UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 25.9s

Alternatives: 27

Speedup: 1.3×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ t_1 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_2 := {\left(1 + t\_1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\\ \mathsf{fma}\left(t\_2 \cdot \sin t\_0, yi, \cos t\_0 \cdot \left(t\_2 \cdot xi\right) + ux \cdot \left(t\_1 \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI)))
        (t_1 (* (- 1.0 ux) maxCos))
        (t_2 (pow (+ 1.0 (* t_1 (* ux (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))) 0.5)))
   (fma (* t_2 (sin t_0)) yi (+ (* (cos t_0) (* t_2 xi)) (* ux (* t_1 zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float t_1 = (1.0f - ux) * maxCos;
	float t_2 = powf((1.0f + (t_1 * (ux * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))), 0.5f);
	return fmaf((t_2 * sinf(t_0)), yi, ((cosf(t_0) * (t_2 * xi)) + (ux * (t_1 * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	t_1 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	t_2 = Float32(Float32(1.0) + Float32(t_1 * Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) ^ Float32(0.5)
	return fma(Float32(t_2 * sin(t_0)), yi, Float32(Float32(cos(t_0) * Float32(t_2 * xi)) + Float32(ux * Float32(t_1 * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(xi \cdot {\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right) + ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)} \]

5. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \left({\left(1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot xi\right) + ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* ux (* maxCos (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (+
    (* xi (cos (* uy (* 2.0 PI))))
    (* yi (* 2.0 (* (sin (* uy PI)) (cos (* uy PI)))))))
  (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (ux * (maxCos * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) * ((xi * cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI))))) + (yi * (2.0f * (sinf((uy * ((float) M_PI))) * cosf((uy * ((float) M_PI)))))))) + ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))) + Float32(yi * Float32(Float32(2.0) * Float32(sin(Float32(uy * Float32(pi))) * cos(Float32(uy * Float32(pi)))))))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (ux * (maxCos * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) * ((xi * cos((uy * (single(2.0) * single(pi))))) + (yi * (single(2.0) * (sin((uy * single(pi))) * cos((uy * single(pi)))))))) + ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. sin-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right), \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right), \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), uy\right)\right), \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), uy\right)\right), \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), uy\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), uy\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), uy\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), uy\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), uy\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot uy\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot uy\right)\right)\right)} \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
  (*
   (+
    1.0
    (* (* 0.5 (* maxCos maxCos)) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)))))
   (+
    (* xi (cos (* uy (* 2.0 PI))))
    (* 2.0 (* yi (* (sin (* uy PI)) (cos (* uy PI)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((1.0f + ((0.5f * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f))))) * ((xi * cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI))))) + (2.0f * (yi * (sinf((uy * ((float) M_PI))) * cosf((uy * ((float) M_PI))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(0.5) * Float32(maxCos * maxCos)) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(yi * Float32(sin(Float32(uy * Float32(pi))) * cos(Float32(uy * Float32(pi)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((single(1.0) + ((single(0.5) * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0)))))) * ((xi * cos((uy * (single(2.0) * single(pi))))) + (single(2.0) * (yi * (sin((uy * single(pi))) * cos((uy * single(pi))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \left(\sin \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \left(\sin \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \left(\left(2 \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \left(2 \cdot \left(\left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot yi\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot yi\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), yi\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\left(\sin \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

10. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos t\_0 + yi \cdot \sin t\_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+
    (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* ux (* maxCos (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
     (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (ux * (maxCos * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) * ((xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) * Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (ux * (maxCos * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) * ((xi * cos(t_0)) + (yi * sin(t_0))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \cos t\_0 + yi \cdot \sin t\_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+
    (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
    (*
     (+
      1.0
      (* (* 0.5 (* maxCos maxCos)) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)))))
     (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((1.0f + ((0.5f * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f))))) * ((xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(0.5) * Float32(maxCos * maxCos)) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))) * Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((single(1.0) + ((single(0.5) * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0)))))) * ((xi * cos(t_0)) + (yi * sin(t_0))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos t\_0 \cdot xi + \sin t\_0 \cdot yi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
    (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((cos(t_0) * xi) + (sin(t_0) * yi));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \left(\cos t\_0 \cdot xi + \sin t\_0 \cdot yi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi))
    (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return ((cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi)) + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi)) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = ((cos(t_0) * xi) + (sin(t_0) * yi)) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi);
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
7. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.3% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\\ t_1 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ t_2 := yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ t_3 := xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.009999999776482582:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot t\_2\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(t\_3 \cdot t\_0\right) + uy \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot yi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) + uy \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(t\_2 \cdot t\_0\right)\right) + t\_3 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot t\_0\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;yi \cdot \left(\sin t\_1 + \frac{\cos t\_1 \cdot xi}{yi}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) (- 1.0 ux)))
        (t_1 (* 2.0 (* uy PI)))
        (t_2 (* yi (* PI (* PI PI))))
        (t_3 (* xi (* ux ux))))
   (if (<= uy 0.009999999776482582)
     (+
      (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
      (+
       (+
        xi
        (*
         uy
         (+
          (* 2.0 (* PI yi))
          (*
           uy
           (+ (* (* xi -2.0) (* PI PI)) (* (* uy -1.3333333333333333) t_2))))))
       (*
        (* maxCos maxCos)
        (+
         (* -0.5 (* t_3 t_0))
         (*
          uy
          (+
           (* (* ux ux) (* (* PI yi) (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0))))
           (*
            uy
            (+
             (* 0.6666666666666666 (* (* uy (* ux ux)) (* t_2 t_0)))
             (* t_3 (* (* PI PI) t_0))))))))))
     (* yi (+ (sin t_1) (/ (* (cos t_1) xi) yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * (1.0f - ux);
	float t_1 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float t_2 = yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)));
	float t_3 = xi * (ux * ux);
	float tmp;
	if (uy <= 0.009999999776482582f) {
		tmp = ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((uy * -1.3333333333333333f) * t_2)))))) + ((maxCos * maxCos) * ((-0.5f * (t_3 * t_0)) + (uy * (((ux * ux) * ((((float) M_PI) * yi) * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)))) + (uy * ((0.6666666666666666f * ((uy * (ux * ux)) * (t_2 * t_0))) + (t_3 * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * t_0)))))))));
	} else {
		tmp = yi * (sinf(t_1) + ((cosf(t_1) * xi) / yi));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(1.0) - ux))
	t_1 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	t_2 = Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))
	t_3 = Float32(xi * Float32(ux * ux))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.009999999776482582))
		tmp = Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333)) * t_2)))))) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(Float32(Float32(-0.5) * Float32(t_3 * t_0)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(pi) * yi) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(0.6666666666666666) * Float32(Float32(uy * Float32(ux * ux)) * Float32(t_2 * t_0))) + Float32(t_3 * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * t_0))))))))));
	else
		tmp = Float32(yi * Float32(sin(t_1) + Float32(Float32(cos(t_1) * xi) / yi)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) * (single(1.0) - ux);
	t_1 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	t_2 = yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)));
	t_3 = xi * (ux * ux);
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.009999999776482582))
		tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + ((uy * single(-1.3333333333333333)) * t_2)))))) + ((maxCos * maxCos) * ((single(-0.5) * (t_3 * t_0)) + (uy * (((ux * ux) * ((single(pi) * yi) * ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0))))) + (uy * ((single(0.6666666666666666) * ((uy * (ux * ux)) * (t_2 * t_0))) + (t_3 * ((single(pi) * single(pi)) * t_0)))))))));
	else
		tmp = yi * (sin(t_1) + ((cos(t_1) * xi) / yi));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00999999978

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right) + {maxCos}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right) + uy \cdot \left(-1 \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(yi \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) + {ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   8. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot xi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(yi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \left(\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot uy\right) \cdot \left(\left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot xi\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   if 0.00999999978 < uy

   1. Initial program 97.8%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in yi around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right), \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{yi}\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)}\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{yi}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{xi} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{yi}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 93.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{yi}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.009999999776482582:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\left(xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot yi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) + uy \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi}{yi}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \left(\cos t\_0 \cdot xi + \sin t\_0 \cdot yi\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+ (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi)) (* maxCos (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return ((cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi)) + (maxCos * (ux * zi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi)) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = ((cos(t_0) * xi) + (sin(t_0) * yi)) + (maxCos * (ux * zi));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

