UniformSampleCone, x

Percentage Accurate: 57.4% → 99.0%

Time: 14.9s

Alternatives: 22

Speedup: 2.2×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 57.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt
   (+
    (* (+ 2.0 (* maxCos -2.0)) ux)
    (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (* ux (+ maxCos -1.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((((2.0f + (maxCos * -2.0f)) * ux) + ((ux * (1.0f - maxCos)) * (ux * (maxCos + -1.0f)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))) * ux) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((((single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))) * ux) + ((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (ux * (maxCos + single(-1.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate--l- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-+r- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. count-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. --lowering--.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. cancel-sign-sub-inv N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot -2\right)\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

    18. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.0%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)}} \]

12. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (- 2.0 (* 2.0 maxCos)) (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((2.0f - (2.0f * maxCos)) + ((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - Float32(Float32(2.0) * maxCos)) + Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((single(2.0) - (single(2.0) * maxCos)) + ((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate--l- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-+r- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. count-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. --lowering--.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]

10. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - -1\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (- 1.0 maxCos) (* (- 1.0 maxCos) (- (* ux (+ maxCos -1.0)) -1.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) + ((1.0f - maxCos) * ((ux * (maxCos + -1.0f)) - -1.0f)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) + Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) - Float32(-1.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) + ((single(1.0) - maxCos) * ((ux * (maxCos + single(-1.0))) - single(-1.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - -1\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt (+ (* ux (- 2.0 ux)) (* (* maxCos ux) (+ -2.0 (* 2.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf(((ux * (2.0f - ux)) + ((maxCos * ux) * (-2.0f + (2.0f * ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)) + Float32(Float32(maxCos * ux) * Float32(Float32(-2.0) + Float32(Float32(2.0) * ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt(((ux * (single(2.0) - ux)) + ((maxCos * ux) * (single(-2.0) + (single(2.0) * ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate--l- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-+r- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. count-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. --lowering--.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) + ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(-ux\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)}} \]

13. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - ux\right) + maxCos \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt (* ux (+ 1.0 (+ (- 1.0 ux) (* maxCos (+ -2.0 (* 2.0 ux)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (1.0f + ((1.0f - ux) + (maxCos * (-2.0f + (2.0f * ux)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(maxCos * Float32(Float32(-2.0) + Float32(Float32(2.0) * ux))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(1.0) + ((single(1.0) - ux) + (maxCos * (single(-2.0) + (single(2.0) * ux)))))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + \left(-1 \cdot ux + -1 \cdot -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + \left(-1 \cdot ux + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right), -2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right), -2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right), -2\right)\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right), -2\right)\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right), -2\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot 2 + -2\right) + \left(1 - ux\right)\right)\right)}} \]

11. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - ux\right) + maxCos \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - ux\right) + maxCos \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt (* ux (+ (- 2.0 ux) (* maxCos (+ -2.0 (* 2.0 ux))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((2.0f - ux) + (maxCos * (-2.0f + (2.0f * ux))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - ux) + Float32(maxCos * Float32(Float32(-2.0) + Float32(Float32(2.0) * ux)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((single(2.0) - ux) + (maxCos * (single(-2.0) + (single(2.0) * ux))))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate--l- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-+r- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. count-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. --lowering--.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(2 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot ux\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot ux\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + \left(-ux\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \]

13. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - ux\right) + maxCos \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.004800000227987766:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux - ux \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.004800000227987766)
   (*
    (sqrt
     (*
      ux
      (+ (- 2.0 (* 2.0 maxCos)) (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))))))
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI))))
   (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt (- (* 2.0 ux) (* ux ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.004800000227987766f) {
		tmp = sqrtf((ux * ((2.0f - (2.0f * maxCos)) + ((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f)))))) * (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
	} else {
		tmp = cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf(((2.0f * ux) - (ux * ux)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.004800000227987766))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - Float32(Float32(2.0) * maxCos)) + Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) - Float32(ux * ux))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.004800000227987766))
		tmp = sqrt((ux * ((single(2.0) - (single(2.0) * maxCos)) + ((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0))))))) * (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))));
	else
		tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt(((single(2.0) * ux) - (ux * ux)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00480000023

