2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.4% → 99.5%

Time: 16.9s

Alternatives: 9

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan \varepsilon\\ \tan x \cdot \frac{t\_0 + \frac{1}{\frac{\tan x}{\tan \varepsilon}}}{1 - t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan eps))))
   (* (tan x) (/ (+ t_0 (/ 1.0 (/ (tan x) (tan eps)))) (- 1.0 t_0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = tan(x) * tan(eps);
	return tan(x) * ((t_0 + (1.0 / (tan(x) / tan(eps)))) / (1.0 - t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(eps)
    code = tan(x) * ((t_0 + (1.0d0 / (tan(x) / tan(eps)))) / (1.0d0 - t_0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(eps);
	return Math.tan(x) * ((t_0 + (1.0 / (Math.tan(x) / Math.tan(eps)))) / (1.0 - t_0));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(eps)
	return math.tan(x) * ((t_0 + (1.0 / (math.tan(x) / math.tan(eps)))) / (1.0 - t_0))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(eps))
	return Float64(tan(x) * Float64(Float64(t_0 + Float64(1.0 / Float64(tan(x) / tan(eps)))) / Float64(1.0 - t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) * tan(eps);
	tmp = tan(x) * ((t_0 + (1.0 / (tan(x) / tan(eps)))) / (1.0 - t_0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$0 + N[(1.0 / N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] / N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 62.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum N/A

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan \color{blue}{x} \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \frac{1}{\color{blue}{\frac{\cos x}{\sin x}}} \]

   4. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot 1}{\color{blue}{\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot 1\right), \color{blue}{\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{\tan x} - \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot 1}{\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{\tan x}}} \]

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x} + \frac{\sin \varepsilon \cdot \sin x}{\cos \varepsilon \cdot \cos x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sin \varepsilon \cdot \sin x}{\cos \varepsilon \cdot \cos x} + \frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sin \varepsilon \cdot \sin x}{\cos \varepsilon \cdot \cos x}\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sin \varepsilon \cdot \sin x\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sin x \cdot \sin \varepsilon\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin x, \sin \varepsilon\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \sin \varepsilon\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos \varepsilon\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos x, \cos \varepsilon\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \cos \varepsilon\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{tan.f64}\left(x\right)}, \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}\right), \sin x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}}{\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{\tan x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\color{blue}{\tan x}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \color{blue}{\tan x} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}\right), \color{blue}{\tan x}\right) \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x \cdot \tan \varepsilon + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \tan x} \]
10. Step-by-step derivation

    1. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(\frac{\tan \varepsilon}{\tan x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{\tan x}{\tan \varepsilon}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\tan x}{\tan \varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

    5. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

    6. tan-lowering-tan.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \frac{\tan x \cdot \tan \varepsilon + \color{blue}{\frac{1}{\frac{\tan x}{\tan \varepsilon}}}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \tan x \]

12. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \tan x \cdot \frac{\tan x \cdot \tan \varepsilon + \frac{1}{\frac{\tan x}{\tan \varepsilon}}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan \varepsilon\\ \tan x \cdot \frac{t\_0 + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}}{1 - t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan eps))))
   (* (tan x) (/ (+ t_0 (* (tan eps) (/ 1.0 (tan x)))) (- 1.0 t_0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = tan(x) * tan(eps);
	return tan(x) * ((t_0 + (tan(eps) * (1.0 / tan(x)))) / (1.0 - t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(eps)
    code = tan(x) * ((t_0 + (tan(eps) * (1.0d0 / tan(x)))) / (1.0d0 - t_0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(eps);
	return Math.tan(x) * ((t_0 + (Math.tan(eps) * (1.0 / Math.tan(x)))) / (1.0 - t_0));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(eps)
	return math.tan(x) * ((t_0 + (math.tan(eps) * (1.0 / math.tan(x)))) / (1.0 - t_0))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(eps))
	return Float64(tan(x) * Float64(Float64(t_0 + Float64(tan(eps) * Float64(1.0 / tan(x)))) / Float64(1.0 - t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) * tan(eps);
	tmp = tan(x) * ((t_0 + (tan(eps) * (1.0 / tan(x)))) / (1.0 - t_0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$0 + N[(N[Tan[eps], $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 62.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum N/A

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan \color{blue}{x} \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \frac{1}{\color{blue}{\frac{\cos x}{\sin x}}} \]

   4. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot 1}{\color{blue}{\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot 1\right), \color{blue}{\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{\tan x} - \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot 1}{\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{\tan x}}} \]

