Sample trimmed logistic on [-pi, pi]

Percentage Accurate: 98.9% → 99.0%

Time: 23.6s

Alternatives: 20

Speedup: 0.7×

Specification

\[\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right) \land \left(0 \leq s \land s \leq 1.0651631\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ t_1 := e^{\frac{\pi}{-s}}\\ s \cdot \log \left(\frac{\frac{-1}{\frac{u}{-1 - t\_1} + \frac{1 - u}{-1 - t\_0}} + 1}{{\left(\frac{1 - u}{t\_0 + 1} + \frac{u}{t\_1 + 1}\right)}^{-2} + -1}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s))) (t_1 (exp (/ PI (- s)))))
   (*
    s
    (log
     (/
      (+ (/ -1.0 (+ (/ u (- -1.0 t_1)) (/ (- 1.0 u) (- -1.0 t_0)))) 1.0)
      (+ (pow (+ (/ (- 1.0 u) (+ t_0 1.0)) (/ u (+ t_1 1.0))) -2.0) -1.0))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	float t_1 = expf((((float) M_PI) / -s));
	return s * logf((((-1.0f / ((u / (-1.0f - t_1)) + ((1.0f - u) / (-1.0f - t_0)))) + 1.0f) / (powf((((1.0f - u) / (t_0 + 1.0f)) + (u / (t_1 + 1.0f))), -2.0f) + -1.0f)));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	t_1 = exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s)))
	return Float32(s * log(Float32(Float32(Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(-1.0) - t_1)) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) - t_0)))) + Float32(1.0)) / Float32((Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(t_0 + Float32(1.0))) + Float32(u / Float32(t_1 + Float32(1.0)))) ^ Float32(-2.0)) + Float32(-1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = exp((single(pi) / s));
	t_1 = exp((single(pi) / -s));
	tmp = s * log((((single(-1.0) / ((u / (single(-1.0) - t_1)) + ((single(1.0) - u) / (single(-1.0) - t_0)))) + single(1.0)) / (((((single(1.0) - u) / (t_0 + single(1.0))) + (u / (t_1 + single(1.0)))) ^ single(-2.0)) + single(-1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}}\right)\right) \]

   3. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(-\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)} \]

7. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{\frac{-1}{\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{\frac{\pi}{-s}} + 1}\right)}^{-2} + -1}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.8% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\mathsf{expm1}\left(-\log \left(\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{\frac{\pi}{-s}} + 1}\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (expm1
    (-
     (log
      (+
       (/ (- 1.0 u) (+ (exp (/ PI s)) 1.0))
       (/ u (+ (exp (/ PI (- s))) 1.0)))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(expm1f(-logf((((1.0f - u) / (expf((((float) M_PI) / s)) + 1.0f)) + (u / (expf((((float) M_PI) / -s)) + 1.0f))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(expm1(Float32(-log(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(exp(Float32(Float32(pi) / s)) + Float32(1.0))) + Float32(u / Float32(exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))) + Float32(1.0)))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + -1\right)\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(1, \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}, -1\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(1, \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}, \mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right)\right)\right) \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right)\right)\right) \]

   6. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left({\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-1} - 1\right)\right)\right) \]

   7. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(e^{\log \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot -1} - 1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(-\log \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\mathsf{expm1}\left(-\log \left(\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{\frac{\pi}{-s}} + 1}\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ s \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{-1}{\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  s
  (log
   (/
    1.0
    (+
     (/
      -1.0
      (+
       (/ u (- -1.0 (exp (/ PI (- s)))))
       (/ (- 1.0 u) (- -1.0 (exp (/ PI s))))))
     -1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	return s * logf((1.0f / ((-1.0f / ((u / (-1.0f - expf((((float) M_PI) / -s)))) + ((1.0f - u) / (-1.0f - expf((((float) M_PI) / s)))))) + -1.0f)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s * log(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(-1.0) - exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) - exp(Float32(Float32(pi) / s)))))) + Float32(-1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s * log((single(1.0) / ((single(-1.0) / ((u / (single(-1.0) - exp((single(pi) / -s)))) + ((single(1.0) - u) / (single(-1.0) - exp((single(pi) / s)))))) + single(-1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}}\right)\right) \]

