Lanczos kernel

Percentage Accurate: 97.9% → 97.9%

Time: 14.2s

Alternatives: 18

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(10^{-5} \leq x \land x \leq 1\right) \land \left(1 \leq tau \land tau \leq 5\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Initial Program: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Alternative 1: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (* (/ (sin (* x PI)) (* x PI)) (/ (sin (* (* x PI) tau)) (* PI (* x tau)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI))) * (sinf(((x * ((float) M_PI)) * tau)) / (((float) M_PI) * (x * tau)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))) * Float32(sin(Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)) / Float32(Float32(pi) * Float32(x * tau))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi))) * (sin(((x * single(pi)) * tau)) / (single(pi) * (x * tau)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot x\right) \cdot tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \left(\left(x \cdot tau\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot tau\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot tau\right) \cdot \pi}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

5. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (* (/ (sin (* PI (* x tau))) (* x tau)) (/ (sin (* x PI)) (* x (* PI PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (sinf((((float) M_PI) * (x * tau))) / (x * tau)) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(x * tau))) / Float32(x * tau)) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (sin((single(pi) * (x * tau))) / (x * tau)) * (sin((x * single(pi))) / (x * (single(pi) * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot x\right) \cdot tau} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot tau\right)}} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(x \cdot tau\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \left(x \cdot tau\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right), \left(x \cdot tau\right)\right), \left(\frac{\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot x\right) \cdot tau\right)\right), \left(x \cdot tau\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)\right), \left(x \cdot tau\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(x \cdot tau\right)\right)\right), \left(x \cdot tau\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(x \cdot tau\right)\right)\right), \left(x \cdot tau\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), \left(x \cdot tau\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   15. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{x \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (* (/ (sin (* x (* PI tau))) (* x tau)) (/ (sin (* x PI)) (* x (* PI PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (sinf((x * (((float) M_PI) * tau))) / (x * tau)) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(sin(Float32(x * Float32(Float32(pi) * tau))) / Float32(x * tau)) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (sin((x * (single(pi) * tau))) / (x * tau)) * (sin((x * single(pi))) / (x * (single(pi) * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   3. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{1}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\pi}}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot tau}}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot tau}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}{x \cdot tau} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot tau} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}{x \cdot tau} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

8. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{x \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot x}} \]

9. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{x \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 90.4% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{\pi} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666 + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (/
  (+
   (/ 1.0 PI)
   (*
    (* x x)
    (+
     (* PI -0.16666666666666666)
     (* (* PI (* PI PI)) (* (* x x) 0.008333333333333333)))))
  (/ (* x tau) (sin (* (* x PI) tau)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return ((1.0f / ((float) M_PI)) + ((x * x) * ((((float) M_PI) * -0.16666666666666666f) + ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * ((x * x) * 0.008333333333333333f))))) / ((x * tau) / sinf(((x * ((float) M_PI)) * tau)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi)) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(-0.16666666666666666)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(x * x) * Float32(0.008333333333333333)))))) / Float32(Float32(x * tau) / sin(Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = ((single(1.0) / single(pi)) + ((x * x) * ((single(pi) * single(-0.16666666666666666)) + ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * ((x * x) * single(0.008333333333333333)))))) / ((x * tau) / sin(((x * single(pi)) * tau)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   3. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{1}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\pi}}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{x}, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{120} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{120}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 90.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\pi} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}} \]

10. Final simplification 90.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{\pi} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.16666666666666666 + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 84.9% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (*
    (/ (sin t_1) t_1)
    (+ 1.0 (* x (* x (* (* PI PI) -0.16666666666666666)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (1.0f + (x * (x * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -0.16666666666666666f))));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-0.16666666666666666))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (single(1.0) + (x * (x * ((single(pi) * single(pi)) * single(-0.16666666666666666)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 85.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 85.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Final simplification 85.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 7: 84.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \sin t\_1 \cdot \frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}{t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (*
    (sin t_1)
    (/ (+ 1.0 (* x (* x (* (* PI PI) -0.16666666666666666)))) t_1))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return sinf(t_1) * ((1.0f + (x * (x * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -0.16666666666666666f)))) / t_1);
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(sin(t_1) * Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-0.16666666666666666))))) / t_1))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = sin(t_1) * ((single(1.0) + (x * (x * ((single(pi) * single(pi)) * single(-0.16666666666666666))))) / t_1);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{x}, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 85.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 85.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in tau around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1} + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

10. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right) \cdot \frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)}} \]