   1. Initial program 60.4%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 60.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate--l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-+r- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. count-2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. --lowering--.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 99.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)} \]

   if 0.00480000023 < uy

   1. Initial program 58.8%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 59.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate--l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-+r- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. count-2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. --lowering--.f32 97.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 97.9%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. cancel-sign-sub-inv N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot -2\right)\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

       18. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 98.0%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)}} \]

   12. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {ux}^{2} + 2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot ux + -1 \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right) \]

       2. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left({ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot ux - {ux}^{2}\right)\right)\right) \]

       4. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 94.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 94.3%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot 2 - ux \cdot ux}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.004800000227987766:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux - ux \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.004800000227987766:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.004800000227987766)
   (*
    (sqrt
     (*
      ux
      (+ (- 2.0 (* 2.0 maxCos)) (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))))))
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI))))
   (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.004800000227987766f) {
		tmp = sqrtf((ux * ((2.0f - (2.0f * maxCos)) + ((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f)))))) * (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
	} else {
		tmp = cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.004800000227987766))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - Float32(Float32(2.0) * maxCos)) + Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.004800000227987766))
		tmp = sqrt((ux * ((single(2.0) - (single(2.0) * maxCos)) + ((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0))))))) * (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))));
	else
		tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00480000023

   1. Initial program 60.4%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 60.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate--l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-+r- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. count-2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. --lowering--.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 99.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)} \]

   if 0.00480000023 < uy

   1. Initial program 58.8%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 59.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 56.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.7%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 94.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 94.2%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.004800000227987766:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 94.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.02500000037252903:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.02500000037252903)
   (*
    (sqrt
     (+
      (* (+ 2.0 (* maxCos -2.0)) ux)
      (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (* ux (+ maxCos -1.0)))))
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI))))
   (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.02500000037252903f) {
		tmp = sqrtf((((2.0f + (maxCos * -2.0f)) * ux) + ((ux * (1.0f - maxCos)) * (ux * (maxCos + -1.0f))))) * (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
	} else {
		tmp = cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.02500000037252903))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))) * ux) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.02500000037252903))
		tmp = sqrt((((single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))) * ux) + ((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))))) * (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))));
	else
		tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0250000004

   1. Initial program 60.2%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 60.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate--l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-+r- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. count-2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. --lowering--.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. cancel-sign-sub-inv N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot -2\right)\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

       18. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.3%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)}} \]

   12. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 98.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 98.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)} \]

   if 0.0250000004 < uy

   1. Initial program 58.9%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 59.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 55.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 55.5%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 78.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 78.2%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot 2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.02500000037252903:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 88.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (+
    (* (+ 2.0 (* maxCos -2.0)) ux)
    (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (* ux (+ maxCos -1.0)))))
  (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((((2.0f + (maxCos * -2.0f)) * ux) + ((ux * (1.0f - maxCos)) * (ux * (maxCos + -1.0f))))) * (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))) * ux) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((((single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))) * ux) + ((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))))) * (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate--l- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-+r- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. count-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. --lowering--.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right) + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. cancel-sign-sub-inv N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 + maxCos \cdot -2\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot -2\right)\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

    18. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.0%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)}} \]

12. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 89.2%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 89.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)} \]

15. Final simplification 89.2%

    \[\leadsto \sqrt{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 11: 88.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (* ux (+ (- 2.0 (* 2.0 maxCos)) (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))))))
  (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * ((2.0f - (2.0f * maxCos)) + ((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f)))))) * (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - Float32(Float32(2.0) * maxCos)) + Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * ((single(2.0) - (single(2.0) * maxCos)) + ((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0))))))) * (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate--l- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-+r- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. count-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. --lowering--.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 89.2%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 89.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)} \]

13. Final simplification 89.2%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 12: 88.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - -1\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (- 1.0 maxCos) (* (- 1.0 maxCos) (- (* ux (+ maxCos -1.0)) -1.0)))))
  (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) + ((1.0f - maxCos) * ((ux * (maxCos + -1.0f)) - -1.0f))))) * (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) + Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) - Float32(-1.0)))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) + ((single(1.0) - maxCos) * ((ux * (maxCos + single(-1.0))) - single(-1.0)))))) * (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 89.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 89.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)} \]

