UniformSampleCone, y

Percentage Accurate: 57.5% → 98.3%

Time: 15.6s

Alternatives: 19

Speedup: 2.0×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 57.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt
   (*
    ux
    (-
     (+ (- 1.0 (+ maxCos -1.0)) (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))))
     maxCos)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (((1.0f - (maxCos + -1.0f)) + ((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos)))) - maxCos)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - Float32(maxCos + Float32(-1.0))) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (((single(1.0) - (maxCos + single(-1.0))) + ((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.0%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

11. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt (* ux (+ 2.0 (- (* maxCos (+ (* ux (- 2.0 maxCos)) -2.0)) ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * ((ux * (2.0f - maxCos)) + -2.0f)) - ux))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - maxCos)) + Float32(-2.0))) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * ((ux * (single(2.0) - maxCos)) + single(-2.0))) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.0%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(2 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) + -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. distribute-rgt-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unsub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. --lowering--.f32 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right) - ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt (* ux (+ 2.0 (- (* maxCos (+ -2.0 (* 2.0 ux))) ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * (-2.0f + (2.0f * ux))) - ux))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(-2.0) + Float32(Float32(2.0) * ux))) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * (single(-2.0) + (single(2.0) * ux))) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.0%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(2 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 97.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 97.7%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - ux\right)\right)}} \]

14. Final simplification 97.7%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right) - ux\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.013000000268220901:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.013000000268220901)
   (*
    (sqrt
     (*
      ux
      (-
       (+ (- 1.0 (+ maxCos -1.0)) (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))))
       maxCos)))
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))))))
   (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.013000000268220901f) {
		tmp = sqrtf((ux * (((1.0f - (maxCos + -1.0f)) + ((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos)))) - maxCos))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.013000000268220901))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - Float32(maxCos + Float32(-1.0))) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - maxCos))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.013000000268220901))
		tmp = sqrt((ux * (((single(1.0) - (maxCos + single(-1.0))) + ((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - maxCos))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
	else
		tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0130000003

   1. Initial program 60.0%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 60.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 62.8%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 98.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)} \]

   if 0.0130000003 < uy

   1. Initial program 60.6%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 60.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.8%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f32 97.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 97.9%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

   11. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

       3. --lowering--.f32 93.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 93.4%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 - ux\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.013000000268220901:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 - ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt (* ux (+ 2.0 (- (* maxCos -2.0) ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * -2.0f) - ux))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * single(-2.0)) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.0%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(2 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) + -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. distribute-rgt-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unsub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. --lowering--.f32 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)}} \]

14. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot maxCos\right)}, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 97.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 97.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\color{blue}{-2 \cdot maxCos} - ux\right)\right)} \]

17. Final simplification 97.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 - ux\right)\right)} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 6: 93.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.02500000037252903:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.02500000037252903)
   (*
    (sqrt
     (*
      ux
      (-
       (+ (- 1.0 (+ maxCos -1.0)) (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))))
       maxCos)))
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))))))
   (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.02500000037252903f) {
		tmp = sqrtf((ux * (((1.0f - (maxCos + -1.0f)) + ((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos)))) - maxCos))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.02500000037252903))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - Float32(maxCos + Float32(-1.0))) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - maxCos))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.02500000037252903))
		tmp = sqrt((ux * (((single(1.0) - (maxCos + single(-1.0))) + ((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - maxCos))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
	else
		tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0250000004

   1. Initial program 60.3%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 60.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.1%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 98.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 98.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)} \]

   if 0.0250000004 < uy

   1. Initial program 59.4%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 59.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 79.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 79.0%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 78.1%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.02500000037252903:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 89.1% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    ux
    (-
     (+ (- 1.0 (+ maxCos -1.0)) (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))))
     maxCos)))
  (*
   uy
   (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (((1.0f - (maxCos + -1.0f)) + ((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos)))) - maxCos))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - Float32(maxCos + Float32(-1.0))) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - maxCos))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (((single(1.0) - (maxCos + single(-1.0))) + ((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - maxCos))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.0%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)}\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    8. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 89.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 89.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)} \]