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x} + \frac{\sin \varepsilon \cdot \sin x}{\cos \varepsilon \cdot \cos x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sin \varepsilon \cdot \sin x}{\cos \varepsilon \cdot \cos x} + \frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sin \varepsilon \cdot \sin x}{\cos \varepsilon \cdot \cos x}\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sin \varepsilon \cdot \sin x\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sin x \cdot \sin \varepsilon\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin x, \sin \varepsilon\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \sin \varepsilon\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos \varepsilon\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos x, \cos \varepsilon\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \cos \varepsilon\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{tan.f64}\left(x\right)}, \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}\right), \sin x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}}{\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{\tan x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\color{blue}{\tan x}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \color{blue}{\tan x} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}\right), \color{blue}{\tan x}\right) \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x \cdot \tan \varepsilon + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \tan x} \]

10. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto \tan x \cdot \frac{\tan x \cdot \tan \varepsilon + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\tan x}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan \varepsilon \cdot \left(\tan x + \frac{1}{\tan x}\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (/
  (tan x)
  (/ (- 1.0 (* (tan x) (tan eps))) (* (tan eps) (+ (tan x) (/ 1.0 (tan x)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan(x) / ((1.0 - (tan(x) * tan(eps))) / (tan(eps) * (tan(x) + (1.0 / tan(x)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan(x) / ((1.0d0 - (tan(x) * tan(eps))) / (tan(eps) * (tan(x) + (1.0d0 / tan(x)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan(x) / ((1.0 - (Math.tan(x) * Math.tan(eps))) / (Math.tan(eps) * (Math.tan(x) + (1.0 / Math.tan(x)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan(x) / ((1.0 - (math.tan(x) * math.tan(eps))) / (math.tan(eps) * (math.tan(x) + (1.0 / math.tan(x)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(x) / Float64(Float64(1.0 - Float64(tan(x) * tan(eps))) / Float64(tan(eps) * Float64(tan(x) + Float64(1.0 / tan(x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan(x) / ((1.0 - (tan(x) * tan(eps))) / (tan(eps) * (tan(x) + (1.0 / tan(x)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 - N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Tan[eps], $MachinePrecision] * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum N/A

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan \color{blue}{x} \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \frac{1}{\color{blue}{\frac{\cos x}{\sin x}}} \]

   4. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot 1}{\color{blue}{\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot 1\right), \color{blue}{\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{\cos x}{\sin x}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{\tan x} - \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot 1}{\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{\tan x}}} \]

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x} + \frac{\sin \varepsilon \cdot \sin x}{\cos \varepsilon \cdot \cos x}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sin \varepsilon \cdot \sin x}{\cos \varepsilon \cdot \cos x} + \frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sin \varepsilon \cdot \sin x}{\cos \varepsilon \cdot \cos x}\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sin \varepsilon \cdot \sin x\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sin x \cdot \sin \varepsilon\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin x, \sin \varepsilon\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \sin \varepsilon\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(\cos \varepsilon \cdot \cos x\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos \varepsilon\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos x, \cos \varepsilon\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \cos \varepsilon\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon \cdot \sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\cos x \cdot \sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{tan.f64}\left(x\right)}, \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}\right), \sin x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}}{\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{\tan x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\color{blue}{\tan x}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \color{blue}{\tan x} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{\sin x \cdot \sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \varepsilon} + \frac{\cos x \cdot \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}}{\sin x}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}\right), \color{blue}{\tan x}\right) \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x \cdot \tan \varepsilon + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \tan x} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \tan x \cdot \color{blue}{\frac{\tan x \cdot \tan \varepsilon + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \tan x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x \cdot \tan \varepsilon + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}}}} \]

    3. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\tan x}{\color{blue}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x \cdot \tan \varepsilon + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}}}} \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\tan x, \color{blue}{\left(\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x \cdot \tan \varepsilon + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}}\right)}\right) \]

    5. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \left(\frac{\color{blue}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}}{\tan x \cdot \tan \varepsilon + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}}\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right), \color{blue}{\left(\tan x \cdot \tan \varepsilon + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}\right)}\right)\right) \]

    7. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{\tan x \cdot \tan \varepsilon} + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right)\right), \left(\tan x \cdot \color{blue}{\tan \varepsilon} + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}\right)\right)\right) \]

    9. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right)\right), \left(\tan x \cdot \tan \color{blue}{\varepsilon} + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}\right)\right)\right) \]

    10. tan-lowering-tan.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon + \tan \varepsilon \cdot \frac{1}{\tan x}\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\tan \varepsilon \cdot \tan x + \color{blue}{\tan \varepsilon} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)\right)\right) \]