11. Final simplification 85.5%

    \[\leadsto \sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 84.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{\pi} + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right)}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (/
  (+ (/ 1.0 PI) (* -0.16666666666666666 (* x (* x PI))))
  (/ (* x tau) (sin (* (* x PI) tau)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return ((1.0f / ((float) M_PI)) + (-0.16666666666666666f * (x * (x * ((float) M_PI))))) / ((x * tau) / sinf(((x * ((float) M_PI)) * tau)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi)) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * Float32(x * Float32(pi))))) / Float32(Float32(x * tau) / sin(Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = ((single(1.0) / single(pi)) + (single(-0.16666666666666666) * (x * (x * single(pi))))) / ((x * tau) / sin(((x * single(pi)) * tau)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   3. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{1}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\pi}}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({x}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{6} + \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{x}, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right) + \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{x}, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{x}, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({x}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 85.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 85.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\pi} + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right)}}{\frac{x \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 9: 79.7% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (+
    (* (* PI PI) (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))
    (*
     (* x x)
     (*
      (* PI (* PI (* PI PI)))
      (+ 0.008333333333333333 (* (* tau tau) 0.027777777777777776))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))) + ((x * x) * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (0.008333333333333333f + ((tau * tau) * 0.027777777777777776f))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(0.008333333333333333) + Float32(Float32(tau * tau) * Float32(0.027777777777777776))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * (((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))) + ((x * x) * ((single(pi) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * (single(0.008333333333333333) + ((tau * tau) * single(0.027777777777777776)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({tau}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 80.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} + \frac{1}{36} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 81.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 81.2%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 79.4% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   -0.16666666666666666
   (+
    (*
     (* (* PI PI) (+ 1.0 (* x (* x (* (* PI PI) -0.16666666666666666)))))
     (* (* x x) (* tau tau)))
    (* x (* x (* PI PI)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * ((((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (1.0f + (x * (x * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -0.16666666666666666f))))) * ((x * x) * (tau * tau))) + (x * (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-0.16666666666666666)))))) * Float32(Float32(x * x) * Float32(tau * tau))) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * ((((single(pi) * single(pi)) * (single(1.0) + (x * (x * ((single(pi) * single(pi)) * single(-0.16666666666666666)))))) * ((x * x) * (tau * tau))) + (x * (x * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{x}, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 85.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 85.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + {tau}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + {tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + {tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

10. Simplified 81.0%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 81.0%

    \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 79.1% accurate, 8.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \left(1 + t\_1\right) \cdot \left(1 + t\_1 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* x (* x (* (* PI PI) -0.16666666666666666)))))
   (* (+ 1.0 t_1) (+ 1.0 (* t_1 (* tau tau))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = x * (x * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -0.16666666666666666f));
	return (1.0f + t_1) * (1.0f + (t_1 * (tau * tau)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-0.16666666666666666))))
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + t_1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(t_1 * Float32(tau * tau))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = x * (x * ((single(pi) * single(pi)) * single(-0.16666666666666666)));
	tmp = (single(1.0) + t_1) * (single(1.0) + (t_1 * (tau * tau)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({tau}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 80.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. PI-lowering-PI.f32 80.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 80.7%

   \[\leadsto \left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 80.7%

   \[\leadsto \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 12: 78.4% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (*
    (* PI PI)
    (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 80.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 80.0%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 13: 69.5% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* (* x (* x (* (* PI PI) -0.16666666666666666))) (* tau tau))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * (x * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -0.16666666666666666f))) * (tau * tau));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-0.16666666666666666)))) * Float32(tau * tau)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * (x * ((single(pi) * single(pi)) * single(-0.16666666666666666)))) * (tau * tau));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({tau}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 80.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 70.9%

   \[\leadsto \left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{1} \]

9. Final simplification 70.9%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 14: 64.4% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{1}{1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (/ 1.0 (/ 1.0 (+ 1.0 (* (* PI PI) (* x (* x -0.16666666666666666)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f / (1.0f / (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (x * (x * -0.16666666666666666f)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(x * Float32(x * Float32(-0.16666666666666666)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) / (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (x * (x * single(-0.16666666666666666))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{x}, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 85.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 85.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 65.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 65.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. flip3-+ N/A

       \[\leadsto \frac{{1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}^{3}}{\color{blue}{1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)}} \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{{1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}^{3}}}} \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{{1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}^{3}}\right)}\right) \]

    4. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{{1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)}}}\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 65.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}} \]

13. Final simplification 65.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{1}{1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 15: 64.3% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* (* x (* PI PI)) (* x -0.16666666666666666))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (x * -0.16666666666666666f));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(x * Float32(-0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * (single(pi) * single(pi))) * (x * single(-0.16666666666666666)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{x}, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 85.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 85.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 65.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 65.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(x \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot x\right)\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot x\right)}\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \frac{-1}{6}\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \frac{-1}{6}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

    9. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \frac{-1}{6}\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 65.3%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), x\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 65.3%

    \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot x\right)} \]

13. Final simplification 65.3%

    \[\leadsto 1 + \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 16: 64.3% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* x (* x (* (* PI PI) -0.16666666666666666)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (x * (x * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -0.16666666666666666f)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-0.16666666666666666)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (x * (x * ((single(pi) * single(pi)) * single(-0.16666666666666666))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{x}, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{tau}\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 85.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 85.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 65.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 65.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 65.3%

    \[\leadsto 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 17: 63.4% accurate, 219.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau) :precision binary32 1.0)

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f;
}

Fortran

real(4) function code(x, tau)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: tau
    code = 1.0e0
end function

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 64.6%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 18: 6.3% accurate, 219.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau) :precision binary32 0.0)

C

float code(float x, float tau) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(x, tau)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: tau
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 72.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\cos \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot \left(tau - 1\right)\right)}{2}}{\pi \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)\right)} - \frac{\frac{\cos \left(x \cdot \left(\pi \cdot \left(tau + 1\right)\right)\right)}{2}}{\pi \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)\right)}} \]

5. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}{tau}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}{tau} - \color{blue}{\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}{tau}} \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}{tau} - \frac{\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}{tau} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} - \frac{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}}{tau} \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}{tau} \]

   5. cos-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}{tau} \]

   6. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}{tau} - \frac{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}}{tau} \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}{tau} - \frac{\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}}{tau} \]

   8. +-inverses 6.3%

      \[\leadsto 0 \]

7. Simplified 6.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (x tau)
  :name "Lanczos kernel"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 1e-5 x) (<= x 1.0)) (and (<= 1.0 tau) (<= tau 5.0)))
  (* (/ (sin (* (* x PI) tau)) (* (* x PI) tau)) (/ (sin (* x PI)) (* x PI))))