14. Final simplification 89.7%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 8: 89.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* ux (+ 2.0 (- (* maxCos (+ (* ux (- 2.0 maxCos)) -2.0)) ux))))
  (*
   uy
   (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * ((ux * (2.0f - maxCos)) + -2.0f)) - ux)))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - maxCos)) + Float32(-2.0))) - ux)))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * ((ux * (single(2.0) - maxCos)) + single(-2.0))) - ux)))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.0%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(2 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) + -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. distribute-rgt-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unsub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. --lowering--.f32 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)}} \]

14. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 89.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 89.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)} \]

17. Final simplification 89.7%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 9: 84.6% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0034000000450760126:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot {\left(ux + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)\right)}^{0.5}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.0034000000450760126)
   (*
    2.0
    (*
     PI
     (*
      uy
      (pow
       (+
        ux
        (* ux (- (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))) maxCos)))
       0.5))))
   (*
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))
    (sqrt (* ux (+ 1.0 (- (- 1.0 maxCos) maxCos)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.0034000000450760126f) {
		tmp = 2.0f * (((float) M_PI) * (uy * powf((ux + (ux * (((1.0f - maxCos) * (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))) - maxCos))), 0.5f)));
	} else {
		tmp = (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((ux * (1.0f + ((1.0f - maxCos) - maxCos))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0034000000450760126))
		tmp = Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * (Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))) - maxCos))) ^ Float32(0.5)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) - maxCos)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.0034000000450760126))
		tmp = single(2.0) * (single(pi) * (uy * ((ux + (ux * (((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))) - maxCos))) ^ single(0.5))));
	else
		tmp = (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((ux * (single(1.0) + ((single(1.0) - maxCos) - maxCos))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00340000005

   1. Initial program 61.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 61.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 60.4%

      \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 63.1%

       \[\leadsto uy \cdot \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{2} \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{2}\right) \]

   12. Applied egg-rr 96.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right) - maxCos\right) + 0\right)}^{0.5}\right) \cdot \pi\right) \cdot 2} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right) - maxCos\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       3. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\left(ux \cdot 1 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot 1\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       7. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       9. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       10. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       13. +-lowering-+.f32 96.1%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

   14. Applied egg-rr 96.1%

       \[\leadsto \left(\left(uy \cdot {\color{blue}{\left(ux \cdot 1 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)\right)}}^{0.5}\right) \cdot \pi\right) \cdot 2 \]

   if 0.00340000005 < uy

   1. Initial program 57.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 57.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 78.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. PI-lowering-PI.f32 58.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 58.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0034000000450760126:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot {\left(ux + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)\right)}^{0.5}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 84.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0034000000450760126:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot {\left(ux + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)\right)}^{0.5}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.0034000000450760126)
   (*
    2.0
    (*
     PI
     (*
      uy
      (pow
       (+
        ux
        (* ux (- (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))) maxCos)))
       0.5))))
   (*
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))
    (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.0034000000450760126f) {
		tmp = 2.0f * (((float) M_PI) * (uy * powf((ux + (ux * (((1.0f - maxCos) * (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))) - maxCos))), 0.5f)));
	} else {
		tmp = (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0034000000450760126))
		tmp = Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * (Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))) - maxCos))) ^ Float32(0.5)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.0034000000450760126))
		tmp = single(2.0) * (single(pi) * (uy * ((ux + (ux * (((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))) - maxCos))) ^ single(0.5))));
	else
		tmp = (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00340000005

   1. Initial program 61.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 61.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 60.4%

      \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 63.1%

       \[\leadsto uy \cdot \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{2} \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{2}\right) \]

   12. Applied egg-rr 96.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right) - maxCos\right) + 0\right)}^{0.5}\right) \cdot \pi\right) \cdot 2} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right) - maxCos\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       3. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\left(ux \cdot 1 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot 1\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       7. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       9. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       10. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