    12. distribute-lft-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\tan \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\tan x + \frac{1}{\tan x}\right)}\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\tan \varepsilon, \color{blue}{\left(\tan x + \frac{1}{\tan x}\right)}\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan \varepsilon \cdot \left(\tan x + \frac{1}{\tan x}\right)}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.4% accurate, 8.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  (* eps (+ 1.0 (* (* eps eps) 0.3333333333333333)))
  (* x (* eps (+ eps (* x (+ 1.0 (* (* eps eps) 1.3333333333333333))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return (eps * (1.0 + ((eps * eps) * 0.3333333333333333))) + (x * (eps * (eps + (x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (eps * (1.0d0 + ((eps * eps) * 0.3333333333333333d0))) + (x * (eps * (eps + (x * (1.0d0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333d0))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return (eps * (1.0 + ((eps * eps) * 0.3333333333333333))) + (x * (eps * (eps + (x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return (eps * (1.0 + ((eps * eps) * 0.3333333333333333))) + (x * (eps * (eps + (x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(Float64(eps * eps) * 0.3333333333333333))) + Float64(x * Float64(eps * Float64(eps + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(eps * eps) * 1.3333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = (eps * (1.0 + ((eps * eps) * 0.3333333333333333))) + (x * (eps * (eps + (x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(eps * N[(1.0 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(eps * N[(eps + N[(x * N[(1.0 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{4}{3} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot x + \varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(x + \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x + \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-lowering-+.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(x, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right) \]

    9. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left({\varepsilon}^{2} + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \color{blue}{\varepsilon} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. distribute-lft-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    13. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{4}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\frac{4}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 98.5%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.4% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (+ 1.0 (* (* eps eps) 0.3333333333333333))
   (* x (+ eps (* x (+ 1.0 (* (* eps eps) 1.3333333333333333))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + ((eps * eps) * 0.3333333333333333)) + (x * (eps + (x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((1.0d0 + ((eps * eps) * 0.3333333333333333d0)) + (x * (eps + (x * (1.0d0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333d0))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + ((eps * eps) * 0.3333333333333333)) + (x * (eps + (x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((1.0 + ((eps * eps) * 0.3333333333333333)) + (x * (eps + (x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(eps * eps) * 0.3333333333333333)) + Float64(x * Float64(eps + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(eps * eps) * 1.3333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((1.0 + ((eps * eps) * 0.3333333333333333)) + (x * (eps + (x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(1.0 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(eps + N[(x * N[(1.0 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.3% accurate, 12.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (* x (* eps (+ eps (* x (+ 1.0 (* eps (* eps 1.3333333333333333)))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (eps * (eps + (x * (1.0 + (eps * (eps * 1.3333333333333333)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (x * (eps * (eps + (x * (1.0d0 + (eps * (eps * 1.3333333333333333d0)))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (eps * (eps + (x * (1.0 + (eps * (eps * 1.3333333333333333)))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (x * (eps * (eps + (x * (1.0 + (eps * (eps * 1.3333333333333333)))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(x * Float64(eps * Float64(eps + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(eps * 1.3333333333333333))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (x * (eps * (eps + (x * (1.0 + (eps * (eps * 1.3333333333333333)))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(x * N[(eps * N[(eps + N[(x * N[(1.0 + N[(eps * N[(eps * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{4}{3} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot x + \varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(x + \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x + \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-lowering-+.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(x, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 98.3%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{1} + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right) \]

    3. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({\varepsilon}^{2} + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \color{blue}{\varepsilon} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{4}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{4}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \frac{4}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{4}{3} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\frac{4}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 98.3%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\frac{4}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 98.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.3% accurate, 12.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ 1.0 (* x (+ x (* eps (+ 1.0 (* 1.3333333333333333 (* x x)))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * (x + (eps * (1.0 + (1.3333333333333333 * (x * x)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + (x * (x + (eps * (1.0d0 + (1.3333333333333333d0 * (x * x)))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * (x + (eps * (1.0 + (1.3333333333333333 * (x * x)))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + (x * (x + (eps * (1.0 + (1.3333333333333333 * (x * x)))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x + Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(1.3333333333333333 * Float64(x * x))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + (x * (x + (eps * (1.0 + (1.3333333333333333 * (x * x)))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(x * N[(x + N[(eps * N[(1.0 + N[(1.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{4}{3} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot x + \varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(x + \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x + \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-lowering-+.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(x, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 98.3%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{1} + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Taylor expanded in eps around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \frac{4}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{4}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{4}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{4}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 98.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 98.3%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 1.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

15. Final simplification 98.3%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.3% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (+ 1.0 (* x x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + (x * x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{4}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right) + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{4}{3} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot x + \varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(x + \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x + \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-lowering-+.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{4}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(x, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) + x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + {x}^{2}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} + \color{blue}{1}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]

    4. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot x\right), 1\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 98.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), 1\right)\right) \]

11. Simplified 98.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(x \cdot x + 1\right)} \]

12. Final simplification 98.3%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot x\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.0% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 62.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \varepsilon, \color{blue}{\cos \varepsilon}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \cos \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right) \]

5. Simplified 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]

6. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))