Beckmann Sample, normalization factor

Percentage Accurate: 97.8% → 98.5%

Time: 16.0s

Alternatives: 15

Speedup: 1.5×

Specification

\[\left(0 < cosTheta \land cosTheta < 0.9999\right) \land \left(-1 < c \land c < 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (/ (sqrt (- (- 1.0 cosTheta) cosTheta)) cosTheta))
    (exp (* (- cosTheta) cosTheta))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (((1.0f / sqrtf(((float) M_PI))) * (sqrtf(((1.0f - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * expf((-cosTheta * cosTheta))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / sqrt(Float32(pi))) * Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp(Float32(Float32(-cosTheta) * cosTheta)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (((single(1.0) / sqrt(single(pi))) * (sqrt(((single(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp((-cosTheta * cosTheta))));
end

Initial Program: 97.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (/ (sqrt (- (- 1.0 cosTheta) cosTheta)) cosTheta))
    (exp (* (- cosTheta) cosTheta))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (((1.0f / sqrtf(((float) M_PI))) * (sqrtf(((1.0f - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * expf((-cosTheta * cosTheta))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / sqrt(Float32(pi))) * Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp(Float32(Float32(-cosTheta) * cosTheta)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (((single(1.0) / sqrt(single(pi))) * (sqrt(((single(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp((-cosTheta * cosTheta))));
end

Alternative 1: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(cosTheta \cdot \sqrt{\pi}\right)}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (+
    c
    (/
     (sqrt (+ 1.0 (* cosTheta -2.0)))
     (* (exp (* cosTheta cosTheta)) (* cosTheta (sqrt PI))))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (c + (sqrtf((1.0f + (cosTheta * -2.0f))) / (expf((cosTheta * cosTheta)) * (cosTheta * sqrtf(((float) M_PI)))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(c + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0)))) / Float32(exp(Float32(cosTheta * cosTheta)) * Float32(cosTheta * sqrt(Float32(pi))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (c + (sqrt((single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0)))) / (exp((cosTheta * cosTheta)) * (cosTheta * sqrt(single(pi)))))));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(cosTheta \cdot \sqrt{\pi}\right)}\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{\frac{1 - cosTheta \cdot 2}{\pi}}}{cosTheta} \cdot e^{0 - cosTheta \cdot cosTheta}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   c
   (+
    1.0
    (*
     (/ (sqrt (/ (- 1.0 (* cosTheta 2.0)) PI)) cosTheta)
     (exp (- 0.0 (* cosTheta cosTheta))))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (c + (1.0f + ((sqrtf(((1.0f - (cosTheta * 2.0f)) / ((float) M_PI))) / cosTheta) * expf((0.0f - (cosTheta * cosTheta))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(c + Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - Float32(cosTheta * Float32(2.0))) / Float32(pi))) / cosTheta) * exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(cosTheta * cosTheta)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (c + (single(1.0) + ((sqrt(((single(1.0) - (cosTheta * single(2.0))) / single(pi))) / cosTheta) * exp((single(0.0) - (cosTheta * cosTheta))))));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} + \color{blue}{\left(1 + c\right)}\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} + 1\right) + \color{blue}{c}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} + 1\right), \color{blue}{c}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\pi}}}{cosTheta} \cdot e^{-cosTheta \cdot cosTheta} + 1\right) + c}} \]

5. Final simplification 97.8%

   \[\leadsto \frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{\frac{1 - cosTheta \cdot 2}{\pi}}}{cosTheta} \cdot e^{0 - cosTheta \cdot cosTheta}\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (+
    c
    (/
     (sqrt (/ (+ 1.0 (* cosTheta -2.0)) PI))
     (* cosTheta (exp (* cosTheta cosTheta))))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (c + (sqrtf(((1.0f + (cosTheta * -2.0f)) / ((float) M_PI))) / (cosTheta * expf((cosTheta * cosTheta))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(c + Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0))) / Float32(pi))) / Float32(cosTheta * exp(Float32(cosTheta * cosTheta)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (c + (sqrt(((single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0))) / single(pi))) / (cosTheta * exp((cosTheta * cosTheta))))));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 97.8%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(\frac{\sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}} + c\right)}} \]