   3. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(-\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. log-lowering-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\color{blue}{\log \left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 98.9%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\log \left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\color{blue}{\frac{-\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1}\right)\right) \]

11. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{-1}{\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    (/
     -1.0
     (+
      (/ u (- -1.0 (exp (/ PI (- s)))))
      (/ (- 1.0 u) (- -1.0 (exp (/ PI s))))))
    -1.0))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(((-1.0f / ((u / (-1.0f - expf((((float) M_PI) / -s)))) + ((1.0f - u) / (-1.0f - expf((((float) M_PI) / s)))))) + -1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(-1.0) - exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) - exp(Float32(Float32(pi) / s)))))) + Float32(-1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log(((single(-1.0) / ((u / (single(-1.0) - exp((single(pi) / -s)))) + ((single(1.0) - u) / (single(-1.0) - exp((single(pi) / s)))))) + single(-1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\color{blue}{\frac{-\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

7. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 94.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ s \cdot \log \left(\frac{1}{-1 + \frac{-1}{\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{-1 + \left(-1 - \frac{\pi + \frac{\frac{0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}{s} + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.5}{s}}{s}\right)}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  s
  (log
   (/
    1.0
    (+
     -1.0
     (/
      -1.0
      (+
       (/ u (- -1.0 (exp (/ PI (- s)))))
       (/
        (- 1.0 u)
        (+
         -1.0
         (-
          -1.0
          (/
           (+
            PI
            (/
             (+
              (/ (* 0.16666666666666666 (* PI (* PI PI))) s)
              (* (* PI PI) 0.5))
             s))
           s)))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return s * logf((1.0f / (-1.0f + (-1.0f / ((u / (-1.0f - expf((((float) M_PI) / -s)))) + ((1.0f - u) / (-1.0f + (-1.0f - ((((float) M_PI) + ((((0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) / s) + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * 0.5f)) / s)) / s)))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s * log(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(-1.0) - exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) - Float32(Float32(Float32(pi) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) / s) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(0.5))) / s)) / s))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s * log((single(1.0) / (single(-1.0) + (single(-1.0) / ((u / (single(-1.0) - exp((single(pi) / -s)))) + ((single(1.0) - u) / (single(-1.0) + (single(-1.0) - ((single(pi) + ((((single(0.16666666666666666) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) / s) + ((single(pi) * single(pi)) * single(0.5))) / s)) / s)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}}\right)\right) \]

   3. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(-\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. log-lowering-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\color{blue}{\log \left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 98.9%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\log \left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\color{blue}{\frac{-\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1}\right)\right) \]

11. Taylor expanded in s around -inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 93.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\log \left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{-\left(\pi + \frac{\frac{0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}{s} + 0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s}\right)}{s}\right)}}} + -1}\right)\right) \]

14. Final simplification 93.7%

    \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{1}{-1 + \frac{-1}{\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{-1 + \left(-1 - \frac{\pi + \frac{\frac{0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}{s} + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.5}{s}}{s}\right)}}}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 6: 92.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ s \cdot \log \left(\frac{1}{-1 + \frac{-1}{\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{-1 + \left(-1 + \frac{-0.5 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{s} - \pi}{s}\right)}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  s
  (log
   (/
    1.0
    (+
     -1.0
     (/
      -1.0
      (+
       (/ u (- -1.0 (exp (/ PI (- s)))))
       (/
        (- 1.0 u)
        (+ -1.0 (+ -1.0 (/ (- (* -0.5 (/ (* PI PI) s)) PI) s)))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return s * logf((1.0f / (-1.0f + (-1.0f / ((u / (-1.0f - expf((((float) M_PI) / -s)))) + ((1.0f - u) / (-1.0f + (-1.0f + (((-0.5f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) / s)) - ((float) M_PI)) / s)))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s * log(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(-1.0) - exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(-0.5) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) / s)) - Float32(pi)) / s))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s * log((single(1.0) / (single(-1.0) + (single(-1.0) / ((u / (single(-1.0) - exp((single(pi) / -s)))) + ((single(1.0) - u) / (single(-1.0) + (single(-1.0) + (((single(-0.5) * ((single(pi) * single(pi)) / s)) - single(pi)) / s)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}}\right)\right) \]

