2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 99.9%

Time: 5.7s

Alternatives: 4

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_1 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.4444444444444444 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), 0.1111111111111111 \cdot {t\_0}^{2}\right) \cdot \frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right)}\right)\\ \left({t\_1}^{-1} \cdot \left(t\_1 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot 2 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ (- g) h)))
        (t_1
         (cos
          (*
           (fma
            (* 0.4444444444444444 (PI))
            (PI)
            (* 0.1111111111111111 (pow t_0 2.0)))
           (/ -3.0 (fma -2.0 (PI) t_0))))))
   (*
    (*
     (pow t_1 -1.0)
     (* t_1 (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* (PI) 0.6666666666666666)))))
    2.0)))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. clear-num N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}}}\right)\right) \]

   12. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.4444444444444444 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right)\right)\right) \cdot {\cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.4444444444444444 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right)\right)}^{-1}\right)} \]

7. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.4444444444444444 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), 0.1111111111111111 \cdot {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)}^{-1} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.4444444444444444 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), 0.1111111111111111 \cdot {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot 2 \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_1 := -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \left(-2\right) \cdot \left(\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t\_0, t\_1\right)\right)}{\frac{-1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t\_0, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \cdot {\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, t\_1\right)\right)}^{-1}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ (- g) h))) (t_1 (* -0.6666666666666666 (PI))))
   (*
    (- 2.0)
    (*
     (/
      (cos (fma 0.3333333333333333 t_0 t_1))
      (/ -1.0 (cos (fma 0.3333333333333333 t_0 (* (PI) 0.6666666666666666)))))
     (pow (cos (fma t_0 0.3333333333333333 t_1)) -1.0)))))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}} \]

6. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1} \cdot {\left(\frac{\frac{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{1}\right)}^{-1}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\left(\frac{\frac{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{1}\right)}^{-1}}\right) \]

   2. unpow-1 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{1}}}\right) \]

   3. frac-2neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{1}\right)}}\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \frac{\color{blue}{-1}}{\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{1}\right)}\right) \]

   5. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{\frac{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{1}}\right)}\right) \]

   6. /-rgt-identity N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)}\right) \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\frac{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}}\right) \]

8. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{\frac{\frac{-1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}}}\right) \]

10. Applied rewrites 100.0%

    \[\leadsto 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{\frac{-\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}{\frac{-1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}}\right) \]

11. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \left(-2\right) \cdot \left(\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\frac{-1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \cdot {\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_1 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\\ \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{t\_1} \cdot \left(t\_1 \cdot 2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ (- g) h)))
        (t_1 (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* -0.6666666666666666 (PI))))))
   (*
    (/ (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* (PI) 0.6666666666666666))) t_1)
    (* t_1 2.0))))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. clear-num N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}}}\right)\right) \]

   12. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]

7. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  (cos (fma (PI) 0.6666666666666666 (* 0.3333333333333333 (acos (/ (- g) h)))))
  2.0))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. clear-num N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}}}\right)\right) \]

   12. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot 2 \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024332 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))