8. Final simplification 97.8%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (/
    (sqrt (/ (+ 1.0 (* cosTheta -2.0)) PI))
    (* cosTheta (exp (* cosTheta cosTheta)))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (sqrtf(((1.0f + (cosTheta * -2.0f)) / ((float) M_PI))) / (cosTheta * expf((cosTheta * cosTheta)))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0))) / Float32(pi))) / Float32(cosTheta * exp(Float32(cosTheta * cosTheta))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (sqrt(((single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0))) / single(pi))) / (cosTheta * exp((cosTheta * cosTheta)))));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right)\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1 \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}}}\right)\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{{cosTheta}^{2}}}\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \frac{\sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.5% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\frac{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot 0.5 + -1.5\right) + -1\right)}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (+
    c
    (/
     (/
      (+ 1.0 (* cosTheta (+ (* cosTheta (+ (* cosTheta 0.5) -1.5)) -1.0)))
      cosTheta)
     (pow PI 0.5))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (c + (((1.0f + (cosTheta * ((cosTheta * ((cosTheta * 0.5f) + -1.5f)) + -1.0f))) / cosTheta) / powf(((float) M_PI), 0.5f))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(c + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(Float32(cosTheta * Float32(Float32(cosTheta * Float32(0.5)) + Float32(-1.5))) + Float32(-1.0)))) / cosTheta) / (Float32(pi) ^ Float32(0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (c + (((single(1.0) + (cosTheta * ((cosTheta * ((cosTheta * single(0.5)) + single(-1.5))) + single(-1.0)))) / cosTheta) / (single(pi) ^ single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(1 + cosTheta \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \color{blue}{\frac{\frac{\frac{{\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{0.5}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}}\right)} \]

7. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot cosTheta - \frac{3}{2}\right) - 1\right)\right)}, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot cosTheta - \frac{3}{2}\right) - 1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(cosTheta \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot cosTheta - \frac{3}{2}\right) - 1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(cosTheta \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot cosTheta - \frac{3}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(cosTheta \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot cosTheta - \frac{3}{2}\right) + -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot cosTheta - \frac{3}{2}\right)\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{1}{2} \cdot cosTheta - \frac{3}{2}\right)\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{1}{2} \cdot cosTheta + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{1}{2} \cdot cosTheta + \frac{-3}{2}\right)\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot cosTheta\right), \frac{-3}{2}\right)\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \frac{1}{2}\right), \frac{-3}{2}\right)\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 97.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{1}{2}\right), \frac{-3}{2}\right)\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\frac{\color{blue}{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot 0.5 + -1.5\right) + -1\right)}}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.0% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{1 + cosTheta \cdot \left(-1 + cosTheta \cdot -1.5\right)}{cosTheta \cdot {\pi}^{0.5}} + \left(1 + c\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (/
    (+ 1.0 (* cosTheta (+ -1.0 (* cosTheta -1.5))))
    (* cosTheta (pow PI 0.5)))
   (+ 1.0 c))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (((1.0f + (cosTheta * (-1.0f + (cosTheta * -1.5f)))) / (cosTheta * powf(((float) M_PI), 0.5f))) + (1.0f + c));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(Float32(-1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-1.5))))) / Float32(cosTheta * (Float32(pi) ^ Float32(0.5)))) + Float32(Float32(1.0) + c)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (((single(1.0) + (cosTheta * (single(-1.0) + (cosTheta * single(-1.5))))) / (cosTheta * (single(pi) ^ single(0.5)))) + (single(1.0) + c));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(1 + cosTheta \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \color{blue}{\frac{\frac{\frac{{\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{0.5}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}}\right)} \]

7. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)}, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta + -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 96.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\frac{\color{blue}{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot -1.5 + -1\right)}}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{\frac{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)}{cosTheta}}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}}\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)}{cosTheta}}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}} + \color{blue}{\left(1 + c\right)}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)}{cosTheta}}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), \color{blue}{\left(1 + c\right)}\right)\right) \]

    4. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot cosTheta}\right), \left(\color{blue}{1} + c\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot cosTheta\right)\right), \left(\color{blue}{1} + c\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot cosTheta\right)\right), \left(1 + c\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot cosTheta\right)\right), \left(1 + c\right)\right)\right) \]

    8. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(-1 + cosTheta \cdot \frac{-3}{2}\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot cosTheta\right)\right), \left(1 + c\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2}\right)\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot cosTheta\right)\right), \left(1 + c\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right)\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot cosTheta\right)\right), \left(1 + c\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right)\right)\right)\right), \left(cosTheta \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \left(1 + c\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \left(1 + c\right)\right)\right) \]

    13. pow-lowering-pow.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(1 + c\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(1 + c\right)\right)\right) \]

