Ian Simplification

Percentage Accurate: 7.0% → 8.4%

Time: 42.3s

Alternatives: 3

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Initial Program: 7.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Alternative 1: 8.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(t\_0, -2, -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{t\_1}, \frac{-4 \cdot {t\_0}^{2}}{t\_1}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5))))
        (t_1 (fma t_0 -2.0 (* -0.5 (PI)))))
   (fma (* (PI) 0.25) (/ (PI) t_1) (/ (* -4.0 (pow t_0 2.0)) t_1))))

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 8.3

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 8.3%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

7. Applied rewrites 8.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

9. Applied rewrites 8.3%

   \[\leadsto \frac{0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)} - \color{blue}{\frac{{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 8.3%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), -2, -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}, \frac{-4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), -2, -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma -0.5 (PI) (* (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))) 2.0)))

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 8.3

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 8.3%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

7. Applied rewrites 8.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 4.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fma (asin (sqrt 0.5)) 2.0 (* (PI) -0.5)))

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}} \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}} \]

   4. difference-of-squares N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   5. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)} \]

   7. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)} \]

4. Applied rewrites 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)}, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   11. lift-fma.f64 8.3

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)}, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right), \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right), \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

   14. lower-fma.f64 8.3

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right), 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

6. Applied rewrites 8.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-2, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{-1}\right) \]

8. Applied rewrites 3.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 4.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{0.5}}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right) \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024308 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))