bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 6.9% → 10.4%

Time: 6.8s

Alternatives: 9

Speedup: 0.9×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_2 := \sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\\ \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_1\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\left({t\_0}^{2} \cdot t\_0\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {t\_1}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_1\right)}{t\_0}}{{\left(t\_2 \cdot t\_2\right)}^{2}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (PI))) (t_1 (acos (- 1.0 x))) (t_2 (cbrt (- (sqrt (PI))))))
   (/
    (-
     (fma 0.5 (PI) t_1)
     (*
      (/ 2.0 (PI))
      (- (* 0.25 (* (* (pow t_0 2.0) t_0) (PI))) (pow t_1 2.0))))
    (/ (/ (* 2.0 (fma (PI) 0.5 t_1)) t_0) (pow (* t_2 t_2) 2.0)))))

Derivation

1. Initial program 5.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   6. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   7. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   8. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 5.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lower-cbrt.f64 9.7

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.7%

   \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   6. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}}} \]

   7. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3}}} \]

   8. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}} \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}}} \]

   10. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}}} \]

   11. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}}} \]

   12. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}}} \]

8. Applied rewrites 9.7%

   \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}}} \]

   2. unpow1 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1}}}\right)}^{2}}} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right)}}}\right)}^{2}}} \]

   4. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{2}}}\right)}^{2}}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}\right)}}\right)}^{2}}\right)}^{2}}} \]

   6. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left({\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{2}}\right)}^{2}}} \]

   7. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{{\left({\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}\right)}}^{\frac{1}{3}}\right)}^{2}}\right)}^{2}}} \]

   8. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)}}^{2}}\right)}^{2}}} \]

   9. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)}}^{2}}\right)}^{2}}} \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}}}\right)}^{2}}} \]

   11. sqr-neg-rev N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)\right)}}\right)}^{2}}} \]

   12. cbrt-prod N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)}\right)}}^{2}}} \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{neg}\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)}\right)}}^{2}}} \]

10. Applied rewrites 9.7%

    \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{2}}} \]

11. Final simplification 9.7%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{{\left(\sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{-\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right)\\ t_2 := \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\\ \frac{t\_1 - \frac{2}{\left(t\_2 \cdot t\_2\right) \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {t\_0}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 1.0 x)))
        (t_1 (fma 0.5 (PI) t_0))
        (t_2 (sqrt (sqrt (PI)))))
   (/
    (-
     t_1
     (*
      (/ 2.0 (* (* t_2 t_2) (cbrt (pow (PI) 1.5))))
      (- (* 0.25 (* (PI) (PI))) (pow t_0 2.0))))
    (* (/ 2.0 (PI)) t_1))))

Derivation

1. Initial program 5.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   6. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   7. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   8. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 5.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. cbrt-prod N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   12. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   13. pow-plus N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{1}{2} + 1\right)}}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{3}{2}}}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{3}{2}\right)}}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   16. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{3}{2}}}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   18. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   19. cube-unmult N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   20. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   21. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   22. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.7%

   \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}}} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}\right)}}^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. unpow1 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1}}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right)}}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt{\color{blue}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{2}}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}\right)}}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. pow-pow N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt{{\color{blue}{\left({\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   12. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt{{\left({\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}\right)}}^{\frac{1}{3}}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   13. pow1/3 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   14. lift-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   15. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   16. sqrt-prod N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}}\right)} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   17. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}}\right)} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.7%

   \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

9. Final simplification 9.7%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \frac{\frac{2}{t\_1 \cdot t\_1} \cdot t\_2 - t\_0 \cdot \left(t\_2 - t\_0 \cdot \left(t\_2 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_2\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 2.0 (PI)))
        (t_1 (sqrt (PI)))
        (t_2 (fma 0.5 (PI) (asin (- 1.0 x)))))
   (/
    (-
     (* (/ 2.0 (* t_1 t_1)) t_2)
     (* t_0 (- t_2 (* t_0 (* t_2 (acos (- 1.0 x)))))))
    (* t_0 (* t_0 t_2)))))

Derivation

1. Initial program 5.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   7. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   9. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   10. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 5.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. lower-sqrt.f64 9.7

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.7%

   \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 9.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{2}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 10.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_1\right)\\ t_3 := \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \frac{t\_2 - t\_3 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {t\_1}^{2}\right)}{t\_3 \cdot t\_2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI)))
        (t_1 (acos (- 1.0 x)))
        (t_2 (fma 0.5 (PI) t_1))
        (t_3 (/ 2.0 (PI))))
   (/
    (- t_2 (* t_3 (- (* 0.25 (* (* t_0 t_0) (PI))) (pow t_1 2.0))))
    (* t_3 t_2))))

Derivation

1. Initial program 5.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   6. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   7. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   8. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 5.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lower-sqrt.f64 9.6

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

7. Final simplification 9.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 10.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25, \sin^{-1} \left(-1 + x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (/ 2.0 (PI)) (* (* (PI) (PI)) 0.25) (asin (+ -1.0 x))))

Derivation

1. Initial program 5.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   5. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. difference-of-squares N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   7. acos-asin N/A

      \[\leadsto \left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   8. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   9. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   10. clear-num N/A

       \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   11. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   12. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   14. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   15. lower-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   16. inv-pow N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}^{-1}} \]

4. Applied rewrites 5.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1}} \]

6. Applied rewrites 5.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   8. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   9. inv-pow N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{-1}}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   10. pow-flip N/A

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{1}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{\left(-1 + 2\right)}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   13. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{-1} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2}} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   14. inv-pow N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   15. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   17. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   18. clear-num N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   19. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   20. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)} + \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right) \]

   21. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25, \sin^{-1} \left(-1 + x\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 9.5% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(-1 + x\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.5e-17) (acos (- x)) (fma (PI) 0.5 (asin (+ -1.0 x)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.50000000000000001e-17

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.7

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.7%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.50000000000000001e-17 < x

   1. Initial program 54.5%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. flip-- N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      5. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

      6. difference-of-squares N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      7. acos-asin N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      8. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      9. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      11. associate-/r/ N/A

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      14. lower-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      15. lower-asin.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      16. inv-pow N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}^{-1}} \]

   4. Applied rewrites 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1}} \]

   6. Applied rewrites 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(-\left(1 - x\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lift-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \color{blue}{\left(0 - \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

      3. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(0 - \color{blue}{\left(1 - x\right)}\right)\right) \]

      4. associate--r- N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \color{blue}{\left(\left(0 - 1\right) + x\right)}\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\color{blue}{-1} + x\right)\right) \]

      6. lower-+.f64 54.6

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \color{blue}{\left(-1 + x\right)}\right) \]

   8. Applied rewrites 54.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \color{blue}{\left(-1 + x\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 9.5% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.5e-17) (acos (- x)) (acos (- 1.0 x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.5e-17) {
		tmp = acos(-x);
	} else {
		tmp = acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 5.5d-17) then
        tmp = acos(-x)
    else
        tmp = acos((1.0d0 - x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.5e-17) {
		tmp = Math.acos(-x);
	} else {
		tmp = Math.acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 5.5e-17:
		tmp = math.acos(-x)
	else:
		tmp = math.acos((1.0 - x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5.5e-17)
		tmp = acos(Float64(-x));
	else
		tmp = acos(Float64(1.0 - x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5.5e-17)
		tmp = acos(-x);
	else
		tmp = acos((1.0 - x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 5.5e-17], N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision], N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.50000000000000001e-17

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.7

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.7%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.50000000000000001e-17 < x

   1. Initial program 54.5%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 5.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 6.9

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 6.9%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 9: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 5.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024305 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))