       13. +-lowering-+.f32 96.1%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

   14. Applied egg-rr 96.1%

       \[\leadsto \left(\left(uy \cdot {\color{blue}{\left(ux \cdot 1 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)\right)}}^{0.5}\right) \cdot \pi\right) \cdot 2 \]

   if 0.00340000005 < uy

   1. Initial program 57.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 57.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 78.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 77.5%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{2}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 57.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 57.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot 2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0034000000450760126:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot {\left(ux + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)\right)}^{0.5}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 84.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0034000000450760126:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.0034000000450760126)
   (*
    2.0
    (*
     PI
     (*
      uy
      (sqrt
       (*
        ux
        (+
         1.0
         (- (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))) maxCos)))))))
   (*
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))
    (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.0034000000450760126f) {
		tmp = 2.0f * (((float) M_PI) * (uy * sqrtf((ux * (1.0f + (((1.0f - maxCos) * (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))) - maxCos))))));
	} else {
		tmp = (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0034000000450760126))
		tmp = Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))) - maxCos)))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.0034000000450760126))
		tmp = single(2.0) * (single(pi) * (uy * sqrt((ux * (single(1.0) + (((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))) - maxCos))))));
	else
		tmp = (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00340000005

   1. Initial program 61.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 61.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 60.4%

      \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 63.1%

       \[\leadsto uy \cdot \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{2} \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{2}\right) \]

   12. Applied egg-rr 96.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right) - maxCos\right) + 0\right)}^{0.5}\right) \cdot \pi\right) \cdot 2} \]

   13. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)} \cdot uy\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)}\right), uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

   15. Simplified 96.0%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)} \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot 2 \]

   if 0.00340000005 < uy

   1. Initial program 57.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 57.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 78.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 77.5%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{2}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 57.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 57.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot 2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0034000000450760126:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 84.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0034000000450760126:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.0034000000450760126)
   (*
    (sqrt (* ux (+ 2.0 (- (* maxCos (+ (* ux (- 2.0 maxCos)) -2.0)) ux))))
    (* 2.0 (* uy PI)))
   (*
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))
    (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.0034000000450760126f) {
		tmp = sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * ((ux * (2.0f - maxCos)) + -2.0f)) - ux)))) * (2.0f * (uy * ((float) M_PI)));
	} else {
		tmp = (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0034000000450760126))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - maxCos)) + Float32(-2.0))) - ux)))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))));
	else
		tmp = Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.0034000000450760126))
		tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * ((ux * (single(2.0) - maxCos)) + single(-2.0))) - ux)))) * (single(2.0) * (uy * single(pi)));
	else
		tmp = (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00340000005

   1. Initial program 61.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 61.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.8%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f32 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

   11. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(2 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) + -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. unsub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. --lowering--.f32 98.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)}} \]

   14. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. PI-lowering-PI.f32 95.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 95.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)} \]

   if 0.00340000005 < uy

   1. Initial program 57.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 57.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 78.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 77.5%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{2}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 57.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 57.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot 2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0034000000450760126:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 81.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* ux (+ 2.0 (- (* maxCos (+ (* ux (- 2.0 maxCos)) -2.0)) ux))))
  (* 2.0 (* uy PI))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * ((ux * (2.0f - maxCos)) + -2.0f)) - ux)))) * (2.0f * (uy * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - maxCos)) + Float32(-2.0))) - ux)))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * ((ux * (single(2.0) - maxCos)) + single(-2.0))) - ux)))) * (single(2.0) * (uy * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 63.0%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(2 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right) + -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + 2 \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. distribute-rgt-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unsub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. --lowering--.f32 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)}} \]

14. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. PI-lowering-PI.f32 82.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), -2\right)\right), ux\right)}\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 82.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)} \]

17. Final simplification 82.0%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 - maxCos\right) + -2\right) - ux\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 14: 80.9% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  uy
  (*
   (* 2.0 PI)
   (sqrt (+ (* ux (- 2.0 ux)) (* maxCos (* ux (+ -2.0 (* 2.0 ux)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) * sqrtf(((ux * (2.0f - ux)) + (maxCos * (ux * (-2.0f + (2.0f * ux)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)) + Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(-2.0) + Float32(Float32(2.0) * ux))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = uy * ((single(2.0) * single(pi)) * sqrt(((ux * (single(2.0) - ux)) + (maxCos * (ux * (single(-2.0) + (single(2.0) * ux)))))));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 55.7%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) + ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    4. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    5. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    6. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 81.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 81.6%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

