Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3

Percentage Accurate: 99.9% → 99.9%

Time: 8.9s

Alternatives: 21

Speedup: 1.0×

• 50.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (/ (sinh y) y) (sin x)))

C

double code(double x, double y) {
	return (sinh(y) / y) * sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = (sinh(y) / y) * sin(x)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return (Math.sinh(y) / y) * Math.sin(x);
}

Python

def code(x, y):
	return (math.sinh(y) / y) * math.sin(x)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = (sinh(y) / y) * sin(x);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \]
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 74.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (/ (sinh y) y) (sin x)))
        (t_1 (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0)))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (*
      t_1
      (fma
       (*
        (fma
         (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
         (* x x)
         -0.16666666666666666)
        x)
       (* x x)
       x))
     (if (<= t_0 1.0)
       (* (fma (* 0.16666666666666666 y) y 1.0) (sin x))
       (*
        (fma
         (* (* (- x) x) x)
         (fma (* (* x x) -0.0001984126984126984) (* x x) -0.16666666666666666)
         x)
        t_1)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = (sinh(y) / y) * sin(x);
	double t_1 = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = t_1 * fma((fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * x), (x * x), x);
	} else if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = fma((0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x);
	} else {
		tmp = fma(((-x * x) * x), fma(((x * x) * -0.0001984126984126984), (x * x), -0.16666666666666666), x) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x))
	t_1 = fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(t_1 * fma(Float64(fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * x), Float64(x * x), x));
	elseif (t_0 <= 1.0)
		tmp = Float64(fma(Float64(0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(Float64(-x) * x) * x), fma(Float64(Float64(x * x) * -0.0001984126984126984), Float64(x * x), -0.16666666666666666), x) * t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(t$95$1 * N[(N[(N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1.0], N[(N[(N[(0.16666666666666666 * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[((-x) * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 51.4

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 51.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 42.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 42.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 42.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, \color{blue}{x \cdot x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 99.1

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 99.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 99.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 58.8

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 58.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 56.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 54.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right)}, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, \color{blue}{x} \cdot x, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 54.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984 \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x} \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 73.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 74.1% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 1:\\ \;\;\;\;1 \cdot \sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (/ (sinh y) y) (sin x)))
        (t_1 (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0)))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (*
      t_1
      (fma
       (*
        (fma
         (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
         (* x x)
         -0.16666666666666666)
        x)
       (* x x)
       x))
     (if (<= t_0 1.0)
       (* 1.0 (sin x))
       (*
        (fma
         (* (* (- x) x) x)
         (fma (* (* x x) -0.0001984126984126984) (* x x) -0.16666666666666666)
         x)
        t_1)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = (sinh(y) / y) * sin(x);
	double t_1 = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = t_1 * fma((fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * x), (x * x), x);
	} else if (t_0 <= 1.0) {
		tmp = 1.0 * sin(x);
	} else {
		tmp = fma(((-x * x) * x), fma(((x * x) * -0.0001984126984126984), (x * x), -0.16666666666666666), x) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x))
	t_1 = fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(t_1 * fma(Float64(fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * x), Float64(x * x), x));
	elseif (t_0 <= 1.0)
		tmp = Float64(1.0 * sin(x));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(Float64(-x) * x) * x), fma(Float64(Float64(x * x) * -0.0001984126984126984), Float64(x * x), -0.16666666666666666), x) * t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(t$95$1 * N[(N[(N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1.0], N[(1.0 * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[((-x) * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 51.4

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 51.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 42.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 42.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 42.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, \color{blue}{x \cdot x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 98.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 58.8

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 58.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 56.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 54.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right)}, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, \color{blue}{x} \cdot x, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 54.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984 \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x} \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 1:\\ \;\;\;\;1 \cdot \sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 87.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, y, y\right)}{y} \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) (- INFINITY))
   (*
    (fma
     (fma
      (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
      (* y y)
      0.16666666666666666)
     (* y y)
     1.0)
    (fma
     (pow x 3.0)
     (fma
      (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
      (* x x)
      -0.16666666666666666)
     x))
   (*
    (/
     (fma
      (*
       (*
        (fma
         (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
         (* y y)
         0.16666666666666666)
        y)
       y)
      y
      y)
     y)
    (sin x))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * fma(pow(x, 3.0), fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666), x);
	} else {
		tmp = (fma(((fma(fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666) * y) * y), y, y) / y) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * fma((x ^ 3.0), fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666), x));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(fma(fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666) * y) * y), y, y) / y) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + y), $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 80.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 80.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 60.6

