FastMath dist

Percentage Accurate: 98.0% → 99.1%
Time: 2.8s
Alternatives: 2
Speedup: 1.6×

Specification

?
\[\begin{array}{l} \\ d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3 \end{array} \]
(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (+ (* d1 d2) (* d1 d3)))
double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d1 * d2) + (d1 * d3);
}

real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    code = (d1 * d2) + (d1 * d3)
end function

public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d1 * d2) + (d1 * d3);
}

def code(d1, d2, d3):
	return (d1 * d2) + (d1 * d3)

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(Float64(d1 * d2) + Float64(d1 * d3))
end

function tmp = code(d1, d2, d3)
	tmp = (d1 * d2) + (d1 * d3);
end

code[d1_, d2_, d3_] := N[(N[(d1 * d2), $MachinePrecision] + N[(d1 * d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\begin{array}{l}

\\
d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3
\end{array}

Sampling outcomes in binary64 precision:

Local Percentage Accuracy vs ?

The average percentage accuracy by input value. Horizontal axis shows value of an input variable; the variable is choosen in the title. Vertical axis is accuracy; higher is better. Red represent the original program, while blue represents Herbie's suggestion. These can be toggled with buttons below the plot. The line is an average while dots represent individual samples.

Accuracy vs Speed?

Herbie found 2 alternatives:

AlternativeAccuracySpeedup
The accuracy (vertical axis) and speed (horizontal axis) of each alternatives. Up and to the right is better. The red square shows the initial program, and each blue circle shows an alternative.The line shows the best available speed-accuracy tradeoffs.

Initial Program: 98.0% accurate, 1.0× speedup?

\[\begin{array}{l} \\ d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3 \end{array} \]
(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (+ (* d1 d2) (* d1 d3)))
double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d1 * d2) + (d1 * d3);
}

real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    code = (d1 * d2) + (d1 * d3)
end function

public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d1 * d2) + (d1 * d3);
}

def code(d1, d2, d3):
	return (d1 * d2) + (d1 * d3)

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(Float64(d1 * d2) + Float64(d1 * d3))
end

function tmp = code(d1, d2, d3)
	tmp = (d1 * d2) + (d1 * d3);
end

code[d1_, d2_, d3_] := N[(N[(d1 * d2), $MachinePrecision] + N[(d1 * d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\begin{array}{l}

\\
d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3
\end{array}

Alternative 1: 99.1% accurate, 1.2× speedup?

\[\begin{array}{l} [d1, d2, d3] = \mathsf{sort}([d1, d2, d3])\\ \\ \mathsf{fma}\left(d3, d1, d2 \cdot d1\right) \end{array} \]
NOTE: d1, d2, and d3 should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (fma d3 d1 (* d2 d1)))
assert(d1 < d2 && d2 < d3);
double code(double d1, double d2, double d3) {
	return fma(d3, d1, (d2 * d1));
}

d1, d2, d3 = sort([d1, d2, d3])
function code(d1, d2, d3)
	return fma(d3, d1, Float64(d2 * d1))
end

NOTE: d1, d2, and d3 should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d1_, d2_, d3_] := N[(d3 * d1 + N[(d2 * d1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\begin{array}{l}
[d1, d2, d3] = \mathsf{sort}([d1, d2, d3])\\
\\
\mathsf{fma}\left(d3, d1, d2 \cdot d1\right)
\end{array}
Derivation

  1. Initial program 98.8%

    \[d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3 \]
  2. Add Preprocessing
  3. Step-by-step derivation

    1. lift-+.f64N/A

      \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3} \]

    2. +-commutativeN/A

      \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot d3 + d1 \cdot d2} \]

    3. lift-*.f64N/A

      \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot d3} + d1 \cdot d2 \]

    4. *-commutativeN/A

      \[\leadsto \color{blue}{d3 \cdot d1} + d1 \cdot d2 \]

    5. lower-fma.f6498.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d3, d1, d1 \cdot d2\right)} \]

    6. lift-*.f64N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(d3, d1, \color{blue}{d1 \cdot d2}\right) \]

    7. *-commutativeN/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(d3, d1, \color{blue}{d2 \cdot d1}\right) \]

    8. lower-*.f6498.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(d3, d1, \color{blue}{d2 \cdot d1}\right) \]

  4. Applied rewrites98.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d3, d1, d2 \cdot d1\right)} \]
  5. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 1.6× speedup?

\[\begin{array}{l} [d1, d2, d3] = \mathsf{sort}([d1, d2, d3])\\ \\ \left(d2 + d3\right) \cdot d1 \end{array} \]
NOTE: d1, d2, and d3 should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (* (+ d2 d3) d1))
assert(d1 < d2 && d2 < d3);
double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d2 + d3) * d1;
}

NOTE: d1, d2, and d3 should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    code = (d2 + d3) * d1
end function

assert d1 < d2 && d2 < d3;
public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d2 + d3) * d1;
}

[d1, d2, d3] = sort([d1, d2, d3])
def code(d1, d2, d3):
	return (d2 + d3) * d1

d1, d2, d3 = sort([d1, d2, d3])
function code(d1, d2, d3)
	return Float64(Float64(d2 + d3) * d1)
end

d1, d2, d3 = num2cell(sort([d1, d2, d3])){:}
function tmp = code(d1, d2, d3)
	tmp = (d2 + d3) * d1;
end

NOTE: d1, d2, and d3 should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d1_, d2_, d3_] := N[(N[(d2 + d3), $MachinePrecision] * d1), $MachinePrecision]

\begin{array}{l}
[d1, d2, d3] = \mathsf{sort}([d1, d2, d3])\\
\\
\left(d2 + d3\right) \cdot d1
\end{array}
Derivation

  1. Initial program 98.8%

    \[d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3 \]
  2. Add Preprocessing
  3. Step-by-step derivation

    1. lift-+.f64N/A

      \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3} \]

    2. lift-*.f64N/A

      \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot d2} + d1 \cdot d3 \]

    3. lift-*.f64N/A

      \[\leadsto d1 \cdot d2 + \color{blue}{d1 \cdot d3} \]

    4. distribute-lft-outN/A

      \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot \left(d2 + d3\right)} \]

    5. *-commutativeN/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d2 + d3\right) \cdot d1} \]

    6. lower-*.f64N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d2 + d3\right) \cdot d1} \]

    7. +-commutativeN/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d3 + d2\right)} \cdot d1 \]

    8. lower-+.f64100.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d3 + d2\right)} \cdot d1 \]

  4. Applied rewrites100.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(d3 + d2\right) \cdot d1} \]

  5. Final simplification100.0%

    \[\leadsto \left(d2 + d3\right) \cdot d1 \]
  6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 1.6× speedup?

\[\begin{array}{l} \\ d1 \cdot \left(d2 + d3\right) \end{array} \]
(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (* d1 (+ d2 d3)))
double code(double d1, double d2, double d3) {
	return d1 * (d2 + d3);
}

real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    code = d1 * (d2 + d3)
end function

public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	return d1 * (d2 + d3);
}

def code(d1, d2, d3):
	return d1 * (d2 + d3)

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(d1 * Float64(d2 + d3))
end

function tmp = code(d1, d2, d3)
	tmp = d1 * (d2 + d3);
end

code[d1_, d2_, d3_] := N[(d1 * N[(d2 + d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\begin{array}{l}

\\
d1 \cdot \left(d2 + d3\right)
\end{array}

Reproduce

?
herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (d1 d2 d3)
  :name "FastMath dist"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (* d1 (+ d2 d3)))

  (+ (* d1 d2) (* d1 d3)))