Beckmann Sample, near normal, slope_y

Percentage Accurate: 57.7% → 98.4%

Time: 15.7s

Alternatives: 14

Speedup: 2.9×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * sin(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 57.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * sin(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (sin (* 2.0 (* PI u2)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * sinf((2.0f * (((float) M_PI) * u2)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))))
end

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.3% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.07000000029802322:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \sin t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.07000000029802322)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI))))))
     (*
      (sqrt
       (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
      (sin t_0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.07000000029802322f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * sinf(t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.07000000029802322))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * sin(t_0));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0700000003

   1. Initial program 59.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

      2. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \color{blue}{u2}, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right), u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}, u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      5. fma-undefine N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      12. unpow3 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0700000003 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 45.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 96.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.07000000029802322:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.9% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.07000000029802322:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.07000000029802322)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI))))))
     (*
      (sin t_0)
      (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.07000000029802322f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.07000000029802322))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0700000003

   1. Initial program 59.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

      2. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \color{blue}{u2}, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right), u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}, u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      5. fma-undefine N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      12. unpow3 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0700000003 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 45.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 95.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.07000000029802322:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.0010000000474974513:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.0010000000474974513)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (* 2.0 (* PI u2)))
     (*
      (sin t_0)
      (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.0010000000474974513f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (2.0f * (((float) M_PI) * u2));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.0010000000474974513))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00100000005

   1. Initial program 59.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.00100000005 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 51.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 93.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 93.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0010000000474974513:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 94.1% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.0010000000474974513:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.0010000000474974513)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (* 2.0 (* PI u2)))
     (* (sin t_0) (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.0010000000474974513f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (2.0f * (((float) M_PI) * u2));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.0010000000474974513))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00100000005

   1. Initial program 59.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 98.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.00100000005 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 51.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 90.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0010000000474974513:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 90.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.013000000268220901:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.013000000268220901)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (* 2.0 (* PI u2)))
     (* (sin t_0) (sqrt u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.013000000268220901f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (2.0f * (((float) M_PI) * u2));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.013000000268220901))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0130000003

   1. Initial program 60.1%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 96.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 96.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.0130000003 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 47.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 81.1%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.013000000268220901:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 90.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.07999999821186066)
     (*
      (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
      (sqrt
       (*
        u1
        (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))))))))
     (* (sin t_0) (sqrt u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.07999999821186066f) {
		tmp = (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.07999999821186066))
		tmp = Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = u2 * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.07999999821186066))
		tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
	else
		tmp = sin(t_0) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0799999982

   1. Initial program 59.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

      2. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \color{blue}{u2}, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right), u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}, u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      5. fma-undefine N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      12. unpow3 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 92.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 92.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   if 0.0799999982 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 45.1%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 83.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 84.6% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
  (sqrt
   (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \color{blue}{u2}, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right), u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}, u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   5. fma-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

   12. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 53.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 84.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 84.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 84.5%

   \[\leadsto \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 9: 83.1% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
  (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))))));
end

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \color{blue}{u2}, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right), u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}, u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   5. fma-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

   12. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 53.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 83.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 83.1%

   \[\leadsto \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 80.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
  (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \color{blue}{u2}, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right), u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}, u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   5. fma-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

   12. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 53.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 79.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 79.9%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 79.9%

   \[\leadsto \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 70.4% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt u1)
  (*
   u2
   (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI (* PI PI)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(u1) * (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(u1) * Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(u1) * (u2 * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 76.9%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \frac{-4}{3}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \frac{-4}{3}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \frac{-4}{3}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \frac{-4}{3}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \frac{-4}{3}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \frac{-4}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \frac{-4}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \frac{-4}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \frac{-4}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \frac{-4}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \frac{-4}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \frac{-4}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 70.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \frac{-4}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 70.5%

   \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

9. Final simplification 70.5%

   \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 12: 70.4% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt u1)
  (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* u2 u2) (* -1.3333333333333333 (* PI PI))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(u1) * (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((u2 * u2) * (-1.3333333333333333f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(u1) * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(u1) * (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((u2 * u2) * (single(-1.3333333333333333) * (single(pi) * single(pi)))))));
end

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \color{blue}{u2}, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right), u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}, u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   5. fma-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

   12. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 53.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 50.7%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(-\log \left(\frac{1 + u1}{1 - u1 \cdot u1}\right)\right)}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \left(\color{blue}{u2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{\frac{-4}{3}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{\frac{-4}{3}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 70.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 70.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 13: 70.4% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI)))))
  (sqrt u1)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf(u1);
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(u1))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u2 * (single(pi) * (single(2.0) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt(u1);
end

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \color{blue}{u2}, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right), u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}, u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   5. fma-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right) \cdot u2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2}\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

   12. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 53.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 70.4%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 70.4%

   \[\leadsto \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 14: 66.0% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{u1}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (* 2.0 (* u2 (* PI (sqrt u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return 2.0f * (u2 * (((float) M_PI) * sqrtf(u1)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * sqrt(u1))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(2.0) * (u2 * (single(pi) * sqrt(u1)));
end

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 76.9%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{u1}\right)\right), \left(\color{blue}{u2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 65.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 65.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)} \]

9. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{u1}}\right)\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{u1}\right)}\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \left(\sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\sqrt{u1} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f32 65.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 65.6%

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\sqrt{u1} \cdot \pi\right)\right)} \]

12. Final simplification 65.6%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{u1}\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))