    15. +-lowering-+.f32 96.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 96.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + cosTheta \cdot \left(-1 + cosTheta \cdot -1.5\right)}{cosTheta \cdot {\pi}^{0.5}} + \left(1 + c\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.9% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\frac{1 + cosTheta \cdot \left(-1 + cosTheta \cdot -1.5\right)}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (+
    c
    (/
     (/ (+ 1.0 (* cosTheta (+ -1.0 (* cosTheta -1.5)))) cosTheta)
     (pow PI 0.5))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (c + (((1.0f + (cosTheta * (-1.0f + (cosTheta * -1.5f)))) / cosTheta) / powf(((float) M_PI), 0.5f))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(c + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(Float32(-1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-1.5))))) / cosTheta) / (Float32(pi) ^ Float32(0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (c + (((single(1.0) + (cosTheta * (single(-1.0) + (cosTheta * single(-1.5))))) / cosTheta) / (single(pi) ^ single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(1 + cosTheta \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \color{blue}{\frac{\frac{\frac{{\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{0.5}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}}\right)} \]

7. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)}, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta + -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 96.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\frac{\color{blue}{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot -1.5 + -1\right)}}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}\right)} \]

10. Final simplification 96.4%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\frac{1 + cosTheta \cdot \left(-1 + cosTheta \cdot -1.5\right)}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 96.5% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\frac{1 + cosTheta \cdot \left(-1 + cosTheta \cdot -1.5\right)}{{\pi}^{0.5}}}{cosTheta}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (+
    c
    (/
     (/ (+ 1.0 (* cosTheta (+ -1.0 (* cosTheta -1.5)))) (pow PI 0.5))
     cosTheta)))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (c + (((1.0f + (cosTheta * (-1.0f + (cosTheta * -1.5f)))) / powf(((float) M_PI), 0.5f)) / cosTheta)));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(c + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(Float32(-1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-1.5))))) / (Float32(pi) ^ Float32(0.5))) / cosTheta))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (c + (((single(1.0) + (cosTheta * (single(-1.0) + (cosTheta * single(-1.5))))) / (single(pi) ^ single(0.5))) / cosTheta)));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(1 + cosTheta \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \color{blue}{\frac{\frac{\frac{{\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{0.5}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}}\right)} \]

7. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)}, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta + -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 96.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\frac{\color{blue}{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot -1.5 + -1\right)}}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)}{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}}{\color{blue}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2} + -1\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(-1 + cosTheta \cdot \frac{-3}{2}\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2}\right)\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right)\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

    10. pow-lowering-pow.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 96.0%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 96.0%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \color{blue}{\frac{\frac{1 + cosTheta \cdot \left(-1 + cosTheta \cdot -1.5\right)}{{\pi}^{0.5}}}{cosTheta}}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.2% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \frac{\left(1 + cosTheta \cdot \left(-1 + cosTheta \cdot -1.5\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (/
    (* (+ 1.0 (* cosTheta (+ -1.0 (* cosTheta -1.5)))) (sqrt (/ 1.0 PI)))
    cosTheta))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (((1.0f + (cosTheta * (-1.0f + (cosTheta * -1.5f)))) * sqrtf((1.0f / ((float) M_PI)))) / cosTheta));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(Float32(-1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-1.5))))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi)))) / cosTheta)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (((single(1.0) + (cosTheta * (single(-1.0) + (cosTheta * single(-1.5))))) * sqrt((single(1.0) / single(pi)))) / cosTheta));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(1 + cosTheta \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \color{blue}{\frac{\frac{\frac{{\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{0.5}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}}\right)} \]

7. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)}, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta + -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 96.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \frac{\frac{\color{blue}{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot -1.5 + -1\right)}}{cosTheta}}{{\pi}^{0.5}}\right)} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \frac{1 + cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{1 + cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1 + cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right)\right) \]

    3. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(1 + cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{cosTheta}}\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(1 + cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta - 1\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    8. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta + -1\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-3}{2} \cdot cosTheta\right), -1\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    13. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    14. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 95.6%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \frac{-3}{2}\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

12. Simplified 95.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \frac{\left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot -1.5 + -1\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}}} \]

13. Final simplification 95.6%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\left(1 + cosTheta \cdot \left(-1 + cosTheta \cdot -1.5\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 95.8% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ cosTheta \cdot \frac{1}{cosTheta + \frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (* cosTheta (/ 1.0 (+ cosTheta (/ (- 1.0 cosTheta) (pow PI 0.5))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return cosTheta * (1.0f / (cosTheta + ((1.0f - cosTheta) / powf(((float) M_PI), 0.5f))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(cosTheta * Float32(Float32(1.0) / Float32(cosTheta + Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) / (Float32(pi) ^ Float32(0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = cosTheta * (single(1.0) / (cosTheta + ((single(1.0) - cosTheta) / (single(pi) ^ single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}{cosTheta}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right) \]