   3. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(-\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. log-lowering-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\color{blue}{\log \left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 98.9%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\log \left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\color{blue}{\frac{-\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1}\right)\right) \]

11. Taylor expanded in s around -inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 92.3%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 92.3%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\log \left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{-0.5 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{s} - \pi}{s}\right)}}} + -1}\right)\right) \]

14. Final simplification 92.3%

    \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{1}{-1 + \frac{-1}{\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{-1 + \left(-1 + \frac{-0.5 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{s} - \pi}{s}\right)}}}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 7: 86.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ s \cdot \log \left(\frac{1}{-1 + \frac{-1}{\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{-1 + \left(-1 - \frac{\pi}{s}\right)}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  s
  (log
   (/
    1.0
    (+
     -1.0
     (/
      -1.0
      (+
       (/ u (- -1.0 (exp (/ PI (- s)))))
       (/ (- 1.0 u) (+ -1.0 (- -1.0 (/ PI s)))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return s * logf((1.0f / (-1.0f + (-1.0f / ((u / (-1.0f - expf((((float) M_PI) / -s)))) + ((1.0f - u) / (-1.0f + (-1.0f - (((float) M_PI) / s)))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s * log(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(-1.0) - exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) - Float32(Float32(pi) / s))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s * log((single(1.0) / (single(-1.0) + (single(-1.0) / ((u / (single(-1.0) - exp((single(pi) / -s)))) + ((single(1.0) - u) / (single(-1.0) + (single(-1.0) - (single(pi) / s)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}}\right)\right) \]

   3. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(-\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. log-lowering-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\color{blue}{\log \left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 98.9%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\log \left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\color{blue}{\frac{-\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1}\right)\right) \]

11. Taylor expanded in s around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. PI-lowering-PI.f32 86.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 86.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\log \left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 + \frac{\pi}{s}\right)}}} + -1}\right)\right) \]

14. Final simplification 86.6%

    \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{1}{-1 + \frac{-1}{\frac{u}{-1 - e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{-1 + \left(-1 - \frac{\pi}{s}\right)}}}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 8: 37.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{-1}{\frac{1 - u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}} - \frac{u}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log (+ -1.0 (/ -1.0 (- (/ (- 1.0 u) (- -1.0 (exp (/ PI s)))) (/ u 2.0)))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (-1.0f / (((1.0f - u) / (-1.0f - expf((((float) M_PI) / s)))) - (u / 2.0f)))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) - exp(Float32(Float32(pi) / s)))) - Float32(u / Float32(2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(-1.0) / (((single(1.0) - u) / (single(-1.0) - exp((single(pi) / s)))) - (u / single(2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \color{blue}{1}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{\color{blue}{2}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

10. Final simplification 37.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{-1}{\frac{1 - u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}} - \frac{u}{2}}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 37.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{\frac{1}{u}}{0.5 + \frac{-1}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log (+ -1.0 (/ (/ 1.0 u) (+ 0.5 (/ -1.0 (+ (exp (/ PI s)) 1.0))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + ((1.0f / u) / (0.5f + (-1.0f / (expf((((float) M_PI) / s)) + 1.0f))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) / u) / Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(-1.0) / Float32(exp(Float32(Float32(pi) / s)) + Float32(1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + ((single(1.0) / u) / (single(0.5) + (single(-1.0) / (exp((single(pi) / s)) + single(1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \color{blue}{1}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{\color{blue}{2}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

10. Taylor expanded in u around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)} - 1\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)} + -1\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}\right), -1\right)\right)\right) \]

