2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 99.9%

Time: 8.1s

Alternatives: 3

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\\ t_2 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_3 := {t\_2}^{2}\\ \left(\cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(t\_3, 0.1111111111111111, t\_0 \cdot 0.4444444444444444\right)}{\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, t\_2, t\_1\right)}\right) \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_2, 0.3333333333333333, t\_1\right)\right)}{\cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, t\_3, t\_0 \cdot -1.3333333333333333\right)}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), t\_2\right)}\right)}\right) \cdot 2 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (PI) (PI)))
        (t_1 (* (PI) 0.6666666666666666))
        (t_2 (acos (/ (- g) h)))
        (t_3 (pow t_2 2.0)))
   (*
    (*
     (cos
      (/
       (fma t_3 0.1111111111111111 (* t_0 0.4444444444444444))
       (fma -0.3333333333333333 t_2 t_1)))
     (/
      (cos (fma t_2 0.3333333333333333 t_1))
      (cos
       (/
        (fma -0.3333333333333333 t_3 (* t_0 -1.3333333333333333))
        (fma -2.0 (PI) t_2)))))
    2.0)))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. clear-num N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}}}\right)\right) \]

   12. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.4444444444444444 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.4444444444444444 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right)\right)}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\frac{\cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right)\right)}}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\frac{\cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right) \cdot \frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)}}} \]

   3. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\frac{\cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}}\right)}} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\frac{\cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{-1}{3}}}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)}} \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\frac{\cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}}\right)}} \]

   6. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\frac{\cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}}\right)}} \]

   7. un-div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\frac{\cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{4}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{9}\right)}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)}}} \]

   8. lower-/.f64 98.4

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\frac{\cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.4444444444444444 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.4444444444444444 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right)}{-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)}}} \]

8. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\frac{\cos \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.4444444444444444 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.4444444444444444\right)}{\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)}}} \]

9. Taylor expanded in g around 0

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right) + \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{\frac{1}{9} \cdot {\cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right)}^{2} + \frac{4}{9} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right) + \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\cos \left(-3 \cdot \frac{\frac{1}{9} \cdot {\cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right)}^{2} + \frac{4}{9} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right) + -2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}} \]

11. Applied rewrites 99.9%

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{\cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}, -1.3333333333333333 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left({\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}, 0.1111111111111111, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.4444444444444444\right)}{\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right)} \]

12. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \left(\cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left({\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}, 0.1111111111111111, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.4444444444444444\right)}{\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right) \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{\cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -1.3333333333333333\right)}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)}\right) \cdot 2 \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_1 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\\ \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 2}{t\_1} \cdot t\_1 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ (- g) h)))
        (t_1 (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* -0.6666666666666666 (PI))))))
   (*
    (/
     (* (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* (PI) 0.6666666666666666))) 2.0)
     t_1)
    t_1)))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 2}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  (cos (fma (PI) 0.6666666666666666 (* (acos (/ (- g) h)) 0.3333333333333333)))
  2.0))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. clear-num N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}}}\right)\right) \]

   12. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2 \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024331 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))