11. Final simplification 89.1%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - -1\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 13: 83.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0024999999441206455:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.0024999999441206455)
   (sqrt
    (*
     ux
     (+ 2.0 (- (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))) (* 2.0 maxCos)))))
   (*
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
    (sqrt (* (+ 2.0 (* maxCos -2.0)) ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.0024999999441206455f) {
		tmp = sqrtf((ux * (2.0f + (((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))) - (2.0f * maxCos)))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf(((2.0f + (maxCos * -2.0f)) * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0024999999441206455))
		tmp = sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) - Float32(Float32(2.0) * maxCos)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.0024999999441206455))
		tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + (((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))) - (single(2.0) * maxCos)))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt(((single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00249999994

   1. Initial program 60.9%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate--l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-+r- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. count-2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. --lowering--.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

       3. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       5. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 96.4%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 96.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

   if 0.00249999994 < uy

   1. Initial program 57.7%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 57.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + -1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) - \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) - \frac{-1 + \left(maxCos - \left(1 - maxCos\right)\right)}{ux}\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 78.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 78.0%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 56.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 56.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0024999999441206455:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(2 + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 82.9% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0024999999441206455:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.0024999999441206455)
   (sqrt
    (*
     ux
     (+ 2.0 (- (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))) (* 2.0 maxCos)))))
   (* (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI))) (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.0024999999441206455f) {
		tmp = sqrtf((ux * (2.0f + (((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))) - (2.0f * maxCos)))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0024999999441206455))
		tmp = sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) - Float32(Float32(2.0) * maxCos)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.0024999999441206455))
		tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + (((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))) - (single(2.0) * maxCos)))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00249999994

   1. Initial program 60.9%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot -1 + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot -1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + -1 \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot maxCos + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + -1 \cdot -1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) + 1\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate--l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(1 - \left(maxCos + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-+r- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 + 1\right) - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(maxCos + maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. count-2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. --lowering--.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + \left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

       3. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       5. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 96.4%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 96.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

   if 0.00249999994 < uy

   1. Initial program 57.7%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 57.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 55.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 55.8%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 77.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 77.1%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot 2}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 55.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 55.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot 2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0024999999441206455:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 82.9% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0024999999441206455:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - -1\right) - maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.0024999999441206455)
   (sqrt
    (*
     ux
     (+ 1.0 (- (* (- 1.0 maxCos) (- (* ux (+ maxCos -1.0)) -1.0)) maxCos))))
   (* (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI))) (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.0024999999441206455f) {
		tmp = sqrtf((ux * (1.0f + (((1.0f - maxCos) * ((ux * (maxCos + -1.0f)) - -1.0f)) - maxCos))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0024999999441206455))
		tmp = sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) - Float32(-1.0))) - maxCos))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.0024999999441206455))
		tmp = sqrt((ux * (single(1.0) + (((single(1.0) - maxCos) * ((ux * (maxCos + single(-1.0))) - single(-1.0))) - maxCos))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00249999994

   1. Initial program 60.9%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right) - maxCos\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f32 96.4%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   if 0.00249999994 < uy

   1. Initial program 57.7%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 57.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 55.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 55.8%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 77.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 77.1%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot 2}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 55.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 55.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot 2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0024999999441206455:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - -1\right) - maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 81.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0024999999441206455:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(-1 + \frac{\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) - -1}{ux}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.0024999999441206455)
   (sqrt (* (* ux ux) (+ -1.0 (/ (- (- (- 1.0 maxCos) maxCos) -1.0) ux))))
   (* (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI))) (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.0024999999441206455f) {
		tmp = sqrtf(((ux * ux) * (-1.0f + ((((1.0f - maxCos) - maxCos) - -1.0f) / ux))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0024999999441206455))
		tmp = sqrt(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) - maxCos) - Float32(-1.0)) / ux))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.0024999999441206455))
		tmp = sqrt(((ux * ux) * (single(-1.0) + ((((single(1.0) - maxCos) - maxCos) - single(-1.0)) / ux))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00249999994

   1. Initial program 60.9%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f32 60.2%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 60.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around -inf

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + -1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) - \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) - \frac{\left(maxCos - \left(1 - maxCos\right)\right) + -1}{ux}\right)}} \]