12. Simplified 36.8%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{u}}{0.5 + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]

13. Final simplification 36.8%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{\frac{1}{u}}{0.5 + \frac{-1}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1}}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 36.9% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{-1}{\frac{1 - u}{-1 + \left(-1 - \frac{\pi + \frac{\frac{0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}{s} + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.5}{s}}{s}\right)} - \frac{u}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     -1.0
     (-
      (/
       (- 1.0 u)
       (+
        -1.0
        (-
         -1.0
         (/
          (+
           PI
           (/
            (+
             (/ (* 0.16666666666666666 (* PI (* PI PI))) s)
             (* (* PI PI) 0.5))
            s))
          s))))
      (/ u 2.0)))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (-1.0f / (((1.0f - u) / (-1.0f + (-1.0f - ((((float) M_PI) + ((((0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) / s) + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * 0.5f)) / s)) / s)))) - (u / 2.0f)))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) - Float32(Float32(Float32(pi) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) / s) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(0.5))) / s)) / s)))) - Float32(u / Float32(2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(-1.0) / (((single(1.0) - u) / (single(-1.0) + (single(-1.0) - ((single(pi) + ((((single(0.16666666666666666) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) / s) + ((single(pi) * single(pi)) * single(0.5))) / s)) / s)))) - (u / single(2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \color{blue}{1}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{\color{blue}{2}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

10. Taylor expanded in s around -inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    2. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

12. Simplified 36.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{2} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{-\left(\pi + \frac{\frac{0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}{s} + 0.5 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{s}\right)}{s}\right)}}} + -1\right) \]

13. Final simplification 36.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{-1}{\frac{1 - u}{-1 + \left(-1 - \frac{\pi + \frac{\frac{0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}{s} + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.5}{s}}{s}\right)} - \frac{u}{2}}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 11: 36.7% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{-1}{\frac{1 - u}{-1 + \left(-1 + \frac{-0.5 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{s} - \pi}{s}\right)} - \frac{u}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     -1.0
     (-
      (/ (- 1.0 u) (+ -1.0 (+ -1.0 (/ (- (* -0.5 (/ (* PI PI) s)) PI) s))))
      (/ u 2.0)))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (-1.0f / (((1.0f - u) / (-1.0f + (-1.0f + (((-0.5f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) / s)) - ((float) M_PI)) / s)))) - (u / 2.0f)))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(-0.5) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) / s)) - Float32(pi)) / s)))) - Float32(u / Float32(2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(-1.0) / (((single(1.0) - u) / (single(-1.0) + (single(-1.0) + (((single(-0.5) * ((single(pi) * single(pi)) / s)) - single(pi)) / s)))) - (u / single(2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \color{blue}{1}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{\color{blue}{2}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

10. Taylor expanded in s around -inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    2. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    6. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    7. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} - \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    8. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 36.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

12. Simplified 36.4%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{2} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{-0.5 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{s} - \pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

13. Final simplification 36.4%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{-1}{\frac{1 - u}{-1 + \left(-1 + \frac{-0.5 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{s} - \pi}{s}\right)} - \frac{u}{2}}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 12: 36.2% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{-1}{\frac{1 - u}{-1 + \left(-1 - \frac{\pi}{s}\right)} - \frac{u}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+ -1.0 (/ -1.0 (- (/ (- 1.0 u) (+ -1.0 (- -1.0 (/ PI s)))) (/ u 2.0)))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (-1.0f / (((1.0f - u) / (-1.0f + (-1.0f - (((float) M_PI) / s)))) - (u / 2.0f)))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) - Float32(Float32(pi) / s)))) - Float32(u / Float32(2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(-1.0) / (((single(1.0) - u) / (single(-1.0) + (single(-1.0) - (single(pi) / s)))) - (u / single(2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \color{blue}{1}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{\color{blue}{2}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

10. Taylor expanded in s around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    3. PI-lowering-PI.f32 35.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

12. Simplified 35.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{2} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 + \frac{\pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