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 60.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{y \cdot \left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)}}{y} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)}}{y} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{y \cdot \left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right) + y \cdot 1}}{y} \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\left(y \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + y \cdot 1}{y} \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\left(y \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + \color{blue}{y}}{y} \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}}{y} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot y}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, y\right)}{y} \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, y\right)}{y} \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, y\right)}{y} \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      18. lower-*.f64 96.6

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666\right), y\right)}{y} \]

   5. Applied rewrites 96.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y\right)}}{y} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 96.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, \color{blue}{y}, y\right)}{y} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, y, y\right)}{y} \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 86.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, y, y\right)}{y} \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) (- INFINITY))
   (*
    (fma (fma (* y y) 0.008333333333333333 0.16666666666666666) (* y y) 1.0)
    (fma
     (pow x 3.0)
     (fma
      (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
      (* x x)
      -0.16666666666666666)
     x))
   (*
    (/
     (fma
      (*
       (*
        (fma
         (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
         (* y y)
         0.16666666666666666)
        y)
       y)
      y
      y)
     y)
    (sin x))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma(fma((y * y), 0.008333333333333333, 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * fma(pow(x, 3.0), fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666), x);
	} else {
		tmp = (fma(((fma(fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666) * y) * y), y, y) / y) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(fma(Float64(y * y), 0.008333333333333333, 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * fma((x ^ 3.0), fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666), x));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(fma(fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666) * y) * y), y, y) / y) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + y), $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 76.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 76.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 57.9

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 57.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{y \cdot \left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)}}{y} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)}}{y} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{y \cdot \left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right) + y \cdot 1}}{y} \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\left(y \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + y \cdot 1}{y} \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\left(y \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + \color{blue}{y}}{y} \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}}{y} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot y}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, y\right)}{y} \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, y\right)}{y} \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, y\right)}{y} \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      18. lower-*.f64 96.6

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666\right), y\right)}{y} \]

   5. Applied rewrites 96.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y\right)}}{y} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 96.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, \color{blue}{y}, y\right)}{y} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, y, y\right)}{y} \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 83.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, y, y\right)}{y} \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) (- INFINITY))
   (*
    (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0)
    (fma
     (*
      (fma
       (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
       (* x x)
       -0.16666666666666666)
      x)
     (* x x)
     x))
   (*
    (/
     (fma
      (*
       (*
        (fma
         (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
         (* y y)
         0.16666666666666666)
        y)
       y)
      y
      y)
     y)
    (sin x))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma((fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * x), (x * x), x);
	} else {
		tmp = (fma(((fma(fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666) * y) * y), y, y) / y) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(Float64(fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * x), Float64(x * x), x));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(fma(fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666) * y) * y), y, y) / y) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + y), $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 51.4

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 51.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 42.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 42.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 42.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, \color{blue}{x \cdot x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{y \cdot \left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)}}{y} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)}}{y} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{y \cdot \left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right) + y \cdot 1}}{y} \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\left(y \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + y \cdot 1}{y} \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\left(y \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + \color{blue}{y}}{y} \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}}{y} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot y}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, y\right)}{y} \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, y\right)}{y} \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, y\right)}{y} \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      18. lower-*.f64 96.6

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666\right), y\right)}{y} \]

