program 53.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 6.8

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 12: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024332 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))