7. Simplified 95.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

8. Final simplification 95.7%

   \[\leadsto \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 10: 97.4% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\\ t_1 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ t_2 := yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ t_3 := xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.009999999776482582:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot t\_2\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(t\_3 \cdot t\_0\right) + uy \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot yi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) + uy \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(t\_2 \cdot t\_0\right)\right) + t\_3 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot t\_0\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_1 \cdot xi + \sin t\_1 \cdot yi\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) (- 1.0 ux)))
        (t_1 (* 2.0 (* uy PI)))
        (t_2 (* yi (* PI (* PI PI))))
        (t_3 (* xi (* ux ux))))
   (if (<= uy 0.009999999776482582)
     (+
      (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
      (+
       (+
        xi
        (*
         uy
         (+
          (* 2.0 (* PI yi))
          (*
           uy
           (+ (* (* xi -2.0) (* PI PI)) (* (* uy -1.3333333333333333) t_2))))))
       (*
        (* maxCos maxCos)
        (+
         (* -0.5 (* t_3 t_0))
         (*
          uy
          (+
           (* (* ux ux) (* (* PI yi) (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0))))
           (*
            uy
            (+
             (* 0.6666666666666666 (* (* uy (* ux ux)) (* t_2 t_0)))
             (* t_3 (* (* PI PI) t_0))))))))))
     (+ (* (cos t_1) xi) (* (sin t_1) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * (1.0f - ux);
	float t_1 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float t_2 = yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)));
	float t_3 = xi * (ux * ux);
	float tmp;
	if (uy <= 0.009999999776482582f) {
		tmp = ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((uy * -1.3333333333333333f) * t_2)))))) + ((maxCos * maxCos) * ((-0.5f * (t_3 * t_0)) + (uy * (((ux * ux) * ((((float) M_PI) * yi) * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)))) + (uy * ((0.6666666666666666f * ((uy * (ux * ux)) * (t_2 * t_0))) + (t_3 * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * t_0)))))))));
	} else {
		tmp = (cosf(t_1) * xi) + (sinf(t_1) * yi);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(1.0) - ux))
	t_1 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	t_2 = Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))
	t_3 = Float32(xi * Float32(ux * ux))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.009999999776482582))
		tmp = Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333)) * t_2)))))) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(Float32(Float32(-0.5) * Float32(t_3 * t_0)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(pi) * yi) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(0.6666666666666666) * Float32(Float32(uy * Float32(ux * ux)) * Float32(t_2 * t_0))) + Float32(t_3 * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * t_0))))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(cos(t_1) * xi) + Float32(sin(t_1) * yi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) * (single(1.0) - ux);
	t_1 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	t_2 = yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)));
	t_3 = xi * (ux * ux);
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.009999999776482582))
		tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + ((uy * single(-1.3333333333333333)) * t_2)))))) + ((maxCos * maxCos) * ((single(-0.5) * (t_3 * t_0)) + (uy * (((ux * ux) * ((single(pi) * yi) * ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0))))) + (uy * ((single(0.6666666666666666) * ((uy * (ux * ux)) * (t_2 * t_0))) + (t_3 * ((single(pi) * single(pi)) * t_0)))))))));
	else
		tmp = (cos(t_1) * xi) + (sin(t_1) * yi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00999999978

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right) + {maxCos}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right) + uy \cdot \left(-1 \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(yi \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) + {ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   8. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot xi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(yi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \left(\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot uy\right) \cdot \left(\left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot xi\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   if 0.00999999978 < uy

   1. Initial program 97.8%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 93.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 93.3%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.009999999776482582:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\left(xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot yi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) + uy \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 94.1% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
  (*
   (+
    1.0
    (* (* 0.5 (* maxCos maxCos)) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)))))
   (+
    (* xi (cos (* uy (* 2.0 PI))))
    (*
     uy
     (+
      (* 2.0 (* PI yi))
      (* (* yi (* PI (* PI PI))) (* -1.3333333333333333 (* uy uy)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((1.0f + ((0.5f * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f))))) * ((xi * cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI))))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + ((yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(0.5) * Float32(maxCos * maxCos)) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((single(1.0) + ((single(0.5) * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0)))))) * ((xi * cos((uy * (single(2.0) * single(pi))))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + ((yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   17. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   19. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   20. PI-lowering-PI.f32 94.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 94.1%

    \[\leadsto \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Final simplification 94.1%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 93.9% accurate, 3.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
  (+
   (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi)
   (*
    yi
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* PI (* PI PI)) (* -1.3333333333333333 (* uy uy)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi) + (yi * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi) + Float32(yi * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * xi) + (yi * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    8. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    17. PI-lowering-PI.f32 94.0%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 94.0%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

14. Final simplification 94.0%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 13: 93.1% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \left(xi + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos)))
  (+
   (* (sin (* 2.0 (* uy PI))) yi)
   (+ xi (* (* -2.0 (* uy uy)) (* xi (* PI PI)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * yi) + (xi + ((-2.0f * (uy * uy)) * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * yi) + Float32(xi + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((sin((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * yi) + (xi + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (xi * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 91.8%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 91.8%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(xi + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