   5. Applied rewrites 96.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y\right)}}{y} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 96.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, \color{blue}{y}, y\right)}{y} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, y, y\right)}{y} \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 83.4% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, y, y\right)}{y} \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) (- INFINITY))
   (*
    (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0)
    (fma
     (*
      (fma
       (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
       (* x x)
       -0.16666666666666666)
      x)
     (* x x)
     x))
   (*
    (/
     (fma
      (*
       (*
        (fma (* (* y y) 0.0001984126984126984) (* y y) 0.16666666666666666)
        y)
       y)
      y
      y)
     y)
    (sin x))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma((fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * x), (x * x), x);
	} else {
		tmp = (fma(((fma(((y * y) * 0.0001984126984126984), (y * y), 0.16666666666666666) * y) * y), y, y) / y) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(Float64(fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * x), Float64(x * x), x));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(Float64(fma(Float64(Float64(y * y) * 0.0001984126984126984), Float64(y * y), 0.16666666666666666) * y) * y), y, y) / y) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + y), $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 51.4

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 51.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 42.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 42.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 42.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, \color{blue}{x \cdot x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{y \cdot \left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)}}{y} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)}}{y} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{y \cdot \left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right) + y \cdot 1}}{y} \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\left(y \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + y \cdot 1}{y} \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\left(y \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + \color{blue}{y}}{y} \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}}{y} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot y}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), y\right)}{y} \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, y\right)}{y} \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, y\right)}{y} \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, y\right)}{y} \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), y\right)}{y} \]

      18. lower-*.f64 96.6

          \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666\right), y\right)}{y} \]

   5. Applied rewrites 96.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y\right)}}{y} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 96.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, \color{blue}{y}, y\right)}{y} \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y\right) \cdot y, y, y\right)}{y} \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 96.3%

       \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, y, y\right)}{y} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 80.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y\right) \cdot y, y, y\right)}{y} \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 83.2% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) (- INFINITY))
   (*
    (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0)
    (fma
     (*
      (fma
       (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
       (* x x)
       -0.16666666666666666)
      x)
     (* x x)
     x))
   (*
    (fma
     (fma
      (* (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333) y)
      y
      0.16666666666666666)
     (* y y)
     1.0)
    (sin x))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma((fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * x), (x * x), x);
	} else {
		tmp = fma(fma((fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(Float64(fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * x), Float64(x * x), x));
	else
		tmp = Float64(fma(fma(Float64(fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 51.4

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 51.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 42.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 42.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 42.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, \color{blue}{x \cdot x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 96.1

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 96.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 96.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 80.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 83.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) (- INFINITY))
   (*
    (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0)
    (fma
     (*
      (fma
       (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
       (* x x)
       -0.16666666666666666)
      x)
     (* x x)
     x))
   (*
    (fma
     (fma (* (* y y) 0.0001984126984126984) (* y y) 0.16666666666666666)
     (* y y)
     1.0)
    (sin x))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma((fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * x), (x * x), x);
	} else {
		tmp = fma(fma(((y * y) * 0.0001984126984126984), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(Float64(fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * x), Float64(x * x), x));
	else
		tmp = Float64(fma(fma(Float64(Float64(y * y) * 0.0001984126984126984), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 51.4

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 51.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 42.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 42.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 42.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, \color{blue}{x \cdot x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 96.1

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 96.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 95.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 80.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 80.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) (- INFINITY))
   (*
    (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0)
    (fma
     (*
      (fma
       (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
       (* x x)
       -0.16666666666666666)
      x)
     (* x x)
     x))
   (*
    (fma (* (fma 0.008333333333333333 (* y y) 0.16666666666666666) y) y 1.0)
    (sin x))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma((fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * x), (x * x), x);
	} else {
		tmp = fma((fma(0.008333333333333333, (y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(Float64(fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * x), Float64(x * x), x));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(fma(0.008333333333333333, Float64(y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 51.4

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 51.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 42.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 42.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 42.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, \color{blue}{x \cdot x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 93.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 93.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 93.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 49.7% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 0.02:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0)))
   (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) 0.02)
     (*
      t_0
      (fma
       (*
        (fma
         (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
         (* x x)
         -0.16666666666666666)
        x)
       (* x x)
       x))
     (*
      (fma
       (* (* (- x) x) x)
       (fma (* (* x x) -0.0001984126984126984) (* x x) -0.16666666666666666)
       x)
      t_0))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0);
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= 0.02) {
		tmp = t_0 * fma((fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * x), (x * x), x);
	} else {
		tmp = fma(((-x * x) * x), fma(((x * x) * -0.0001984126984126984), (x * x), -0.16666666666666666), x) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= 0.02)
		tmp = Float64(t_0 * fma(Float64(fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * x), Float64(x * x), x));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(Float64(-x) * x) * x), fma(Float64(Float64(x * x) * -0.0001984126984126984), Float64(x * x), -0.16666666666666666), x) * t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.02], N[(t$95$0 * N[(N[(N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[((-x) * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 0.0200000000000000004