   11. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right), ux\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 95.3%

       \[\leadsto \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\color{blue}{-1} - \frac{\left(maxCos - \left(1 - maxCos\right)\right) + -1}{ux}\right)} \]

   if 0.00249999994 < uy

   1. Initial program 57.7%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 57.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 55.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 55.8%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 77.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 77.1%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot 2}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 55.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 55.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot 2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0024999999441206455:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(-1 + \frac{\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) - -1}{ux}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 78.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(-1 + \frac{\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) - -1}{ux}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* (* ux ux) (+ -1.0 (/ (- (- (- 1.0 maxCos) maxCos) -1.0) ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((ux * ux) * (-1.0f + ((((1.0f - maxCos) - maxCos) - -1.0f) / ux))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt(((ux * ux) * ((-1.0e0) + ((((1.0e0 - maxcos) - maxcos) - (-1.0e0)) / ux))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) - maxCos) - Float32(-1.0)) / ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((ux * ux) * (single(-1.0) + ((((single(1.0) - maxCos) - maxCos) - single(-1.0)) / ux))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 52.0%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 52.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + -1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) - \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.1%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) - \frac{\left(maxCos - \left(1 - maxCos\right)\right) + -1}{ux}\right)}} \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right), ux\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 79.5%

    \[\leadsto \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\color{blue}{-1} - \frac{\left(maxCos - \left(1 - maxCos\right)\right) + -1}{ux}\right)} \]

14. Final simplification 79.5%

    \[\leadsto \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(-1 + \frac{\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) - -1}{ux}\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 18: 75.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(-1 + \frac{2}{ux}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* (* ux ux) (+ -1.0 (/ 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((ux * ux) * (-1.0f + (2.0f / ux))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt(((ux * ux) * ((-1.0e0) + (2.0e0 / ux))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) / ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((ux * ux) * (single(-1.0) + (single(2.0) / ux))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 52.0%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 52.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + -1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) - \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.1%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) - \frac{\left(maxCos - \left(1 - maxCos\right)\right) + -1}{ux}\right)}} \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right) \]

    4. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    7. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 77.1%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right) \]

13. Simplified 77.1%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2}{ux} + -1\right)}} \]

14. Final simplification 77.1%

    \[\leadsto \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(-1 + \frac{2}{ux}\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 19: 75.5% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ ux \cdot \sqrt{-1 + \frac{2}{ux}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 (* ux (sqrt (+ -1.0 (/ 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return ux * sqrtf((-1.0f + (2.0f / ux)));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = ux * sqrt(((-1.0e0) + (2.0e0 / ux)))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(ux * sqrt(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) / ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = ux * sqrt((single(-1.0) + (single(2.0) / ux)));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 52.0%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 52.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + -1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) - \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.1%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) - \frac{\left(maxCos - \left(1 - maxCos\right)\right) + -1}{ux}\right)}} \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)}\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f32 76.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right) \]

13. Simplified 76.8%

    \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \sqrt{\frac{2}{ux} + -1}} \]

14. Final simplification 76.8%

    \[\leadsto ux \cdot \sqrt{-1 + \frac{2}{ux}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 20: 64.6% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* ux (- 2.0 (* 2.0 maxCos)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (2.0f - (2.0f * maxCos))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux * (2.0e0 - (2.0e0 * maxcos))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - Float32(Float32(2.0) * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(2.0) - (single(2.0) * maxCos))));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 52.0%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 52.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux} + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + -1 \cdot \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) - \frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(1 - maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(\frac{\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(maxCos + -1 \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 1\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.1%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) - \frac{\left(maxCos - \left(1 - maxCos\right)\right) + -1}{ux}\right)}} \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 62.7%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 62.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 21: 62.0% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{2 \cdot ux} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 (sqrt (* 2.0 ux)))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((2.0f * ux));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((2.0e0 * ux))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((single(2.0) * ux));
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 58.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 58.1%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 72.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

10. Simplified 72.5%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot 2}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 60.8%

    \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \sqrt{ux \cdot 2} \]

14. Final simplification 60.8%

    \[\leadsto \sqrt{2 \cdot ux} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 22: 6.6% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 52.0%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 52.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{-1}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 6.6%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \color{blue}{-1}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. pow1/2 N/A

       \[\leadsto {\left(1 + -1\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto {0}^{\frac{1}{2}} \]

    3. metadata-eval 6.6%

       \[\leadsto 0 \]

12. Applied egg-rr 6.6%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))