2cos (problem 3.3.5)

Percentage Accurate: 52.7% → 99.7%

Time: 17.8s

Alternatives: 11

Speedup: 41.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (cos (+ x eps)) (cos x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return cos((x + eps)) - cos(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = cos((x + eps)) - cos(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.cos((x + eps)) - Math.cos(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.cos((x + eps)) - math.cos(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(cos(Float64(x + eps)) - cos(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = cos((x + eps)) - cos(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 52.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (cos (+ x eps)) (cos x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return cos((x + eps)) - cos(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = cos((x + eps)) - cos(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.cos((x + eps)) - Math.cos(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.cos((x + eps)) - math.cos(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(cos(Float64(x + eps)) - cos(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = cos((x + eps)) - cos(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\sin \left(\frac{\varepsilon}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + 2 \cdot x}{2}\right)\right) \cdot -2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* (* (sin (/ eps 2.0)) (sin (/ (+ eps (* 2.0 x)) 2.0))) -2.0))

C

double code(double x, double eps) {
	return (sin((eps / 2.0)) * sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0))) * -2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (sin((eps / 2.0d0)) * sin(((eps + (2.0d0 * x)) / 2.0d0))) * (-2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return (Math.sin((eps / 2.0)) * Math.sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0))) * -2.0;
}

Python

def code(x, eps):
	return (math.sin((eps / 2.0)) * math.sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0))) * -2.0

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(sin(Float64(eps / 2.0)) * sin(Float64(Float64(eps + Float64(2.0 * x)) / 2.0))) * -2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = (sin((eps / 2.0)) * sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0))) * -2.0;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[Sin[N[(eps / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(eps + N[(2.0 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.4%

   \[\cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. diff-cos N/A

      \[\leadsto -2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{-2} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right), \color{blue}{-2}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 0}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2} \]

5. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \left(\sin \left(\frac{\varepsilon}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + 2 \cdot x}{2}\right)\right) \cdot -2 \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -2 \cdot \left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 2 \cdot x}{2}\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.020833333333333332 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.00026041666666666666 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -1.5500992063492063 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  -2.0
  (*
   (sin (/ (+ eps (* 2.0 x)) 2.0))
   (*
    eps
    (+
     0.5
     (*
      (* eps eps)
      (+
       -0.020833333333333332
       (*
        eps
        (*
         eps
         (+
          0.00026041666666666666
          (* (* eps eps) -1.5500992063492063e-6)))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * (0.00026041666666666666 + ((eps * eps) * -1.5500992063492063e-6)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (-2.0d0) * (sin(((eps + (2.0d0 * x)) / 2.0d0)) * (eps * (0.5d0 + ((eps * eps) * ((-0.020833333333333332d0) + (eps * (eps * (0.00026041666666666666d0 + ((eps * eps) * (-1.5500992063492063d-6))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (Math.sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * (0.00026041666666666666 + ((eps * eps) * -1.5500992063492063e-6)))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return -2.0 * (math.sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * (0.00026041666666666666 + ((eps * eps) * -1.5500992063492063e-6)))))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(-2.0 * Float64(sin(Float64(Float64(eps + Float64(2.0 * x)) / 2.0)) * Float64(eps * Float64(0.5 + Float64(Float64(eps * eps) * Float64(-0.020833333333333332 + Float64(eps * Float64(eps * Float64(0.00026041666666666666 + Float64(Float64(eps * eps) * -1.5500992063492063e-6))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = -2.0 * (sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * (0.00026041666666666666 + ((eps * eps) * -1.5500992063492063e-6)))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(-2.0 * N[(N[Sin[N[(N[(eps + N[(2.0 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(eps * N[(0.5 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * N[(-0.020833333333333332 + N[(eps * N[(eps * N[(0.00026041666666666666 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * -1.5500992063492063e-6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.4%

   \[\cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. diff-cos N/A

      \[\leadsto -2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{-2} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right), \color{blue}{-2}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 0}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2} \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{2} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \frac{-1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{-1}{48} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3840}, \left(\frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3840}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{-1}{645120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3840}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{-1}{645120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   17. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3840}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{-1}{645120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   18. *-lowering-*.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3840}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{645120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

7. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.020833333333333332 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.00026041666666666666 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -1.5500992063492063 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2 \]

8. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto -2 \cdot \left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 2 \cdot x}{2}\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.020833333333333332 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.00026041666666666666 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -1.5500992063492063 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -2 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\sin \left(x + \varepsilon \cdot 0.5\right) \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.020833333333333332 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.00026041666666666666 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -1.5500992063492063 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  -2.0
  (*
   eps
   (*
    (sin (+ x (* eps 0.5)))
    (+
     0.5
     (*
      (* eps eps)
      (+
       -0.020833333333333332
       (*
        eps
        (*
         eps
         (+
          0.00026041666666666666
          (* (* eps eps) -1.5500992063492063e-6)))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (eps * (sin((x + (eps * 0.5))) * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * (0.00026041666666666666 + ((eps * eps) * -1.5500992063492063e-6)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (-2.0d0) * (eps * (sin((x + (eps * 0.5d0))) * (0.5d0 + ((eps * eps) * ((-0.020833333333333332d0) + (eps * (eps * (0.00026041666666666666d0 + ((eps * eps) * (-1.5500992063492063d-6))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (eps * (Math.sin((x + (eps * 0.5))) * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * (0.00026041666666666666 + ((eps * eps) * -1.5500992063492063e-6)))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return -2.0 * (eps * (math.sin((x + (eps * 0.5))) * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * (0.00026041666666666666 + ((eps * eps) * -1.5500992063492063e-6)))))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(-2.0 * Float64(eps * Float64(sin(Float64(x + Float64(eps * 0.5))) * Float64(0.5 + Float64(Float64(eps * eps) * Float64(-0.020833333333333332 + Float64(eps * Float64(eps * Float64(0.00026041666666666666 + Float64(Float64(eps * eps) * -1.5500992063492063e-6))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = -2.0 * (eps * (sin((x + (eps * 0.5))) * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * (0.00026041666666666666 + ((eps * eps) * -1.5500992063492063e-6)))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(-2.0 * N[(eps * N[(N[Sin[N[(x + N[(eps * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * N[(-0.020833333333333332 + N[(eps * N[(eps * N[(0.00026041666666666666 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * -1.5500992063492063e-6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.4%

   \[\cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. diff-cos N/A

      \[\leadsto -2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{-2} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right), \color{blue}{-2}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 0}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2} \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{2} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \frac{-1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{-1}{48} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3840}, \left(\frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3840}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{-1}{645120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3840}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{-1}{645120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   17. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3840}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{-1}{645120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   18. *-lowering-*.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3840}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{645120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

7. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.020833333333333332 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.00026041666666666666 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -1.5500992063492063 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2 \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon + 2 \cdot x\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)}, -2\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon + 2 \cdot x\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), -2\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon + 2 \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} + \frac{-1}{645120} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), -2\right) \]

10. Simplified 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\sin \left(x + \varepsilon \cdot 0.5\right) \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.00026041666666666666 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -1.5500992063492063 \cdot 10^{-6}\right)\right) + -0.020833333333333332\right)\right)\right)\right)} \cdot -2 \]

11. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto -2 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\sin \left(x + \varepsilon \cdot 0.5\right) \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.020833333333333332 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.00026041666666666666 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -1.5500992063492063 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -2 \cdot \left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 2 \cdot x}{2}\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \frac{\varepsilon \cdot \left(-0.020833333333333332 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00026041666666666666\right)}{\frac{1}{\varepsilon}}\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  -2.0
  (*
   (sin (/ (+ eps (* 2.0 x)) 2.0))
   (*
    eps
    (+
     0.5
     (/
      (* eps (+ -0.020833333333333332 (* (* eps eps) 0.00026041666666666666)))
      (/ 1.0 eps)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + ((eps * (-0.020833333333333332 + ((eps * eps) * 0.00026041666666666666))) / (1.0 / eps)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (-2.0d0) * (sin(((eps + (2.0d0 * x)) / 2.0d0)) * (eps * (0.5d0 + ((eps * ((-0.020833333333333332d0) + ((eps * eps) * 0.00026041666666666666d0))) / (1.0d0 / eps)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (Math.sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + ((eps * (-0.020833333333333332 + ((eps * eps) * 0.00026041666666666666))) / (1.0 / eps)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return -2.0 * (math.sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + ((eps * (-0.020833333333333332 + ((eps * eps) * 0.00026041666666666666))) / (1.0 / eps)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(-2.0 * Float64(sin(Float64(Float64(eps + Float64(2.0 * x)) / 2.0)) * Float64(eps * Float64(0.5 + Float64(Float64(eps * Float64(-0.020833333333333332 + Float64(Float64(eps * eps) * 0.00026041666666666666))) / Float64(1.0 / eps))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = -2.0 * (sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + ((eps * (-0.020833333333333332 + ((eps * eps) * 0.00026041666666666666))) / (1.0 / eps)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(-2.0 * N[(N[Sin[N[(N[(eps + N[(2.0 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(eps * N[(0.5 + N[(N[(eps * N[(-0.020833333333333332 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.00026041666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.4%

