Beckmann Distribution sample, tan2theta, alphax == alphay

Percentage Accurate: 56.0% → 98.9%

Time: 12.1s

Alternatives: 15

Speedup: 21.6×

Specification

\[\left(0.0001 \leq \alpha \land \alpha \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u0 \land u0 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (* (* (- alpha) alpha) (log (- 1.0 u0))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return (-alpha * alpha) * logf((1.0f - u0));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = (-alpha * alpha) * log((1.0e0 - u0))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(Float32(Float32(-alpha) * alpha) * log(Float32(Float32(1.0) - u0)))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = (-alpha * alpha) * log((single(1.0) - u0));
end

Initial Program: 56.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (* (* (- alpha) alpha) (log (- 1.0 u0))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return (-alpha * alpha) * logf((1.0f - u0));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = (-alpha * alpha) * log((1.0e0 - u0))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(Float32(Float32(-alpha) * alpha) * log(Float32(Float32(1.0) - u0)))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = (-alpha * alpha) * log((single(1.0) - u0));
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \alpha \cdot \left(\left(-\alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0) :precision binary32 (* alpha (* (- alpha) (log1p (- u0)))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return alpha * (-alpha * log1pf(-u0));
}

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(alpha * Float32(Float32(-alpha) * log1p(Float32(-u0))))
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \color{blue}{\log \left(1 - u0\right)}\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   3. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 - \color{blue}{u0}\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   7. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   8. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\color{blue}{u0}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   3. distribute-rgt-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \alpha\right)\right) \cdot \alpha \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   9. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   10. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   11. neg-lowering-neg.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right), \alpha\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)\right) \cdot \alpha} \]

9. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \alpha \cdot \left(\left(-\alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{log1p}\left(-u0\right) \cdot \left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (* (log1p (- u0)) (- 0.0 (* alpha alpha))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return log1pf(-u0) * (0.0f - (alpha * alpha));
}

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(log1p(Float32(-u0)) * Float32(Float32(0.0) - Float32(alpha * alpha)))
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \color{blue}{\log \left(1 - u0\right)}\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   3. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 - \color{blue}{u0}\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   7. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   8. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\color{blue}{u0}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right) \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(-u0\right) \cdot \left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 93.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\\ \frac{\left(1 - t\_0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)\right)}{t\_0 - -1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u0 (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25)))))))
   (/
    (*
     (- 1.0 (* t_0 (* u0 (+ -0.5 (* u0 -0.3333333333333333)))))
     (* alpha (* alpha u0)))
    (- t_0 -1.0))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	float t_0 = u0 * (-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f))));
	return ((1.0f - (t_0 * (u0 * (-0.5f + (u0 * -0.3333333333333333f))))) * (alpha * (alpha * u0))) / (t_0 - -1.0f);
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    real(4) :: t_0
    t_0 = u0 * ((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0)))))
    code = ((1.0e0 - (t_0 * (u0 * ((-0.5e0) + (u0 * (-0.3333333333333333e0)))))) * (alpha * (alpha * u0))) / (t_0 - (-1.0e0))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	t_0 = Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25))))))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(-0.3333333333333333)))))) * Float32(alpha * Float32(alpha * u0))) / Float32(t_0 - Float32(-1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	t_0 = u0 * (single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25)))));
	tmp = ((single(1.0) - (t_0 * (u0 * (single(-0.5) + (u0 * single(-0.3333333333333333)))))) * (alpha * (alpha * u0))) / (t_0 - single(-1.0));
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 94.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 94.0%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right)} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot u0\right) \]

   4. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot u0\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 93.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-\left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}{-1 - u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)} \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\left(\frac{\left(-1 \cdot -1 - \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)}{-1 - u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot -1 - \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right), \left(-1 - u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 94.2%

   \[\leadsto -\color{blue}{\frac{\left(1 - \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)\right)}{-1 - u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in u0 around 0

    \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 94.6%

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 94.6%

    \[\leadsto -\frac{\left(1 - \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)\right)}{-1 - u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)} \]

13. Final simplification 94.6%

    \[\leadsto \frac{\left(1 - \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)\right)}{u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right) - -1} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 93.2% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) - \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (-
  (* alpha (* alpha u0))
  (*
   (* u0 (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25)))))
   (* u0 (* alpha alpha)))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return (alpha * (alpha * u0)) - ((u0 * (-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f))))) * (u0 * (alpha * alpha)));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = (alpha * (alpha * u0)) - ((u0 * ((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0)))))) * (u0 * (alpha * alpha)))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(Float32(alpha * Float32(alpha * u0)) - Float32(Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25)))))) * Float32(u0 * Float32(alpha * alpha))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = (alpha * (alpha * u0)) - ((u0 * (single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25)))))) * (u0 * (alpha * alpha)));
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 94.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 94.0%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot -1} \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot -1\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) + \left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot -1} \]

8. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), u0\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({\alpha}^{2} \cdot u0\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), u0\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot u0\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), u0\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\alpha \cdot \color{blue}{\left(\alpha \cdot u0\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), u0\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \color{blue}{\left(\alpha \cdot u0\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 94.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), u0\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \color{blue}{u0}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 94.3%

    \[\leadsto \left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) + \color{blue}{\alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)} \]

11. Final simplification 94.3%

    \[\leadsto \alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) - \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 93.2% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(\left(u0 \cdot u0\right) \cdot 0.25 + \left(0.5 + u0 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  u0
  (+
   (* alpha alpha)
   (*
    (* u0 (* alpha alpha))
    (+ (* (* u0 u0) 0.25) (+ 0.5 (* u0 0.3333333333333333)))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return u0 * ((alpha * alpha) + ((u0 * (alpha * alpha)) * (((u0 * u0) * 0.25f) + (0.5f + (u0 * 0.3333333333333333f)))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = u0 * ((alpha * alpha) + ((u0 * (alpha * alpha)) * (((u0 * u0) * 0.25e0) + (0.5e0 + (u0 * 0.3333333333333333e0)))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(u0 * Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(Float32(u0 * Float32(alpha * alpha)) * Float32(Float32(Float32(u0 * u0) * Float32(0.25)) + Float32(Float32(0.5) + Float32(u0 * Float32(0.3333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = u0 * ((alpha * alpha) + ((u0 * (alpha * alpha)) * (((u0 * u0) * single(0.25)) + (single(0.5) + (u0 * single(0.3333333333333333))))));
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\alpha}^{2} + u0 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) + \frac{1}{3} \cdot {\alpha}^{2}\right)\right) + {\alpha}^{2}\right)} \]

5. Simplified 94.2%

   \[\leadsto \color{blue}{u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(\left(u0 \cdot u0\right) \cdot 0.25 + \left(0.5 + u0 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 6: 93.2% accurate, 5.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(u0 - \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot u0\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  (* alpha alpha)
  (- u0 (* (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25)))) (* u0 u0)))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return (alpha * alpha) * (u0 - ((-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f)))) * (u0 * u0)));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = (alpha * alpha) * (u0 - (((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0))))) * (u0 * u0)))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(Float32(alpha * alpha) * Float32(u0 - Float32(Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25))))) * Float32(u0 * u0))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = (alpha * alpha) * (u0 - ((single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25))))) * (u0 * u0)));
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 94.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 94.0%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot -1} \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot -1\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) + \left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot -1} \]

8. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{\alpha}^{2} \cdot \left(u0 + -1 \cdot \left({u0}^{2} \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\alpha}^{2}\right), \color{blue}{\left(u0 + -1 \cdot \left({u0}^{2} \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), \left(\color{blue}{u0} + -1 \cdot \left({u0}^{2} \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\color{blue}{u0} + -1 \cdot \left({u0}^{2} \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(u0 + \left(\mathsf{neg}\left({u0}^{2} \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(u0 - \color{blue}{{u0}^{2} \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \color{blue}{\left({u0}^{2} \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\left({u0}^{2}\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\left(u0 \cdot u0\right), \left(\color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \left(\color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f32 94.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 94.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(u0 - \left(u0 \cdot u0\right) \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 94.2%

    \[\leadsto \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(u0 - \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot u0\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 91.3% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha + u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.3333333333333333\right) + \alpha \cdot 0.5\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  alpha
  (*
   u0
   (+ alpha (* u0 (+ (* alpha (* u0 0.3333333333333333)) (* alpha 0.5)))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return alpha * (u0 * (alpha + (u0 * ((alpha * (u0 * 0.3333333333333333f)) + (alpha * 0.5f)))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = alpha * (u0 * (alpha + (u0 * ((alpha * (u0 * 0.3333333333333333e0)) + (alpha * 0.5e0)))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(alpha * Float32(u0 * Float32(alpha + Float32(u0 * Float32(Float32(alpha * Float32(u0 * Float32(0.3333333333333333))) + Float32(alpha * Float32(0.5)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = alpha * (u0 * (alpha + (u0 * ((alpha * (u0 * single(0.3333333333333333))) + (alpha * single(0.5))))));
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \color{blue}{\log \left(1 - u0\right)}\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   3. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 - \color{blue}{u0}\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   7. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   8. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\color{blue}{u0}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   3. distribute-rgt-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \alpha\right)\right) \cdot \alpha \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   9. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   10. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   11. neg-lowering-neg.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right), \alpha\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)\right) \cdot \alpha} \]

9. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\alpha + u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)}, \alpha\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\alpha + u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \left(u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \frac{1}{3}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    6. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot \frac{1}{3}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot u0\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(\frac{1}{3} \cdot u0\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(u0 \cdot \frac{1}{3}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{1}{3}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{1}{3}\right)\right), \left(\alpha \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 92.8%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

11. Simplified 92.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\alpha + u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.3333333333333333\right) + \alpha \cdot 0.5\right)\right)\right)} \cdot \alpha \]

12. Final simplification 92.8%

    \[\leadsto \alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha + u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.3333333333333333\right) + \alpha \cdot 0.5\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 8: 91.3% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(0.5 + u0 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  u0
  (+
   (* alpha alpha)
   (* (* u0 (* alpha alpha)) (+ 0.5 (* u0 0.3333333333333333))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return u0 * ((alpha * alpha) + ((u0 * (alpha * alpha)) * (0.5f + (u0 * 0.3333333333333333f))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = u0 * ((alpha * alpha) + ((u0 * (alpha * alpha)) * (0.5e0 + (u0 * 0.3333333333333333e0))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(u0 * Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(Float32(u0 * Float32(alpha * alpha)) * Float32(Float32(0.5) + Float32(u0 * Float32(0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = u0 * ((alpha * alpha) + ((u0 * (alpha * alpha)) * (single(0.5) + (u0 * single(0.3333333333333333)))));
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \color{blue}{\log \left(1 - u0\right)}\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   3. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 - \color{blue}{u0}\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   7. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   8. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\color{blue}{u0}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right) \]

7. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot {\alpha}^{2}\right) + {\alpha}^{2}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot {\alpha}^{2}\right) + {\alpha}^{2}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \left({\alpha}^{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot {\alpha}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\left({\alpha}^{2}\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot {\alpha}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), \left(\color{blue}{u0} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot {\alpha}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\color{blue}{u0} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot {\alpha}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\left(\frac{1}{3} \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right)\right) \cdot u0 + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {\alpha}^{2}\right) \cdot u0}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right)\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {\alpha}^{2}\right)} \cdot u0\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\left(u0 \cdot \frac{1}{3}\right) \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {\alpha}^{2}\right)} \cdot u0\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\left(u0 \cdot \frac{1}{3}\right) \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left({\alpha}^{2} \cdot u0\right)}\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\alpha}^{2} \cdot u0\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({\alpha}^{2}\right), u0\right), \left(\color{blue}{u0 \cdot \frac{1}{3}} + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), u0\right), \left(\color{blue}{u0} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), u0\right), \left(\color{blue}{u0} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), u0\right), \left(u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot 1\right) + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   16. lft-mult-inverse N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), u0\right), \left(u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{u0} \cdot u0\right)\right) + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), u0\right), \left(u0 \cdot \left(\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u0}\right) \cdot u0\right) + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), u0\right), \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u0}\right)\right) + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   19. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), u0\right), \left(\left(u0 \cdot u0\right) \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u0}\right) + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   20. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), u0\right), \left({u0}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u0}\right) + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   21. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), u0\right), \mathsf{+.f32}\left(\left({u0}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u0}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 92.8%

   \[\leadsto \color{blue}{u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + \left(\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)} \]

10. Final simplification 92.8%

    \[\leadsto u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(0.5 + u0 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 91.0% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right) + -1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (-
  (*
   (* alpha u0)
   (* alpha (+ (* u0 (+ -0.5 (* u0 -0.3333333333333333))) -1.0)))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return -((alpha * u0) * (alpha * ((u0 * (-0.5f + (u0 * -0.3333333333333333f))) + -1.0f)));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = -((alpha * u0) * (alpha * ((u0 * ((-0.5e0) + (u0 * (-0.3333333333333333e0)))) + (-1.0e0))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(-Float32(Float32(alpha * u0) * Float32(alpha * Float32(Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(-0.3333333333333333)))) + Float32(-1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = -((alpha * u0) * (alpha * ((u0 * (single(-0.5) + (u0 * single(-0.3333333333333333)))) + single(-1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \color{blue}{\log \left(1 - u0\right)}\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   3. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 - \color{blue}{u0}\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   7. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   8. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\color{blue}{u0}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   3. distribute-rgt-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \alpha\right)\right) \cdot \alpha \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   9. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   10. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   11. neg-lowering-neg.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right), \alpha\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)\right) \cdot \alpha} \]

9. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right), \alpha\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    9. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    10. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 92.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

11. Simplified 92.7%

    \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)}\right) \cdot \alpha \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

    2. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot u0\right)\right) \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot u0\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot u0\right)\right), \color{blue}{\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \cdot \alpha\right)}\right) \]

    5. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot u0\right), \left(\color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)} \cdot \alpha\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u0 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)} \cdot \alpha\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)} \cdot \alpha\right)\right) \]

    8. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \left(\left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right) \cdot \alpha\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    12. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 92.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 92.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \left(\left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

14. Final simplification 92.7%

    \[\leadsto -\left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right) + -1\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 91.0% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)\right) \cdot \left(\left(-u0\right) \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right) - -1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  (* alpha (* alpha u0))
  (- (* (- u0) (+ -0.5 (* u0 -0.3333333333333333))) -1.0)))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return (alpha * (alpha * u0)) * ((-u0 * (-0.5f + (u0 * -0.3333333333333333f))) - -1.0f);
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = (alpha * (alpha * u0)) * ((-u0 * ((-0.5e0) + (u0 * (-0.3333333333333333e0)))) - (-1.0e0))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(Float32(alpha * Float32(alpha * u0)) * Float32(Float32(Float32(-u0) * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(-0.3333333333333333)))) - Float32(-1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = (alpha * (alpha * u0)) * ((-u0 * (single(-0.5) + (u0 * single(-0.3333333333333333)))) - single(-1.0));
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \color{blue}{\log \left(1 - u0\right)}\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   3. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 - \color{blue}{u0}\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   7. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   8. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\color{blue}{u0}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   3. distribute-rgt-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \alpha\right)\right) \cdot \alpha \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   9. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   10. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   11. neg-lowering-neg.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right), \alpha\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)\right) \cdot \alpha} \]

9. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right), \alpha\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    9. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    10. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 92.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

11. Simplified 92.7%

    \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)}\right) \cdot \alpha \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \alpha \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)} \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \alpha \cdot \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)}\right) \]

    3. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \alpha \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot u0\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{-1} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\alpha \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot u0\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)} \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot u0\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)}\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot u0\right)\right)\right), \left(\color{blue}{-1} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

    7. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot u0\right)\right), \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(u0 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right), \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right), \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

    10. neg-lowering-neg.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right)\right), \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

    13. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 92.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 92.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(-\alpha\right)\right)\right) \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

14. Final simplification 92.6%

    \[\leadsto \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)\right) \cdot \left(\left(-u0\right) \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right) - -1\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 91.1% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right) + -1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (-
  (*
   (* u0 (* alpha alpha))
   (+ (* u0 (+ -0.5 (* u0 -0.3333333333333333))) -1.0))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return -((u0 * (alpha * alpha)) * ((u0 * (-0.5f + (u0 * -0.3333333333333333f))) + -1.0f));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = -((u0 * (alpha * alpha)) * ((u0 * ((-0.5e0) + (u0 * (-0.3333333333333333e0)))) + (-1.0e0)))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(-Float32(Float32(u0 * Float32(alpha * alpha)) * Float32(Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(-0.3333333333333333)))) + Float32(-1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = -((u0 * (alpha * alpha)) * ((u0 * (single(-0.5) + (u0 * single(-0.3333333333333333)))) + single(-1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 94.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 94.0%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \cdot u0\right)} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot u0\right) \]

   4. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot u0\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 93.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-\left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) + -1\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 92.4%

       \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 92.4%

    \[\leadsto -\color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \]

11. Final simplification 92.4%

    \[\leadsto -\left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right) + -1\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 87.2% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha + \alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.5\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (* alpha (* u0 (+ alpha (* alpha (* u0 0.5))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return alpha * (u0 * (alpha + (alpha * (u0 * 0.5f))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = alpha * (u0 * (alpha + (alpha * (u0 * 0.5e0))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(alpha * Float32(u0 * Float32(alpha + Float32(alpha * Float32(u0 * Float32(0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = alpha * (u0 * (alpha + (alpha * (u0 * single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \color{blue}{\log \left(1 - u0\right)}\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   3. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 - \color{blue}{u0}\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   7. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   8. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - \alpha \cdot \alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)}\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\color{blue}{u0}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   3. distribute-rgt-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right) \cdot \alpha\right)\right) \cdot \alpha \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   9. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   10. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   11. neg-lowering-neg.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right), \alpha\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-\alpha\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)\right) \cdot \alpha} \]

9. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\alpha + \frac{1}{2} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)\right)\right)}, \alpha\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\alpha + \frac{1}{2} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\alpha + \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right) \cdot u0\right)\right), \alpha\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\alpha + u0 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \left(u0 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right) \cdot u0\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \left(\left(\alpha \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot u0\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    7. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \left(\alpha \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(\frac{1}{2} \cdot u0\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(u0 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 88.8%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

11. Simplified 88.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\alpha + \alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.5\right)\right)\right)} \cdot \alpha \]

12. Final simplification 88.8%

    \[\leadsto \alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha + \alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.5\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 13: 87.1% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u0 \cdot \left(\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + u0 \cdot 0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (* u0 (* (* alpha alpha) (+ 1.0 (* u0 0.5)))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return u0 * ((alpha * alpha) * (1.0f + (u0 * 0.5f)));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = u0 * ((alpha * alpha) * (1.0e0 + (u0 * 0.5e0)))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(u0 * Float32(Float32(alpha * alpha) * Float32(Float32(1.0) + Float32(u0 * Float32(0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = u0 * ((alpha * alpha) * (single(1.0) + (u0 * single(0.5))));
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) + {\alpha}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\alpha}^{2} \cdot u0\right) + {\alpha}^{2}\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u0 \cdot {\alpha}^{2}\right) + {\alpha}^{2}\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot u0\right) \cdot {\alpha}^{2} + {\color{blue}{\alpha}}^{2}\right)\right) \]

   4. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot u0 + 1\right) \cdot \color{blue}{{\alpha}^{2}}\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\left(u0 \cdot \frac{1}{2} + 1\right) \cdot {\alpha}^{2}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\left(u0 \cdot \frac{1}{2} + 1\right), \color{blue}{\left({\alpha}^{2}\right)}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(u0 \cdot \frac{1}{2}\right), 1\right), \left({\color{blue}{\alpha}}^{2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{1}{2}\right), 1\right), \left({\alpha}^{2}\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{1}{2}\right), 1\right), \left(\alpha \cdot \color{blue}{\alpha}\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 88.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{1}{2}\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \color{blue}{\alpha}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 88.5%

   \[\leadsto \color{blue}{u0 \cdot \left(\left(u0 \cdot 0.5 + 1\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]

6. Final simplification 88.5%

   \[\leadsto u0 \cdot \left(\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + u0 \cdot 0.5\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 14: 74.4% accurate, 21.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0) :precision binary32 (* alpha (* alpha u0)))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return alpha * (alpha * u0);
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = alpha * (alpha * u0)
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(alpha * Float32(alpha * u0))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = alpha * (alpha * u0);
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{\alpha}^{2} \cdot u0} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto u0 \cdot \color{blue}{{\alpha}^{2}} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left({\alpha}^{2}\right)}\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\alpha \cdot \color{blue}{\alpha}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 76.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \color{blue}{\alpha}\right)\right) \]

5. Simplified 76.9%

   \[\leadsto \color{blue}{u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \alpha \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot u0\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 77.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \alpha\right) \]

7. Applied egg-rr 77.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \alpha} \]

8. Final simplification 77.1%

   \[\leadsto \alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 15: 74.5% accurate, 21.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0) :precision binary32 (* u0 (* alpha alpha)))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return u0 * (alpha * alpha);
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = u0 * (alpha * alpha)
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(u0 * Float32(alpha * alpha))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = u0 * (alpha * alpha);
end

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{\alpha}^{2} \cdot u0} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto u0 \cdot \color{blue}{{\alpha}^{2}} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left({\alpha}^{2}\right)}\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\alpha \cdot \color{blue}{\alpha}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 76.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \color{blue}{\alpha}\right)\right) \]

5. Simplified 76.9%

   \[\leadsto \color{blue}{u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (alpha u0)
  :name "Beckmann Distribution sample, tan2theta, alphax == alphay"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 0.0001 alpha) (<= alpha 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u0) (<= u0 1.0)))
  (* (* (- alpha) alpha) (log (- 1.0 u0))))