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 78.1

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 78.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 54.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 54.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, \color{blue}{x \cdot x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if 0.0200000000000000004 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 74.1

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 74.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 36.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 36.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 35.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right)}, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, \color{blue}{x} \cdot x, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 35.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984 \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x} \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 47.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 0.02:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 34.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 0.02:\\ \;\;\;\;1 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) 0.02)
   (*
    1.0
    (fma
     (*
      (fma
       (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
       (* x x)
       -0.16666666666666666)
      x)
     (* x x)
     x))
   (* (fma (* (* 0.008333333333333333 (* x x)) (* x x)) x x) 1.0)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= 0.02) {
		tmp = 1.0 * fma((fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * x), (x * x), x);
	} else {
		tmp = fma(((0.008333333333333333 * (x * x)) * (x * x)), x, x) * 1.0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= 0.02)
		tmp = Float64(1.0 * fma(Float64(fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * x), Float64(x * x), x));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * x)) * Float64(x * x)), x, x) * 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.02], N[(1.0 * N[(N[(N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 0.0200000000000000004

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 56.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot 1 \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot 1 \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      19. lower-*.f64 41.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 41.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 41.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, \color{blue}{x \cdot x}, x\right) \cdot 1 \]

   if 0.0200000000000000004 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 38.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot 1 \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      14. lower-*.f64 9.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 9.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 9.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1 \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 9.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 30.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 0.02:\\ \;\;\;\;1 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 34.6% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 2 \cdot 10^{-146}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot x, x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) 2e-146)
   (*
    (fma
     (* (* (- x) x) x)
     (fma 0.008333333333333333 (* x x) -0.16666666666666666)
     x)
    1.0)
   (*
    (fma
     (* (fma (* 0.008333333333333333 x) x -0.16666666666666666) (* x x))
     x
     x)
    1.0)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= 2e-146) {
		tmp = fma(((-x * x) * x), fma(0.008333333333333333, (x * x), -0.16666666666666666), x) * 1.0;
	} else {
		tmp = fma((fma((0.008333333333333333 * x), x, -0.16666666666666666) * (x * x)), x, x) * 1.0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= 2e-146)
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(Float64(-x) * x) * x), fma(0.008333333333333333, Float64(x * x), -0.16666666666666666), x) * 1.0);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(fma(Float64(0.008333333333333333 * x), x, -0.16666666666666666) * Float64(x * x)), x, x) * 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2e-146], N[(N[(N[(N[((-x) * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * x), $MachinePrecision] * x + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 2.00000000000000005e-146

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 51.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot 1 \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      14. lower-*.f64 41.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 41.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 34.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.008333333333333333}, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]

   if 2.00000000000000005e-146 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 47.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot 1 \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      14. lower-*.f64 23.3

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 23.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 23.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 23.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.008333333333333333, x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 29.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 2 \cdot 10^{-146}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot x, x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 34.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -0.1:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot x\right) \cdot 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot x, x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) -0.1)
   (* (* (fma (* x x) -0.16666666666666666 1.0) x) 1.0)
   (*
    (fma
     (* (fma (* 0.008333333333333333 x) x -0.16666666666666666) (* x x))
     x
     x)
    1.0)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= -0.1) {
		tmp = (fma((x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0;
	} else {
		tmp = fma((fma((0.008333333333333333 * x), x, -0.16666666666666666) * (x * x)), x, x) * 1.0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= -0.1)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(fma(Float64(0.008333333333333333 * x), x, -0.16666666666666666) * Float64(x * x)), x, x) * 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.1], N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * x), $MachinePrecision] * x + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -0.10000000000000001

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 33.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. metadata-eval 8.4