7. Simplified 94.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{cosTheta + \left(cosTheta \cdot c + \left(\left(-cosTheta\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}{cosTheta}}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{cosTheta + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)}{cosTheta}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(cosTheta + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(1 - cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(1 - cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(1 - cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(1 - cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 94.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

10. Simplified 94.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{cosTheta + \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)}{cosTheta}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \frac{1}{cosTheta + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)} \cdot \color{blue}{cosTheta} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{cosTheta + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)}\right), \color{blue}{cosTheta}\right) \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(cosTheta + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)\right)\right)\right), cosTheta\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), cosTheta\right) \]

    6. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), cosTheta\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), cosTheta\right) \]

    8. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{1 - cosTheta}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), cosTheta\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right) \]

    10. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right) \]

    11. pow1/2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right) \]

    12. pow-lowering-pow.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 95.5%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right) \]

12. Applied egg-rr 95.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{cosTheta + \frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}} \cdot cosTheta} \]

13. Final simplification 95.5%

    \[\leadsto cosTheta \cdot \frac{1}{cosTheta + \frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 11: 95.0% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{cosTheta}{cosTheta + \frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/ cosTheta (+ cosTheta (/ (- 1.0 cosTheta) (pow PI 0.5)))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return cosTheta / (cosTheta + ((1.0f - cosTheta) / powf(((float) M_PI), 0.5f)));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(cosTheta / Float32(cosTheta + Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) / (Float32(pi) ^ Float32(0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = cosTheta / (cosTheta + ((single(1.0) - cosTheta) / (single(pi) ^ single(0.5))));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}{cosTheta}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right) \]

7. Simplified 94.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{cosTheta + \left(cosTheta \cdot c + \left(\left(-cosTheta\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}{cosTheta}}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{cosTheta + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)}{cosTheta}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(cosTheta + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(1 - cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(1 - cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(1 - cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(1 - cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 94.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right)\right)\right), cosTheta\right)\right) \]

10. Simplified 94.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{cosTheta + \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)}{cosTheta}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{cosTheta}{\color{blue}{cosTheta + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)}} \]

    2. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(cosTheta + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)\right)}\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)\right)}\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right) \]

    5. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right) \]

    7. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{1 - cosTheta}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right)\right) \]

    9. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

    10. pow1/2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

    11. pow-lowering-pow.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 94.7%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 94.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{cosTheta}{cosTheta + \frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 12: 93.1% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - c \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (* cosTheta (- (sqrt PI) (* c (* cosTheta PI)))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return cosTheta * (sqrtf(((float) M_PI)) - (c * (cosTheta * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(cosTheta * Float32(sqrt(Float32(pi)) - Float32(c * Float32(cosTheta * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = cosTheta * (sqrt(single(pi)) - (c * (cosTheta * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} - \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{cosTheta} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 95.4%

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - \left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in c around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(c \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(c, \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 92.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 92.4%

    \[\leadsto cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - \color{blue}{c \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 13: 93.1% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ cosTheta \cdot \sqrt{\pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c) :precision binary32 (* cosTheta (sqrt PI)))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return cosTheta * sqrtf(((float) M_PI));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(cosTheta * sqrt(Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = cosTheta * sqrt(single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 92.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 92.4%

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \sqrt{\pi}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 14: 10.7% accurate, 107.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - c \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c) :precision binary32 (- 1.0 c))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f - c;
}

Fortran

real(4) function code(costheta, c)
    real(4), intent (in) :: costheta
    real(4), intent (in) :: c
    code = 1.0e0 - c
end function

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) - c)
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) - c;
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{c}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 10.9%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{c}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + -1 \cdot c} \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto 1 - \color{blue}{c} \]

   3. --lowering--.f32 10.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{c}\right) \]

10. Simplified 10.9%

    \[\leadsto \color{blue}{1 - c} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 15: 10.7% accurate, 322.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c) :precision binary32 1.0)

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f;
}

Fortran

real(4) function code(costheta, c)
    real(4), intent (in) :: costheta
    real(4), intent (in) :: c
    code = 1.0e0
end function

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0);
end

Derivation

1. Initial program 97.6%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 + \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(c + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right) \cdot 1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{\color{blue}{cosTheta} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(c + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{c}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 10.9%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{c}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 10.9%

    \[\leadsto \color{blue}{1} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (cosTheta c)
  :name "Beckmann Sample, normalization factor"
  :precision binary32
  :pre (and (and (< 0.0 cosTheta) (< cosTheta 0.9999)) (and (< -1.0 c) (< c 1.0)))
  (/ 1.0 (+ (+ 1.0 c) (* (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (/ (sqrt (- (- 1.0 cosTheta) cosTheta)) cosTheta)) (exp (* (- cosTheta) cosTheta))))))