13. Final simplification 35.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{-1}{\frac{1 - u}{-1 + \left(-1 - \frac{\pi}{s}\right)} - \frac{u}{2}}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 13: 25.1% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(4 \cdot \frac{\pi \cdot \left(u \cdot -0.25 + 0.25\right)}{s} + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (+ (* 4.0 (/ (* PI (+ (* u -0.25) 0.25)) s)) 1.0))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(((4.0f * ((((float) M_PI) * ((u * -0.25f) + 0.25f)) / s)) + 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(4.0) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(u * Float32(-0.25)) + Float32(0.25))) / s)) + Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log(((single(4.0) * ((single(pi) * ((u * single(-0.25)) + single(0.25))) / s)) + single(1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \color{blue}{1}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 37.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{\color{blue}{2}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

10. Taylor expanded in s around -inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(4, \left(\frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{-1}{4} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{-1}{4} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot u\right), \frac{1}{4}\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 24.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, u\right), \frac{1}{4}\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{\pi \cdot \left(-0.25 \cdot u + 0.25\right)}{s}\right)} \]

13. Final simplification 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(4 \cdot \frac{\pi \cdot \left(u \cdot -0.25 + 0.25\right)}{s} + 1\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 14: 14.2% accurate, 10.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\\ \frac{-1}{\frac{s}{\left(t\_0 \cdot -4 + \frac{0.5}{s} \cdot \left(0 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right)\right) \cdot \frac{s \cdot s}{s}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (+ (/ u 2.0) -0.25))))
   (/
    -1.0
    (/
     s
     (* (+ (* t_0 -4.0) (* (/ 0.5 s) (* 0.0 (* t_0 t_0)))) (/ (* s s) s))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * ((u / 2.0f) + -0.25f);
	return -1.0f / (s / (((t_0 * -4.0f) + ((0.5f / s) * (0.0f * (t_0 * t_0)))) * ((s * s) / s)));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(u / Float32(2.0)) + Float32(-0.25)))
	return Float32(Float32(-1.0) / Float32(s / Float32(Float32(Float32(t_0 * Float32(-4.0)) + Float32(Float32(Float32(0.5) / s) * Float32(Float32(0.0) * Float32(t_0 * t_0)))) * Float32(Float32(s * s) / s))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(pi) * ((u / single(2.0)) + single(-0.25));
	tmp = single(-1.0) / (s / (((t_0 * single(-4.0)) + ((single(0.5) / s) * (single(0.0) * (t_0 * t_0)))) * ((s * s) / s)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}}{s}\right)}\right) \]

7. Simplified 11.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -16\right) + \left(0 + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right)\right) \cdot 0.5}{s}}{s}} \]

9. Applied egg-rr 11.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{s}{\left(-s\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right) \cdot -4 + \frac{0.5}{s} \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right)\right) \cdot 0\right)\right)}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 0\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. flip-- N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 0\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 \cdot 0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 0\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), -4\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 0\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right)}, -4\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 0\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)}\right), -4\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 0\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 14.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \color{blue}{-4}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, 2\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right), 0\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 14.0%

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{s}{\color{blue}{\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}} \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right) \cdot -4 + \frac{0.5}{s} \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right)\right) \cdot 0\right)\right)}} \]

12. Final simplification 14.0%

    \[\leadsto \frac{-1}{\frac{s}{\left(\left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right) \cdot -4 + \frac{0.5}{s} \cdot \left(0 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{s \cdot s}{s}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 15: 14.0% accurate, 43.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{s \cdot s}{-s}}{\frac{s}{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (/ (/ (* s s) (- s)) (/ s PI)))

C

float code(float u, float s) {
	return ((s * s) / -s) / (s / ((float) M_PI));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(s * s) / Float32(-s)) / Float32(s / Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = ((s * s) / -s) / (s / single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 11.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   2. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(s\right)}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\frac{\color{blue}{s}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 11.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 11.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-s}{\frac{s}{\pi}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    2. flip-- N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 \cdot 0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 13.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 13.8%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}}}{\frac{s}{\pi}} \]

