Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.5% → 8.0%

Time: 41.5s

Alternatives: 4

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Initial Program: 6.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Alternative 1: 8.0% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\\ \frac{\mathsf{fma}\left({\left(t\_0 - \cos^{-1} t\_1\right)}^{2}, -4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} t\_1, 2, t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (PI) 0.5)) (t_1 (sqrt (fma -0.5 x 0.5))))
   (/
    (fma (pow (- t_0 (acos t_1)) 2.0) -4.0 (* (* (PI) (PI)) 0.25))
    (fma (asin t_1) 2.0 t_0))))

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 6.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, -4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   11. lift-fma.f64 8.5

       \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right)}}^{2}, -4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   14. lower-fma.f64 8.5

       \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right)\right)}^{2}, -4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 8.5%

   \[\leadsto \left(-\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}}^{2}, -4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{-\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-4 \cdot {\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}} \]

9. Applied rewrites 8.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{2}, -4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.0% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ \frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {t\_0}^{2} \cdot 4}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, -2 \cdot t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5)))))
   (/
    (- (* (* (PI) 0.25) (PI)) (* (pow t_0 2.0) 4.0))
    (fma (PI) -0.5 (* -2.0 t_0)))))

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 8.5

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 8.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   12. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

7. Applied rewrites 8.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

9. Applied rewrites 8.5%

   \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.0% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma -0.5 (PI) (* (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))) 2.0)))

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 8.5

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 8.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   12. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

7. Applied rewrites 8.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 4.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right), -2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fma (asin (sqrt 0.5)) -2.0 (* 0.5 (PI))))

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right), \mathsf{neg}\left(2\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

4. Applied rewrites 6.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), -2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 4.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{0.5}}\right), -2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024313 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))