   \[\cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. diff-cos N/A

      \[\leadsto -2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{-2} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right), \color{blue}{-2}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 0}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2} \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{2} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} + \frac{-1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{-1}{48} + \frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

7. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.020833333333333332 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.00026041666666666666\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2 \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{48} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   2. remove-double-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{48} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{48} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)}{\frac{1}{\varepsilon}}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\left(1 \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{-1}{48} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)}{\frac{1}{\varepsilon}}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   5. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{48} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)}{\frac{1}{\varepsilon}}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{48} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{-1}{48} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{1}{3840}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3840}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3840}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

9. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot \left(-0.020833333333333332 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00026041666666666666\right)}{\frac{1}{\varepsilon}}}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2 \]

10. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto -2 \cdot \left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 2 \cdot x}{2}\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \frac{\varepsilon \cdot \left(-0.020833333333333332 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00026041666666666666\right)}{\frac{1}{\varepsilon}}\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.5% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -2 \cdot \left(\sin \left(x + \varepsilon \cdot 0.5\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.020833333333333332 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.00026041666666666666\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  -2.0
  (*
   (sin (+ x (* eps 0.5)))
   (*
    eps
    (+
     0.5
     (*
      (* eps eps)
      (+ -0.020833333333333332 (* eps (* eps 0.00026041666666666666)))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (sin((x + (eps * 0.5))) * (eps * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * 0.00026041666666666666)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (-2.0d0) * (sin((x + (eps * 0.5d0))) * (eps * (0.5d0 + ((eps * eps) * ((-0.020833333333333332d0) + (eps * (eps * 0.00026041666666666666d0)))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (Math.sin((x + (eps * 0.5))) * (eps * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * 0.00026041666666666666)))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return -2.0 * (math.sin((x + (eps * 0.5))) * (eps * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * 0.00026041666666666666)))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(-2.0 * Float64(sin(Float64(x + Float64(eps * 0.5))) * Float64(eps * Float64(0.5 + Float64(Float64(eps * eps) * Float64(-0.020833333333333332 + Float64(eps * Float64(eps * 0.00026041666666666666))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = -2.0 * (sin((x + (eps * 0.5))) * (eps * (0.5 + ((eps * eps) * (-0.020833333333333332 + (eps * (eps * 0.00026041666666666666)))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(-2.0 * N[(N[Sin[N[(x + N[(eps * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(eps * N[(0.5 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * N[(-0.020833333333333332 + N[(eps * N[(eps * 0.00026041666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.4%

   \[\cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. diff-cos N/A

      \[\leadsto -2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{-2} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right), \color{blue}{-2}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 0}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2} \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{2} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2} + \frac{-1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{-1}{48} + \frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\frac{1}{3840} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

7. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.020833333333333332 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.00026041666666666666\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2 \]

8. Taylor expanded in eps around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon + 2 \cdot x\right)\right)}\right), -2\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right) \cdot x\right)\right)\right), -2\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon - -2 \cdot x\right)\right)\right), -2\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon - -2 \cdot x\right)\right)\right)\right), -2\right) \]

   4. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), -2\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon + 2 \cdot x\right)\right)\right)\right), -2\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), -2\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon + \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot x\right)\right)\right), -2\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)\right)\right), -2\right) \]

   9. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon + x\right)\right)\right), -2\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(x + \frac{1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right), -2\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), -2\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), -2\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3840}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), -2\right) \]

10. Simplified 99.2%

    \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.020833333333333332 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.00026041666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(x + \varepsilon \cdot 0.5\right)}\right) \cdot -2 \]

11. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto -2 \cdot \left(\sin \left(x + \varepsilon \cdot 0.5\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.020833333333333332 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.00026041666666666666\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.5% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -2 \cdot \left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 2 \cdot x}{2}\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.020833333333333332\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  -2.0
  (*
   (sin (/ (+ eps (* 2.0 x)) 2.0))
   (* eps (+ 0.5 (* eps (* eps -0.020833333333333332)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + (eps * (eps * -0.020833333333333332)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (-2.0d0) * (sin(((eps + (2.0d0 * x)) / 2.0d0)) * (eps * (0.5d0 + (eps * (eps * (-0.020833333333333332d0))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (Math.sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + (eps * (eps * -0.020833333333333332)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return -2.0 * (math.sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + (eps * (eps * -0.020833333333333332)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(-2.0 * Float64(sin(Float64(Float64(eps + Float64(2.0 * x)) / 2.0)) * Float64(eps * Float64(0.5 + Float64(eps * Float64(eps * -0.020833333333333332))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = -2.0 * (sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * (0.5 + (eps * (eps * -0.020833333333333332)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(-2.0 * N[(N[Sin[N[(N[(eps + N[(2.0 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(eps * N[(0.5 + N[(eps * N[(eps * -0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.4%

   \[\cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. diff-cos N/A

      \[\leadsto -2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{-2} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right), \color{blue}{-2}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 0}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2} \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{48} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{48} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{48} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{-1}{48}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{-1}{48}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{-1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{48} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{-1}{48} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \frac{-1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{-1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.020833333333333332\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2 \]

8. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto -2 \cdot \left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 2 \cdot x}{2}\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.020833333333333332\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -2 \cdot \left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 2 \cdot x}{2}\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* -2.0 (* (sin (/ (+ eps (* 2.0 x)) 2.0)) (* eps 0.5))))

C

double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * 0.5));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (-2.0d0) * (sin(((eps + (2.0d0 * x)) / 2.0d0)) * (eps * 0.5d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return -2.0 * (Math.sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * 0.5));
}

Python

def code(x, eps):
	return -2.0 * (math.sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * 0.5))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(-2.0 * Float64(sin(Float64(Float64(eps + Float64(2.0 * x)) / 2.0)) * Float64(eps * 0.5)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = -2.0 * (sin(((eps + (2.0 * x)) / 2.0)) * (eps * 0.5));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(-2.0 * N[(N[Sin[N[(N[(eps + N[(2.0 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(eps * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.4%

   \[\cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. diff-cos N/A

      \[\leadsto -2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{-2} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) - x}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\left(x + \varepsilon\right) + x}{2}\right)\right), \color{blue}{-2}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 0}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2} \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), 2\right)\right)\right), -2\right) \]

7. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot 0.5\right)} \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon + x \cdot 2}{2}\right)\right) \cdot -2 \]

8. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto -2 \cdot \left(\sin \left(\frac{\varepsilon + 2 \cdot x}{2}\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.5\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.8% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.5 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (- (* eps -0.5) x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((eps * -0.5) - x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((eps * (-0.5d0)) - x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((eps * -0.5) - x);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((eps * -0.5) - x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(eps * -0.5) - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((eps * -0.5) - x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(eps * -0.5), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.4%

   \[\cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \varepsilon + -1 \cdot \left(x \cdot \sin \varepsilon\right)\right) - 1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \left(x \cdot \sin \varepsilon\right) + \cos \varepsilon\right) - 1 \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto -1 \cdot \left(x \cdot \sin \varepsilon\right) + \color{blue}{\left(\cos \varepsilon - 1\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \varepsilon - 1\right) + \color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \sin \varepsilon\right)} \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \left(\cos \varepsilon - 1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \sin \varepsilon\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\cos \varepsilon - 1\right) - \color{blue}{x \cdot \sin \varepsilon} \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \varepsilon - 1\right), \color{blue}{\left(x \cdot \sin \varepsilon\right)}\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \sin \varepsilon\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \varepsilon + -1\right), \left(x \cdot \sin \varepsilon\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \varepsilon, -1\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \sin \varepsilon\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right), -1\right), \left(x \cdot \sin \varepsilon\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\sin \varepsilon}\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 79.0%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right) \]