14. Final simplification 81.6%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right)\right)}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 15: 77.5% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - ux\right) - maxCos\right)\right)}^{0.5}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* 2.0 (* PI (* uy (pow (* ux (- (- 2.0 ux) maxCos)) 0.5)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 2.0f * (((float) M_PI) * (uy * powf((ux * ((2.0f - ux) - maxCos)), 0.5f)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * (Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - ux) - maxCos)) ^ Float32(0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(2.0) * (single(pi) * (uy * ((ux * ((single(2.0) - ux) - maxCos)) ^ single(0.5))));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 55.7%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{2}\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{2} \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{2}\right) \]

12. Applied egg-rr 82.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right) - maxCos\right) + 0\right)}^{0.5}\right) \cdot \pi\right) \cdot 2} \]

13. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(2 + -1 \cdot ux\right)}, maxCos\right)\right), 0\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), maxCos\right)\right), 0\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 - ux\right), maxCos\right)\right), 0\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    3. --lowering--.f32 79.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right), maxCos\right)\right), 0\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

15. Simplified 79.2%

    \[\leadsto \left(\left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\color{blue}{\left(2 - ux\right)} - maxCos\right) + 0\right)}^{0.5}\right) \cdot \pi\right) \cdot 2 \]

16. Final simplification 79.2%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(2 - ux\right) - maxCos\right)\right)}^{0.5}\right)\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 16: 77.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* 2.0 (* PI (* uy (sqrt (* ux (- 2.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 2.0f * (((float) M_PI) * (uy * sqrtf((ux * (2.0f - ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(2.0) * (single(pi) * (uy * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 55.7%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{2}\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{2} \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(uy \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{2}\right) \]

12. Applied egg-rr 82.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right) - maxCos\right) + 0\right)}^{0.5}\right) \cdot \pi\right) \cdot 2} \]

13. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot uy\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right), uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    4. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    5. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    6. --lowering--.f32 78.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

15. Simplified 78.9%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot uy\right)} \cdot \pi\right) \cdot 2 \]

16. Final simplification 78.9%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right)\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 17: 77.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* 2.0 (* (sqrt (* ux (- 2.0 ux))) (* uy PI))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 2.0f * (sqrtf((ux * (2.0f - ux))) * (uy * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))) * Float32(uy * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(2.0) * (sqrt((ux * (single(2.0) - ux))) * (uy * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right), -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 55.7%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)}} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}}\right)\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + -1 \cdot ux\right)}}\right)\right)\right) \]

    6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. --lowering--.f32 78.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 78.9%

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right)} \]

14. Final simplification 78.9%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 18: 63.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{2 \cdot ux} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (sqrt (* 2.0 ux)) (* 2.0 (* uy PI))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((2.0f * ux)) * (2.0f * (uy * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)) * Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((single(2.0) * ux)) * (single(2.0) * (uy * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 74.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 74.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 72.2%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{2}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

    3. PI-lowering-PI.f32 62.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

13. Simplified 62.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot 2} \]

14. Final simplification 62.3%

    \[\leadsto \sqrt{2 \cdot ux} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 19: 7.1% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 60.2%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 60.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{-1}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 7.1%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\sqrt{1 + \color{blue}{-1}} \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. pow1/2 N/A

       \[\leadsto uy \cdot \left({\left(1 + -1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto uy \cdot \left({0}^{\frac{1}{2}} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto uy \cdot \left(0 \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto uy \cdot \left(\left(1 + -1\right) \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(uy \cdot \left(1 + -1\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(uy \cdot 0\right) \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    7. mul0-rgt N/A

       \[\leadsto 0 \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    8. mul0-lft 7.1%

       \[\leadsto 0 \]

12. Applied egg-rr 7.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))