2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 99.9%

Time: 8.2s

Alternatives: 4

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_2 := \frac{-g}{h}\\ t_3 := \cos^{-1} t\_2\\ t_4 := \sin \left(0.3333333333333333 \cdot t\_3\right)\\ t_5 := t\_0 \cdot t\_4\\ t_6 := \cos \left(-0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(t\_3 \cdot -0.3333333333333333\right)\\ t_7 := {t\_6}^{2}\\ \left(\frac{{t\_6}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(t\_1, \frac{t\_1}{2}, -\sin^{-1} t\_2\right) \cdot 0.3333333333333333\right), t\_0, t\_6\right) \cdot t\_5 + t\_7} - \frac{{t\_5}^{3}}{\mathsf{fma}\left(t\_4, t\_0, t\_6\right) \cdot t\_5 + t\_7}\right) \cdot 2 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* 0.6666666666666666 (PI))))
        (t_1 (sqrt (PI)))
        (t_2 (/ (- g) h))
        (t_3 (acos t_2))
        (t_4 (sin (* 0.3333333333333333 t_3)))
        (t_5 (* t_0 t_4))
        (t_6
         (*
          (cos (* -0.6666666666666666 (PI)))
          (cos (* t_3 -0.3333333333333333))))
        (t_7 (pow t_6 2.0)))
   (*
    (-
     (/
      (pow t_6 3.0)
      (+
       (*
        (fma
         (sin (* (fma t_1 (/ t_1 2.0) (- (asin t_2))) 0.3333333333333333))
         t_0
         t_6)
        t_5)
       t_7))
     (/ (pow t_5 3.0) (+ (* (fma t_4 t_0 t_6) t_5) t_7)))
    2.0)))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 97.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{{\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   4. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   7. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   8. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   9. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   10. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   11. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   12. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-2}{3}\right)\right)}\right) \]

   13. lower-asin.f64 99.9

       \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right), \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}\right) \]

6. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{{\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}, -\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)} - \frac{{\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{3}}{{\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}^{2} + \left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}\right) \]

7. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \left(\frac{{\left(\cos \left(-0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}, -\sin^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333\right), \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(-0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) + {\left(\cos \left(-0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}^{2}} - \frac{{\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(-0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) + {\left(\cos \left(-0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}^{2}}\right) \cdot 2 \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_2 := -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t\_1, t\_2\right)\right) - \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t\_1, t\_0\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.5}{\sin t\_0}, \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_1, 0.3333333333333333, t\_2\right)\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_1, 0.3333333333333333, t\_0\right)\right)}{\sin \left(0.3333333333333333 \cdot t\_1\right)}, -1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.6666666666666666 (PI)))
        (t_1 (acos (/ (- g) h)))
        (t_2 (* -0.6666666666666666 (PI))))
   (*
    (-
     (cos (fma 0.3333333333333333 t_1 t_2))
     (cos (fma 0.3333333333333333 t_1 t_0)))
    (fma
     (/ 0.5 (sin t_0))
     (/
      (+
       (cos (fma t_1 0.3333333333333333 t_2))
       (cos (fma t_1 0.3333333333333333 t_0)))
      (sin (* 0.3333333333333333 t_1)))
     -1.0))))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. clear-num N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}}}\right)\right) \]

   12. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} - 2}{2 \cdot \frac{2}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}} \]

8. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, 2, -4\right)}{4} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in g around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(2 \cdot \frac{\cos \left(\frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right) + \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - 4\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{-2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied rewrites 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.5}{\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}{\sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}, -1\right)} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

12. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.5}{\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}, -1\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\left(0.2222222222222222 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1.5}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3\right)\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  (cos
   (* (* 0.2222222222222222 (PI)) (fma (/ 1.5 (PI)) (acos (/ (- g) h)) 3.0)))
  2.0))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3} + \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right)} \]

   3. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}} + \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3} + \color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}}\right) \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3} + \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

   6. frac-add N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + 3 \cdot 1}{3 \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + 3 \cdot 1}{3 \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \color{blue}{3}}{3 \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 3\right)}}{3 \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{3}{\color{blue}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}, 3\right)}{3 \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \]

   11. associate-/r* N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \color{blue}{\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, 3\right)}{3 \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \]

   12. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \color{blue}{\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, 3\right)}{3 \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{\color{blue}{\frac{3}{2}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 3\right)}{3 \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \]

   14. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 3\right)}{\color{blue}{3 \cdot \frac{3}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

   15. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 3\right)}{3 \cdot \frac{3}{\color{blue}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

   16. associate-/r* N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 3\right)}{3 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

   17. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 3\right)}{3 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

   18. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1.5}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 3\right)}{3 \cdot \frac{\color{blue}{1.5}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{1.5}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 3\right)}{3 \cdot \frac{1.5}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 3\right)}{3 \cdot \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 3\right) \cdot \frac{1}{3 \cdot \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]

   3. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 3\right) \cdot \frac{1}{3 \cdot \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]

   4. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)} + 3\right)} \cdot \frac{1}{3 \cdot \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\color{blue}{\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)} + 3\right) \cdot \frac{1}{3 \cdot \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3\right)} \cdot \frac{1}{3 \cdot \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{3 \cdot \frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

   8. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3\right) \cdot \frac{1}{3 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

   9. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot \frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

   10. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{3 \cdot \frac{3}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   11. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{3 \cdot \frac{3}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{3}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3\right) \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{9}{2}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1.5}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3\right) \cdot \left(\color{blue}{0.2222222222222222} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

6. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1.5}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3\right) \cdot \left(0.2222222222222222 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \cos \left(\left(0.2222222222222222 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1.5}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3\right)\right) \cdot 2 \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  (cos (fma (PI) 0.6666666666666666 (* 0.3333333333333333 (acos (/ (- g) h)))))
  2.0))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. clear-num N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}}}\right)\right) \]

   12. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot 2 \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024297 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))