bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 7.1% → 10.6%

Time: 9.2s

Alternatives: 14

Speedup: 0.9×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 7.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(t\_1, 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\\ t_3 := t\_2 \cdot t\_0\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_1\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_5 := \mathsf{fma}\left(t\_3, \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_2, t\_4\right), {t\_4}^{2}\right)\\ t_6 := \mathsf{fma}\left(t\_1, t\_1 - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {t\_1}^{3}\right), t\_5, \left(\left({t\_4}^{3} - {t\_3}^{3}\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot t\_6\right)}{t\_6 \cdot t\_5}}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_1\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 1.0 x)))
        (t_1 (asin (- 1.0 x)))
        (t_2 (fma t_1 2.0 (PI)))
        (t_3 (* t_2 t_0))
        (t_4 (* (fma (PI) 0.5 t_1) (PI)))
        (t_5 (fma t_3 (fma t_0 t_2 t_4) (pow t_4 2.0)))
        (t_6 (fma t_1 (- t_1 (* 0.5 (PI))) (* 0.25 (* (PI) (PI))))))
   (/
    (/
     (fma
      (* 2.0 (fma 0.125 (pow (PI) 3.0) (pow t_1 3.0)))
      t_5
      (* (* (- (pow t_4 3.0) (pow t_3 3.0)) (/ -2.0 (PI))) t_6))
     (* t_6 t_5))
    (* (* (fma 0.5 (PI) t_1) 2.0) (/ 2.0 (PI))))))

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   6. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   7. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   9. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 10.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 10.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \left(\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(t\_0, 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_0\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_3 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_4 := t\_1 \cdot t\_3\\ t_5 := \mathsf{fma}\left(t\_4, \mathsf{fma}\left(t\_3, t\_1, t\_2\right), {t\_2}^{2}\right)\\ t_6 := 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {t\_0}^{3}\right), t\_5, \left(\left({t\_2}^{3} - {t\_4}^{3}\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_0 - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_6\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_0, -t\_3, t\_6\right) \cdot t\_5}}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x)))
        (t_1 (fma t_0 2.0 (PI)))
        (t_2 (* (fma (PI) 0.5 t_0) (PI)))
        (t_3 (acos (- 1.0 x)))
        (t_4 (* t_1 t_3))
        (t_5 (fma t_4 (fma t_3 t_1 t_2) (pow t_2 2.0)))
        (t_6 (* 0.25 (* (PI) (PI)))))
   (/
    (/
     (fma
      (* 2.0 (fma 0.125 (pow (PI) 3.0) (pow t_0 3.0)))
      t_5
      (*
       (* (- (pow t_2 3.0) (pow t_4 3.0)) (/ -2.0 (PI)))
       (fma t_0 (- t_0 (* 0.5 (PI))) t_6)))
     (* (fma t_0 (- t_3) t_6) t_5))
    (* (* (fma 0.5 (PI) t_0) 2.0) (/ 2.0 (PI))))))

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   6. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   7. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   9. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 10.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{\left(0 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} + \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. associate--r- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{0 - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   10. lift-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   11. acos-asin N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   12. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   13. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   14. lift-neg.f64 10.6

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 10.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 10.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \left(\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), -\cos^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := -t\_0\\ t_2 := 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\\ t_3 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_3\right)\\ t_5 := t\_4 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_6 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_3\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_7 := \mathsf{fma}\left(2, t\_3, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot t\_0\\ t_8 := \mathsf{fma}\left(t\_3, 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t\_4, \mathsf{PI}\left(\right), t\_7\right), t\_7, {t\_5}^{2}\right), \mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {t\_3}^{3}\right) \cdot 2, \left({t\_5}^{3} - {t\_7}^{3}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(t\_1, t\_3, t\_2\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_3, t\_1, t\_2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_8 \cdot t\_0, \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_8, t\_6\right), {t\_6}^{2}\right)}}{\left(t\_4 \cdot 2\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 1.0 x)))
        (t_1 (- t_0))
        (t_2 (* 0.25 (* (PI) (PI))))
        (t_3 (asin (- 1.0 x)))
        (t_4 (fma 0.5 (PI) t_3))
        (t_5 (* t_4 (PI)))
        (t_6 (* (fma (PI) 0.5 t_3) (PI)))
        (t_7 (* (fma 2.0 t_3 (PI)) t_0))
        (t_8 (fma t_3 2.0 (PI))))
   (/
    (/
     (fma
      (fma (fma t_4 (PI) t_7) t_7 (pow t_5 2.0))
      (* (fma (pow (PI) 3.0) 0.125 (pow t_3 3.0)) 2.0)
      (* (- (pow t_5 3.0) (pow t_7 3.0)) (* (fma t_1 t_3 t_2) (/ -2.0 (PI)))))
     (* (fma t_3 t_1 t_2) (fma (* t_8 t_0) (fma t_0 t_8 t_6) (pow t_6 2.0))))
    (* (* t_4 2.0) (/ 2.0 (PI))))))

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   6. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   7. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   9. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 10.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{\left(0 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} + \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. associate--r- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{0 - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   10. lift-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   11. acos-asin N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   12. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 0 - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   13. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   14. lift-neg.f64 10.6

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 10.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(\frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), \color{blue}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 10.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right), \mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), 2 \cdot \mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right), \left(\mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left({\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), -\cos^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 10.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right), \mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right), {\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot 2, \left({\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), -\cos^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 10.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.25}, \sqrt{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}, \mathsf{fma}\left(t\_0, 2, \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_0\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{fma}\left(t\_0, 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))))
   (/
    (fma
     (pow (PI) 0.25)
     (sqrt (pow (PI) 1.5))
     (fma
      t_0
      2.0
      (*
       (- (* (fma (PI) 0.5 t_0) (PI)) (* (fma t_0 2.0 (PI)) (acos (- 1.0 x))))
       (/ -2.0 (PI)))))
    (* (* (fma 0.5 (PI) t_0) 2.0) (/ 2.0 (PI))))))