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 8.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 8.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 8.4%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

   if -0.10000000000000001 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 62.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot 1 \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      14. lower-*.f64 44.4

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 44.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 44.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 44.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.008333333333333333, x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 29.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -0.1:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot x\right) \cdot 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot x, x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 33.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 0.02:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot x\right) \cdot 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) 0.02)
   (* (* (fma (* x x) -0.16666666666666666 1.0) x) 1.0)
   (* (fma (* (* 0.008333333333333333 (* x x)) (* x x)) x x) 1.0)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= 0.02) {
		tmp = (fma((x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0;
	} else {
		tmp = fma(((0.008333333333333333 * (x * x)) * (x * x)), x, x) * 1.0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= 0.02)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * x)) * Float64(x * x)), x, x) * 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.02], N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 0.0200000000000000004

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 56.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. metadata-eval 39.9

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 39.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 39.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 39.9%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

   if 0.0200000000000000004 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 38.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot 1 \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      14. lower-*.f64 9.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 9.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 9.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1 \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 9.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 29.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 0.02:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot x\right) \cdot 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 49.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.02:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, t\_0, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
          (* x x)
          -0.16666666666666666)))
   (if (<= (sin x) 0.02)
     (* (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0) (fma (* t_0 x) (* x x) x))
     (* 1.0 (fma (* (* (- x) x) x) t_0 x)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.02) {
		tmp = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma((t_0 * x), (x * x), x);
	} else {
		tmp = 1.0 * fma(((-x * x) * x), t_0, x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.02)
		tmp = Float64(fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(Float64(t_0 * x), Float64(x * x), x));
	else
		tmp = Float64(1.0 * fma(Float64(Float64(Float64(-x) * x) * x), t_0, x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.02], N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$0 * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 * N[(N[(N[((-x) * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * t$95$0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.0200000000000000004

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 75.2

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 75.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 54.9

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 54.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 54.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, \color{blue}{x \cdot x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if 0.0200000000000000004 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 58.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot 1 \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot 1 \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      19. lower-*.f64 22.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 22.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 15.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right)}, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 46.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.02:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot x, x \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 48.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x\\ \mathbf{if}\;\sin x \leq 4 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t\_0, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* (- x) x) x)))
   (if (<= (sin x) 4e-7)
     (*
      (fma t_0 (fma 0.008333333333333333 (* x x) -0.16666666666666666) x)
      (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0))
     (*
      1.0
      (fma
       t_0
       (fma
        (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
        (* x x)
        -0.16666666666666666)
       x)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = (-x * x) * x;
	double tmp;
	if (sin(x) <= 4e-7) {
		tmp = fma(t_0, fma(0.008333333333333333, (x * x), -0.16666666666666666), x) * fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0);
	} else {
		tmp = 1.0 * fma(t_0, fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(-x) * x) * x)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 4e-7)
		tmp = Float64(fma(t_0, fma(0.008333333333333333, Float64(x * x), -0.16666666666666666), x) * fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0));
	else
		tmp = Float64(1.0 * fma(t_0, fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[((-x) * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4e-7], N[(N[(t$95$0 * N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 * N[(t$95$0 * N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 3.9999999999999998e-7

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 74.9

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 74.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 54.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 54.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 59.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right)}, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{x} \cdot x, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 54.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x} \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if 3.9999999999999998e-7 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 59.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot 1 \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot 1 \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      19. lower-*.f64 24.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 24.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 17.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right)}, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 4 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 48.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 4 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot x, x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 4e-7)
   (*
    (fma
     (* (* (- x) x) x)
     (fma 0.008333333333333333 (* x x) -0.16666666666666666)
     x)
    (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0))
   (*
    (fma
     (* (fma (* 0.008333333333333333 x) x -0.16666666666666666) (* x x))
     x
     x)
    1.0)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 4e-7) {
		tmp = fma(((-x * x) * x), fma(0.008333333333333333, (x * x), -0.16666666666666666), x) * fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0);
	} else {
		tmp = fma((fma((0.008333333333333333 * x), x, -0.16666666666666666) * (x * x)), x, x) * 1.0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 4e-7)
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(Float64(-x) * x) * x), fma(0.008333333333333333, Float64(x * x), -0.16666666666666666), x) * fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(fma(Float64(0.008333333333333333 * x), x, -0.16666666666666666) * Float64(x * x)), x, x) * 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4e-7], N[(N[(N[(N[((-x) * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * x), $MachinePrecision] * x + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 3.9999999999999998e-7

