2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 100.0%

Time: 6.1s

Alternatives: 5

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_2 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_3 := -0.3333333333333333 \cdot t\_2\\ \mathsf{fma}\left(\left(\cos t\_3 \cdot \cos t\_0 - \sin t\_0 \cdot \sin t\_3\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t\_2, t\_0\right)\right), 0.5, \sin \left(t\_2 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(-\sin \left(\left(t\_1 \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot t\_1\right)\right)\right) \cdot 2 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (PI) 0.6666666666666666))
        (t_1 (sqrt (PI)))
        (t_2 (acos (/ (- g) h)))
        (t_3 (* -0.3333333333333333 t_2)))
   (*
    (fma
     (+
      (- (* (cos t_3) (cos t_0)) (* (sin t_0) (sin t_3)))
      (cos (fma 0.3333333333333333 t_2 t_0)))
     0.5
     (*
      (sin (* t_2 0.3333333333333333))
      (- (sin (* (* t_1 0.6666666666666666) t_1)))))
    2.0)))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   3. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   5. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   6. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   7. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   8. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   10. lower-sqrt.f64 100.0

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

6. Applied rewrites 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-cos.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   3. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   4. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{3} + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   5. cos-sum N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\cos \left(\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) - \sin \left(\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   6. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\cos \left(\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) - \sin \left(\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

8. Applied rewrites 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) - \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}, 0.5, \left(-\sin \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right), 0.5, \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(-\sin \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \cdot 2 \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\\ t_2 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_3 := -0.3333333333333333 \cdot t\_2\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\cos t\_1, \cos t\_3, \mathsf{fma}\left(-\sin t\_1, \sin t\_3, \cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_2, 0.3333333333333333, t\_1\right)\right)\right)\right), 0.5, \sin \left(t\_2 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(-\sin \left(\left(t\_0 \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot t\_0\right)\right)\right) \cdot 2 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI)))
        (t_1 (* (PI) 0.6666666666666666))
        (t_2 (acos (/ (- g) h)))
        (t_3 (* -0.3333333333333333 t_2)))
   (*
    (fma
     (fma
      (cos t_1)
      (cos t_3)
      (fma (- (sin t_1)) (sin t_3) (cos (fma t_2 0.3333333333333333 t_1))))
     0.5
     (*
      (sin (* t_2 0.3333333333333333))
      (- (sin (* (* t_0 0.6666666666666666) t_0)))))
    2.0)))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   3. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   5. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   6. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   7. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   8. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   10. lower-sqrt.f64 100.0

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

6. Applied rewrites 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-cos.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   3. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   4. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{3} + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   5. cos-sum N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\cos \left(\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) - \sin \left(\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   6. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\cos \left(\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) - \sin \left(\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

8. Applied rewrites 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) - \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}, 0.5, \left(-\sin \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(\cos \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) - \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\cos \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) - \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   3. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\cos \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) - \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} + \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\cos \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\cos \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

10. Applied rewrites 100.0%

    \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right), \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \mathsf{fma}\left(-\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right), \sin \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)}, 0.5, \left(-\sin \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

11. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right), \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \mathsf{fma}\left(-\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right), \sin \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right), 0.5, \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(-\sin \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \cdot 2 \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 100.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t\_0, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right), 0.5, \sin \left(t\_0 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(-\sin \left(\left(t\_1 \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot t\_1\right)\right)\right) \cdot 2 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ (- g) h))) (t_1 (sqrt (PI))))
   (*
    (fma
     (+
      (cos (* (fma -2.0 (PI) t_0) -0.3333333333333333))
      (cos (fma 0.3333333333333333 t_0 (* (PI) 0.6666666666666666))))
     0.5
     (*
      (sin (* t_0 0.3333333333333333))
      (- (sin (* (* t_1 0.6666666666666666) t_1)))))
    2.0)))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   3. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   5. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   6. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   7. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   8. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   10. lower-sqrt.f64 100.0

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

6. Applied rewrites 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

7. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right), 0.5, \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(-\sin \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \cdot 2 \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  (cos (fma (PI) 0.6666666666666666 (* (acos (/ (- g) h)) 0.3333333333333333)))
  2.0))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. clear-num N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}}}\right)\right) \]

   12. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2 \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* (cos (* (fma (PI) 2.0 (acos (/ (- g) h))) 0.3333333333333333)) 2.0))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3} + \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right) \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3} + \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

   7. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\color{blue}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2} + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   11. lower-fma.f64 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 2 \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024325 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))