12. Final simplification 13.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{s \cdot s}{-s}}{\frac{s}{\pi}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 16: 13.9% accurate, 43.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{s} \cdot \frac{s \cdot s}{-s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (/ PI s) (/ (* s s) (- s))))

C

float code(float u, float s) {
	return (((float) M_PI) / s) * ((s * s) / -s);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(pi) / s) * Float32(Float32(s * s) / Float32(-s)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (single(pi) / s) * ((s * s) / -s);
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 11.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 \cdot 0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 13.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 13.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}} \cdot \frac{\pi}{s} \]

10. Final simplification 13.7%

    \[\leadsto \frac{\pi}{s} \cdot \frac{s \cdot s}{-s} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 17: 11.6% accurate, 48.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u \cdot \left(\pi \cdot 2 - \frac{\pi}{u}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* u (- (* PI 2.0) (/ PI u))))

C

float code(float u, float s) {
	return u * ((((float) M_PI) * 2.0f) - (((float) M_PI) / u));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(u * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)) - Float32(Float32(pi) / u)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = u * ((single(pi) * single(2.0)) - (single(pi) / u));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}}{s}\right)}\right) \]

7. Simplified 11.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -16\right) + \left(0 + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right)\right) \cdot 0.5}{s}}{s}} \]

9. Applied egg-rr 11.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{s}{\left(-s\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right) \cdot -4 + \frac{0.5}{s} \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right)\right) \cdot 0\right)\right)}}} \]

10. Taylor expanded in u around inf

    \[\leadsto \color{blue}{u \cdot \left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}}\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)\right)\right)\right) \]

    4. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}}\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)}\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right), \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{u}\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{u}\right)\right)\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{u}\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 11.3%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right)\right)\right) \]

12. Simplified 11.3%

    \[\leadsto \color{blue}{u \cdot \left(\pi \cdot 2 - \frac{\pi}{u}\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 18: 11.6% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \pi \cdot \left(-1 + u \cdot 2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* PI (+ -1.0 (* u 2.0))))

C

float code(float u, float s) {
	return ((float) M_PI) * (-1.0f + (u * 2.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(u * Float32(2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = single(pi) * (single(-1.0) + (u * single(2.0)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}}{s}\right)}\right) \]

7. Simplified 11.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -4 + \frac{\left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot -16\right) + \left(0 + \left(\left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right)\right) \cdot 16\right)\right) \cdot 0.5}{s}}{s}} \]

9. Applied egg-rr 11.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{s}{\left(-s\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right) \cdot -4 + \frac{0.5}{s} \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\frac{u}{2} + -0.25\right)\right)\right) \cdot 0\right)\right)}}} \]

10. Taylor expanded in u around 0

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(2 \cdot u\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

    2. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + 2 \cdot u\right)} \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(-1 + 2 \cdot u\right)}\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{-1} + 2 \cdot u\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(2 \cdot u\right)}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 11.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{u}\right)\right)\right) \]

12. Simplified 11.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\pi \cdot \left(-1 + 2 \cdot u\right)} \]

13. Final simplification 11.3%

    \[\leadsto \pi \cdot \left(-1 + u \cdot 2\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 19: 11.4% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 - \frac{s}{\frac{s}{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- 0.0 (/ s (/ s PI))))

C

float code(float u, float s) {
	return 0.0f - (s / (s / ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(0.0) - Float32(s / Float32(s / Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = single(0.0) - (s / (s / single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 11.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   2. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(s\right)}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\frac{\color{blue}{s}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 11.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 11.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-s}{\frac{s}{\pi}}} \]

10. Final simplification 11.0%

    \[\leadsto 0 - \frac{s}{\frac{s}{\pi}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 20: 11.4% accurate, 216.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- PI))

C

float code(float u, float s) {
	return -((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(-Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 11.0%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 11.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-\pi} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (u s)
  :name "Sample trimmed logistic on [-pi, pi]"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)) (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631)))
  (* (- s) (log (- (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) 1.0))))