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 74.9

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 74.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 54.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 54.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 59.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right)}, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{x} \cdot x, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 54.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x} \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if 3.9999999999999998e-7 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 59.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot 1 \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot 1 \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot 1 \]

      14. lower-*.f64 16.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 16.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 16.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 16.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.008333333333333333, x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 4 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot x, x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 82.7% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.7:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.45 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.008333333333333333, y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 0.7)
   (* (fma (* 0.16666666666666666 y) y 1.0) (sin x))
   (if (<= y 1.45e+77)
     (*
      (fma
       (* (* (- x) x) x)
       (fma
        (fma -0.0001984126984126984 (* x x) 0.008333333333333333)
        (* x x)
        -0.16666666666666666)
       x)
      (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0))
     (* (fma (* (* y y) 0.008333333333333333) (* y y) 1.0) (sin x)))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 0.7) {
		tmp = fma((0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x);
	} else if (y <= 1.45e+77) {
		tmp = fma(((-x * x) * x), fma(fma(-0.0001984126984126984, (x * x), 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666), x) * fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0);
	} else {
		tmp = fma(((y * y) * 0.008333333333333333), (y * y), 1.0) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.7)
		tmp = Float64(fma(Float64(0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x));
	elseif (y <= 1.45e+77)
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(Float64(-x) * x) * x), fma(fma(-0.0001984126984126984, Float64(x * x), 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666), x) * fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(y * y) * 0.008333333333333333), Float64(y * y), 1.0) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 0.7], N[(N[(N[(0.16666666666666666 * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.45e+77], N[(N[(N[(N[((-x) * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 0.69999999999999996

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 86.0

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 86.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 86.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 0.69999999999999996 < y < 1.4500000000000001e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 3.3

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 3.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2} + \frac{1}{120}}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      15. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, {x}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, \color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}\right), {x}^{2}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040}, x \cdot x, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{x \cdot x}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      19. lower-*.f64 31.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{x \cdot x}, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 31.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 24.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right)}, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if 1.4500000000000001e77 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 100.0

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.008333333333333333, \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.7:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.45 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.008333333333333333, y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 33.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.02:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot x\right) \cdot 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 0.02)
   (* (* (fma (* x x) -0.16666666666666666 1.0) x) 1.0)
   (* (fma (* (* (- x) x) x) -0.16666666666666666 x) 1.0)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.02) {
		tmp = (fma((x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0;
	} else {
		tmp = fma(((-x * x) * x), -0.16666666666666666, x) * 1.0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.02)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(Float64(-x) * x) * x), -0.16666666666666666, x) * 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.02], N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[((-x) * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.0200000000000000004

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 47.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. metadata-eval 34.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 34.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 34.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 34.0%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

   if 0.0200000000000000004 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 58.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      8. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

      10. metadata-eval 19.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1 \]

   8. Applied rewrites 19.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot 1 \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 12.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(-x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 29.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.02:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot x\right) \cdot 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(\left(-x\right) \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 33.3% accurate, 9.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot x\right) \cdot 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (* (* (fma (* x x) -0.16666666666666666 1.0) x) 1.0))

C

double code(double x, double y) {
	return (fma((x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0;
}

Julia

function code(x, y)
	return Float64(Float64(fma(Float64(x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x) * 1.0)
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * 1.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 50.1%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{1} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot 1 \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot 1 \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot 1 \]

   5. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot 1 \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

   8. pow-plus N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

   9. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot 1 \]

   10. metadata-eval 30.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot 1 \]

8. Applied rewrites 30.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot 1 \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 30.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot 1 \]
11. Step-by-step derivation

12. Applied rewrites 30.6%

    \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot \color{blue}{x}\right) \cdot 1 \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024298 
(FPCore (x y)
  :name "Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64
  (* (sin x) (/ (sinh y) y)))