14. Final simplification 91.8%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \left(xi + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 14: 92.3% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\\ t_1 := yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ t_2 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ t_3 := xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot t\_1\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(t\_3 \cdot t\_0\right) + uy \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot yi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) + uy \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(t\_1 \cdot t\_0\right)\right) + t\_3 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot t\_0\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos t\_2 \cdot xi + t\_2 \cdot yi\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) (- 1.0 ux)))
        (t_1 (* yi (* PI (* PI PI))))
        (t_2 (* 2.0 (* uy PI)))
        (t_3 (* xi (* ux ux))))
   (if (<= uy 0.05999999865889549)
     (+
      (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
      (+
       (+
        xi
        (*
         uy
         (+
          (* 2.0 (* PI yi))
          (*
           uy
           (+ (* (* xi -2.0) (* PI PI)) (* (* uy -1.3333333333333333) t_1))))))
       (*
        (* maxCos maxCos)
        (+
         (* -0.5 (* t_3 t_0))
         (*
          uy
          (+
           (* (* ux ux) (* (* PI yi) (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0))))
           (*
            uy
            (+
             (* 0.6666666666666666 (* (* uy (* ux ux)) (* t_1 t_0)))
             (* t_3 (* (* PI PI) t_0))))))))))
     (+ (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos))) (+ (* (cos t_2) xi) (* t_2 yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * (1.0f - ux);
	float t_1 = yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)));
	float t_2 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float t_3 = xi * (ux * ux);
	float tmp;
	if (uy <= 0.05999999865889549f) {
		tmp = ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((uy * -1.3333333333333333f) * t_1)))))) + ((maxCos * maxCos) * ((-0.5f * (t_3 * t_0)) + (uy * (((ux * ux) * ((((float) M_PI) * yi) * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)))) + (uy * ((0.6666666666666666f * ((uy * (ux * ux)) * (t_1 * t_0))) + (t_3 * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * t_0)))))))));
	} else {
		tmp = ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((cosf(t_2) * xi) + (t_2 * yi));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(1.0) - ux))
	t_1 = Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))
	t_2 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	t_3 = Float32(xi * Float32(ux * ux))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.05999999865889549))
		tmp = Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333)) * t_1)))))) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(Float32(Float32(-0.5) * Float32(t_3 * t_0)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(pi) * yi) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(0.6666666666666666) * Float32(Float32(uy * Float32(ux * ux)) * Float32(t_1 * t_0))) + Float32(t_3 * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * t_0))))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(cos(t_2) * xi) + Float32(t_2 * yi)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) * (single(1.0) - ux);
	t_1 = yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)));
	t_2 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	t_3 = xi * (ux * ux);
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.05999999865889549))
		tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + ((uy * single(-1.3333333333333333)) * t_1)))))) + ((maxCos * maxCos) * ((single(-0.5) * (t_3 * t_0)) + (uy * (((ux * ux) * ((single(pi) * yi) * ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0))))) + (uy * ((single(0.6666666666666666) * ((uy * (ux * ux)) * (t_1 * t_0))) + (t_3 * ((single(pi) * single(pi)) * t_0)))))))));
	else
		tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((cos(t_2) * xi) + (t_2 * yi));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0599999987

   1. Initial program 99.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right) + {maxCos}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right) + uy \cdot \left(-1 \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(yi \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) + {ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   8. Simplified 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot xi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(yi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \left(\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot uy\right) \cdot \left(\left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot xi\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   if 0.0599999987 < uy

   1. Initial program 97.4%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f32 97.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 96.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       3. PI-lowering-PI.f32 68.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 68.0%

       \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\left(xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot yi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) + uy \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 92.1% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos t\_0 \cdot xi + t\_0 \cdot yi\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= uy 0.05999999865889549)
     (+
      (*
       uy
       (+
        (* 2.0 (* PI yi))
        (*
         uy
         (+
          (* (* xi -2.0) (* PI PI))
          (* (* uy -1.3333333333333333) (* yi (* PI (* PI PI))))))))
      (+ xi (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) zi))))
     (+ (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos))) (+ (* (cos t_0) xi) (* t_0 yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (uy <= 0.05999999865889549f) {
		tmp = (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((uy * -1.3333333333333333f) * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))))) + (xi + ((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * zi)));
	} else {
		tmp = ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((cosf(t_0) * xi) + (t_0 * yi));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.05999999865889549))
		tmp = Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333)) * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))) + Float32(xi + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(t_0 * yi)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.05999999865889549))
		tmp = (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + ((uy * single(-1.3333333333333333)) * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))))))) + (xi + ((ux * maxCos) * ((single(1.0) - ux) * zi)));
	else
		tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + ((cos(t_0) * xi) + (t_0 * yi));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0599999987