5. Simplified 79.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \varepsilon + -1\right) - x \cdot \sin \varepsilon} \]

6. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \varepsilon - x\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \varepsilon - x\right)}\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \frac{-1}{2}\right), x\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{-1}{2}\right), x\right)\right) \]

8. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.5 - x\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 78.9% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 - \varepsilon \cdot x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- 0.0 (* eps x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return 0.0 - (eps * x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = 0.0d0 - (eps * x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return 0.0 - (eps * x);
}

Python

def code(x, eps):
	return 0.0 - (eps * x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(0.0 - Float64(eps * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = 0.0 - (eps * x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(0.0 - N[(eps * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.4%

   \[\cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \varepsilon + -1 \cdot \left(x \cdot \sin \varepsilon\right)\right) - 1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \left(x \cdot \sin \varepsilon\right) + \cos \varepsilon\right) - 1 \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto -1 \cdot \left(x \cdot \sin \varepsilon\right) + \color{blue}{\left(\cos \varepsilon - 1\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \varepsilon - 1\right) + \color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \sin \varepsilon\right)} \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \left(\cos \varepsilon - 1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \sin \varepsilon\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\cos \varepsilon - 1\right) - \color{blue}{x \cdot \sin \varepsilon} \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \varepsilon - 1\right), \color{blue}{\left(x \cdot \sin \varepsilon\right)}\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \sin \varepsilon\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \varepsilon + -1\right), \left(x \cdot \sin \varepsilon\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \varepsilon, -1\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \sin \varepsilon\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right), -1\right), \left(x \cdot \sin \varepsilon\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\sin \varepsilon}\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 79.0%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right) \]

5. Simplified 79.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \varepsilon + -1\right) - x \cdot \sin \varepsilon} \]

6. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\varepsilon \cdot x\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\varepsilon \cdot x} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 78.8%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{x}\right)\right) \]

8. Simplified 78.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \varepsilon \cdot x} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 10: 52.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (* eps -0.5)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (eps * -0.5);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (eps * (-0.5d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (eps * -0.5);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (eps * -0.5)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(eps * -0.5))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (eps * -0.5);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(eps * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.4%

   \[\cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \varepsilon - 1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \cos \varepsilon + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \cos \varepsilon + -1 \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\cos \varepsilon, \color{blue}{-1}\right) \]

   4. cos-lowering-cos.f64 52.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right), -1\right) \]

5. Simplified 52.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \varepsilon + -1} \]

6. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot {\varepsilon}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto {\varepsilon}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{-1}{2} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \frac{-1}{2}\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 53.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right) \]

8. Simplified 53.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.5\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 11: 51.4% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x, double eps) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x, eps):
	return 0.0

Julia

function code(x, eps)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 54.4%

   \[\cos \left(x + \varepsilon\right) - \cos x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \varepsilon - 1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \cos \varepsilon + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \cos \varepsilon + -1 \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\cos \varepsilon, \color{blue}{-1}\right) \]

   4. cos-lowering-cos.f64 52.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right), -1\right) \]

5. Simplified 52.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \varepsilon + -1} \]

6. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, -1\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 52.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1} + -1 \]
9. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 52.4%

      \[\leadsto 0 \]

10. Applied egg-rr 52.4%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
11. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-2 \cdot \sin \left(x + \frac{\varepsilon}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon}{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* (* -2.0 (sin (+ x (/ eps 2.0)))) (sin (/ eps 2.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	return (-2.0 * sin((x + (eps / 2.0)))) * sin((eps / 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = ((-2.0d0) * sin((x + (eps / 2.0d0)))) * sin((eps / 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return (-2.0 * Math.sin((x + (eps / 2.0)))) * Math.sin((eps / 2.0));
}

Python

def code(x, eps):
	return (-2.0 * math.sin((x + (eps / 2.0)))) * math.sin((eps / 2.0))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(-2.0 * sin(Float64(x + Float64(eps / 2.0)))) * sin(Float64(eps / 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = (-2.0 * sin((x + (eps / 2.0)))) * sin((eps / 2.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(-2.0 * N[Sin[N[(x + N[(eps / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[N[(eps / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (x eps)
  :name "2cos (problem 3.3.5)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* -2 (sin (+ x (/ eps 2))) (sin (/ eps 2))))

  (- (cos (+ x eps)) (cos x)))