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   6. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   7. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   9. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 10.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.25}, \sqrt{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 10.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.25}, \sqrt{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}, \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 10.7% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_2 := {t\_0}^{2}\\ \frac{\mathsf{fma}\left(-{t\_0}^{3}, t\_1, t\_2\right)}{\left(0 \cdot t\_0 + t\_2\right) \cdot t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))) (t_1 (/ 2.0 (PI))) (t_2 (pow t_0 2.0)))
   (/ (fma (- (pow t_0 3.0)) t_1 t_2) (* (+ (* 0.0 t_0) t_2) t_1))))

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 7.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0 - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot 1\right)}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot 1}\right)}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \cdot 1\right)}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot 1\right)}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   4. *-rgt-identity 10.5

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   6. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + \color{blue}{0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   7. mul0-lft N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + \color{blue}{0}\right)}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{0 + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}\right)}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   9. +-lft-identity 10.5

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}\right)}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

8. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0 - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}\right)}{\left(0 + \left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} + 0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

9. Final simplification 10.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(-{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}, \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\left(0 \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 10.6% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {t\_0}^{3}\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(t\_0, t\_0 - -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 1.0 x))))
   (fma
    (fma -0.125 (pow (PI) 3.0) (pow t_0 3.0))
    (/ 1.0 (fma t_0 (- t_0 (* -0.5 (PI))) (* 0.25 (* (PI) (PI)))))
    (* 0.5 (PI)))))

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 7.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   3. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   4. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. pow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   15. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

   16. lower-neg.f64 10.5

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. rem-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{-2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   15. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{-2} + \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

8. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

10. Applied rewrites 10.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 10.6% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{t\_0 \cdot t\_0}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (fma
    (pow (cbrt (* t_0 t_0)) 2.0)
    (* (cbrt (PI)) 0.5)
    (- (asin (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   16. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   17. lower-asin.f64 5.3

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 5.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   2. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   3. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   4. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   5. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   7. lower-sqrt.f64 10.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

6. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 8: 10.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.5}{t\_0}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma (PI) 0.5 (acos (- 1.0 x)))))
   (fma (* t_0 (PI)) (/ 0.5 t_0) (- (asin (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.5}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right)} \]

7. Final simplification 10.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.5}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 9: 9.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999999999:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(-2, \frac{\mathsf{fma}\left(-2, \cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 2\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- 1.0 x) 0.9999999999999999)
   (* (* (fma -2.0 (/ (fma -2.0 (acos (- 1.0 x)) (PI)) (PI)) 2.0) 0.25) (PI))
   (acos (- x))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 #s(literal 1 binary64) x) < 0.999999999999999889

   1. Initial program 63.2%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

      4. asin-acos N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

      5. acos-asin N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

      6. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

      7. frac-sub N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

      8. frac-sub N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

      9. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   4. Applied rewrites 63.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 2 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 2 \cdot \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   7. Applied rewrites 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-2, \frac{\mathsf{fma}\left(-2, \cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 2\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   if 0.999999999999999889 < (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.6

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.6%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 10.6% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot -0.5, t\_0, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (fma (* t_0 -0.5) t_0 (+ (* 0.5 (PI)) (acos (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 7.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   3. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   4. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. pow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   15. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

   16. lower-neg.f64 10.5

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. rem-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{-2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   15. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{-2} + \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

8. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   3. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(1 - x\right) + \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}}\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(1 - x\right) + \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{-2}}\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(1 - x\right) + \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{-2} + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

   9. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{-2}\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{-2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} \]

   11. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{-2} + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

   12. div-inv N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{-2}} + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

10. Applied rewrites 10.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(1 - x\right) + 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

11. Final simplification 10.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 10.6% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot t\_0, -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (fma (PI) 0.5 (fma (* t_0 t_0) -0.5 (acos (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 7.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   3. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   4. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. pow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   15. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

   16. lower-neg.f64 10.5

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. rem-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{-2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   15. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{-2} + \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

8. Applied rewrites 7.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   2. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   3. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   4. lower-*.f64 10.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

10. Applied rewrites 10.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 9.7% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999999999:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- 1.0 x) 0.9999999999999999) (acos (- 1.0 x)) (acos (- x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999999999) {
		tmp = acos((1.0 - x));
	} else {
		tmp = acos(-x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((1.0d0 - x) <= 0.9999999999999999d0) then
        tmp = acos((1.0d0 - x))
    else
        tmp = acos(-x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999999999) {
		tmp = Math.acos((1.0 - x));
	} else {
		tmp = Math.acos(-x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (1.0 - x) <= 0.9999999999999999:
		tmp = math.acos((1.0 - x))
	else:
		tmp = math.acos(-x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(1.0 - x) <= 0.9999999999999999)
		tmp = acos(Float64(1.0 - x));
	else
		tmp = acos(Float64(-x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999999999)
		tmp = acos((1.0 - x));
	else
		tmp = acos(-x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(1.0 - x), $MachinePrecision], 0.9999999999999999], N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 #s(literal 1 binary64) x) < 0.999999999999999889

   1. Initial program 63.2%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if 0.999999999999999889 < (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.6

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.6%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 7.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 6.9

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 6.9%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 14: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.1%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024308 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))