   1. Initial program 99.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0599999987 < uy

   1. Initial program 97.4%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f32 97.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 96.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       3. PI-lowering-PI.f32 68.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 68.0%

       \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 91.1% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.05999999865889549)
   (+
    (*
     uy
     (+
      (* 2.0 (* PI yi))
      (*
       uy
       (+
        (* (* xi -2.0) (* PI PI))
        (* (* uy -1.3333333333333333) (* yi (* PI (* PI PI))))))))
    (+ xi (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) zi))))
   (+ (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos))) (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.05999999865889549f) {
		tmp = (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((uy * -1.3333333333333333f) * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))))) + (xi + ((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * zi)));
	} else {
		tmp = ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + (cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.05999999865889549))
		tmp = Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333)) * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))) + Float32(xi + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.05999999865889549))
		tmp = (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + ((uy * single(-1.3333333333333333)) * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))))))) + (xi + ((ux * maxCos) * ((single(1.0) - ux) * zi)));
	else
		tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + (cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * xi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0599999987

   1. Initial program 99.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0599999987 < uy

   1. Initial program 97.4%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f32 97.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 96.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in xi around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       5. PI-lowering-PI.f32 63.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 63.2%

       \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 89.5% accurate, 11.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (*
   uy
   (+
    (* 2.0 (* PI yi))
    (*
     uy
     (+
      (* (* xi -2.0) (* PI PI))
      (* (* uy -1.3333333333333333) (* yi (* PI (* PI PI))))))))
  (+ xi (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((uy * -1.3333333333333333f) * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))))) + (xi + ((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333)) * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))) + Float32(xi + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + ((uy * single(-1.3333333333333333)) * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))))))) + (xi + ((ux * maxCos) * ((single(1.0) - ux) * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 88.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 88.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 88.4%

   \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 18: 86.9% accurate, 12.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(xi + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (*
   uy
   (+
    (* 2.0 (* PI yi))
    (*
     uy
     (+
      (* (* xi -2.0) (* PI PI))
      (* (* uy -1.3333333333333333) (* yi (* PI (* PI PI))))))))
  (+ xi (* zi (* ux maxCos)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((uy * -1.3333333333333333f) * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))))) + (xi + (zi * (ux * maxCos)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333)) * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))) + Float32(xi + Float32(zi * Float32(ux * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + ((uy * single(-1.3333333333333333)) * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))))))) + (xi + (zi * (ux * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 88.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 85.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 85.5%

   \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + \left(xi + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 19: 86.1% accurate, 15.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  xi
  (+
   (* maxCos (* (- 1.0 ux) (* ux zi)))
   (* uy (+ (* 2.0 (* PI yi)) (* (* xi (* PI PI)) (* uy -2.0)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + ((maxCos * ((1.0f - ux) * (ux * zi))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + ((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * -2.0f)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * zi))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(-2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + ((maxCos * ((single(1.0) - ux) * (ux * zi))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + ((xi * (single(pi) * single(pi))) * (uy * single(-2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + xi \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 84.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\left(yi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 84.3%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]

14. Final simplification 84.3%

    \[\leadsto xi + \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 20: 83.6% accurate, 18.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+ xi (* zi (* ux maxCos)))
  (* uy (+ (* 2.0 (* PI yi)) (* uy (* -2.0 (* xi (* PI PI))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi + (zi * (ux * maxCos))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi + Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi + (zi * (ux * maxCos))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 88.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 85.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 81.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 81.4%

    \[\leadsto \left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)}\right) \]

12. Final simplification 81.4%

    \[\leadsto \left(xi + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 21: 83.6% accurate, 18.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* uy (+ (* 2.0 (* PI yi)) (* (* xi (* PI PI)) (* uy -2.0))))
  (+ xi (* maxCos (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + ((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * -2.0f)))) + (xi + (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(-2.0))))) + Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + ((xi * (single(pi) * single(pi))) * (uy * single(-2.0))))) + (xi + (maxCos * (ux * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + xi \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 84.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\left(yi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot uy\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 81.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \]

14. Final simplification 81.4%

    \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 22: 62.3% accurate, 21.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;yi \leq -3.999999984016789 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;yi \leq 9.9999998245167 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;xi + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy (* PI yi)))))
   (if (<= yi -3.999999984016789e-11)
     t_0
     (if (<= yi 9.9999998245167e-14)
       (+ xi (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos))))
       t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi));
	float tmp;
	if (yi <= -3.999999984016789e-11f) {
		tmp = t_0;
	} else if (yi <= 9.9999998245167e-14f) {
		tmp = xi + ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (yi <= Float32(-3.999999984016789e-11))
		tmp = t_0;
	elseif (yi <= Float32(9.9999998245167e-14))
		tmp = Float32(xi + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi));
	tmp = single(0.0);
	if (yi <= single(-3.999999984016789e-11))
		tmp = t_0;
	elseif (yi <= single(9.9999998245167e-14))
		tmp = xi + ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if yi < -3.99999998e-11 or 9.99999982e-14 < yi

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f32 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in yi around inf

       \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

       2. sin-lowering-sin.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. PI-lowering-PI.f32 64.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 64.7%

       \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

       4. PI-lowering-PI.f32 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 53.7%

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \]

   if -3.99999998e-11 < yi < 9.99999982e-14

   1. Initial program 99.1%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f32 99.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{xi}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 65.9%

       \[\leadsto \color{blue}{xi} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;yi \leq -3.999999984016789 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;yi \leq 9.9999998245167 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;xi + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 82.0% accurate, 24.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ (* (- 1.0 ux) (* zi (* ux maxCos))) (+ xi (* 2.0 (* uy (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((1.0f - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + (xi + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * Float32(ux * maxCos))) + Float32(xi + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(1.0) - ux) * (zi * (ux * maxCos))) + (xi + (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 81.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 81.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

14. Final simplification 81.1%

    \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 24: 60.6% accurate, 27.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;yi \leq -3.999999984016789 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;yi \leq 9.9999998245167 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy (* PI yi)))))
   (if (<= yi -3.999999984016789e-11)
     t_0
     (if (<= yi 9.9999998245167e-14) (+ xi (* maxCos (* ux zi))) t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi));
	float tmp;
	if (yi <= -3.999999984016789e-11f) {
		tmp = t_0;
	} else if (yi <= 9.9999998245167e-14f) {
		tmp = xi + (maxCos * (ux * zi));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (yi <= Float32(-3.999999984016789e-11))
		tmp = t_0;
	elseif (yi <= Float32(9.9999998245167e-14))
		tmp = Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * zi)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi));
	tmp = single(0.0);
	if (yi <= single(-3.999999984016789e-11))
		tmp = t_0;
	elseif (yi <= single(9.9999998245167e-14))
		tmp = xi + (maxCos * (ux * zi));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if yi < -3.99999998e-11 or 9.99999982e-14 < yi

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f32 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in yi around inf

       \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

       2. sin-lowering-sin.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. PI-lowering-PI.f32 64.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 64.7%

       \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

       4. PI-lowering-PI.f32 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 53.7%

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \]

   if -3.99999998e-11 < yi < 9.99999982e-14

   1. Initial program 99.1%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 84.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right)}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 63.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{zi}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 63.3%

       \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;yi \leq -3.999999984016789 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;yi \leq 9.9999998245167 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 25: 79.6% accurate, 30.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (+ (* maxCos (* ux zi)) (* 2.0 (* uy (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + ((maxCos * (ux * zi)) + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * zi)) + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + ((maxCos * (ux * zi)) + (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 88.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 85.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot zi\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 78.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 78.1%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]

12. Final simplification 78.1%

    \[\leadsto xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 26: 32.6% accurate, 65.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 (* 2.0 (* uy (* PI yi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return 2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

11. Taylor expanded in yi around inf

    \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. sin-lowering-sin.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 37.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 37.5%

    \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

14. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 31.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 31.4%

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \]

17. Final simplification 31.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 27: 12.1% accurate, 92.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 (* zi (* ux maxCos)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return zi * (ux * maxCos);
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = zi * (ux * maxcos)
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(zi * Float32(ux * maxCos))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = zi * (ux * maxCos);
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(\color{blue}{zi} \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 13.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 13.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{zi} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \color{blue}{zi}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 11.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right) \]

10. Simplified 11.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi} \]

11. Final simplification 11.9%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))