Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.7% → 8.2%

Time: 14.4s

Alternatives: 6

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Initial Program: 6.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Alternative 1: 8.2% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := {\left(\sqrt[3]{t\_0}\right)}^{3}\\ t_2 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\\ t_3 := \sin^{-1} t\_2\\ \frac{{\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(4, t\_3, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot 0.5, t\_0, -\cos^{-1} t\_2\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{9} - {\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}^{9}\right)}{\mathsf{fma}\left({\left(t\_1 \cdot t\_1\right)}^{6}, 0.015625, {\left(t\_3 \cdot 2\right)}^{6} + {\left(t\_3 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI)))
        (t_1 (pow (cbrt t_0) 3.0))
        (t_2 (sqrt (fma x -0.5 0.5)))
        (t_3 (asin t_2)))
   (/
    (*
     (pow
      (fma
       (* 0.25 (PI))
       (PI)
       (* (fma 4.0 t_3 (PI)) (fma (* t_0 0.5) t_0 (- (acos t_2)))))
      -1.0)
     (-
      (pow (* (PI) 0.5) 9.0)
      (pow (* 2.0 (fma (PI) 0.5 (- (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5)))))) 9.0)))
    (fma
     (pow (* t_1 t_1) 6.0)
     0.015625
     (+ (pow (* t_3 2.0) 6.0) (pow (* t_3 (PI)) 3.0))))))

Derivation

1. Initial program 5.9%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 5.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   11. lift-fma.f64 7.7

       \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   14. lower-fma.f64 7.7

       \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

6. Applied rewrites 7.7%

   \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}\right)}}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   3. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   4. cbrt-prod N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   5. cube-prod N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   6. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   7. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   8. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   10. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   11. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   12. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   13. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   14. lower-sqrt.f64 7.8

       \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3}\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

8. Applied rewrites 7.8%

   \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   6. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   7. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   8. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   9. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   12. unpow1 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{2}{2}\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   14. sqrt-pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   15. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   16. rem-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   17. lift-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3}\right)}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   18. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   19. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   20. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

10. Applied rewrites 7.8%

    \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

11. Final simplification 7.8%

    \[\leadsto \frac{{\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{9} - {\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}^{9}\right)}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.2% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\\ t_2 := \sin^{-1} t\_1\\ t_3 := {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(-512, {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} t\_1\right)}^{9}, 0.001953125 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t\_2, 4, \mathsf{PI}\left(\right)\right), t\_2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left(t\_3 \cdot t\_3\right)}^{6}, 0.015625, {\left(t\_0 \cdot 2\right)}^{6} + {\left(t\_0 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (sqrt (fma x -0.5 0.5))))
        (t_1 (sqrt (fma -0.5 x 0.5)))
        (t_2 (asin t_1))
        (t_3 (pow (cbrt (sqrt (PI))) 3.0)))
   (/
    (/
     (fma
      -512.0
      (pow (- (* (PI) 0.5) (acos t_1)) 9.0)
      (* 0.001953125 (pow (PI) 9.0)))
     (fma (fma t_2 4.0 (PI)) t_2 (* (* (PI) (PI)) 0.25)))
    (fma
     (pow (* t_3 t_3) 6.0)
     0.015625
     (+ (pow (* t_0 2.0) 6.0) (pow (* t_0 (PI)) 3.0))))))

Derivation

1. Initial program 5.9%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 5.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   11. lift-fma.f64 7.7

       \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   14. lower-fma.f64 7.7

       \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

6. Applied rewrites 7.7%

   \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}\right)}}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   3. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   4. cbrt-prod N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   5. cube-prod N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   6. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   7. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   8. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   10. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   11. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   12. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   13. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   14. lower-sqrt.f64 7.8

       \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3}\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

8. Applied rewrites 7.8%

   \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{1}{512} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{9} - 512 \cdot {\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)}^{9}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + 4 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

11. Applied rewrites 7.8%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(-512, {\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{9}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{9} \cdot 0.001953125\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 4, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

12. Final simplification 7.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(-512, {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{9}, 0.001953125 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 4, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3}\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.2% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ \frac{{\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(4, t\_1, \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot t\_1\right)\right)}^{-1} \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{9} - {\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}^{9}\right)}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{t\_0}\right)}^{3} \cdot t\_0\right)}^{6}, 0.015625, {\left(t\_1 \cdot 2\right)}^{6} + {\left(t\_1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))) (t_1 (asin (sqrt (fma x -0.5 0.5)))))
   (/
    (*
     (pow (fma (* 0.25 (PI)) (PI) (* (fma 4.0 t_1 (PI)) t_1)) -1.0)
     (-
      (pow (* (PI) 0.5) 9.0)
      (pow (* 2.0 (fma (PI) 0.5 (- (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5)))))) 9.0)))
    (fma
     (pow (* (pow (cbrt t_0) 3.0) t_0) 6.0)
     0.015625
     (+ (pow (* t_1 2.0) 6.0) (pow (* t_1 (PI)) 3.0))))))

Derivation

1. Initial program 5.9%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 5.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   11. lift-fma.f64 7.7

       \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   14. lower-fma.f64 7.7

       \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

6. Applied rewrites 7.7%

   \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}\right)}}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   3. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   4. cbrt-prod N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   5. cube-prod N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   6. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   7. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   8. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   10. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   11. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   12. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   13. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   14. lower-sqrt.f64 7.8

       \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3}\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

8. Applied rewrites 7.8%

   \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)}}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   2. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3}\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.8

      \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

10. Applied rewrites 7.8%

    \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

11. Final simplification 7.8%

    \[\leadsto \frac{{\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{9} - {\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}^{9}\right)}{\mathsf{fma}\left({\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 8.2% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\\ t_2 := \sin^{-1} t\_1\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(-512, {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} t\_1\right)}^{9}, 0.001953125 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t\_2, 4, \mathsf{PI}\left(\right)\right), t\_2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(t\_0 \cdot 2\right)}^{6} + {\left(t\_0 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (sqrt (fma x -0.5 0.5))))
        (t_1 (sqrt (fma -0.5 x 0.5)))
        (t_2 (asin t_1)))
   (/
    (/
     (fma
      -512.0
      (pow (- (* (PI) 0.5) (acos t_1)) 9.0)
      (* 0.001953125 (pow (PI) 9.0)))
     (fma (fma t_2 4.0 (PI)) t_2 (* (* (PI) (PI)) 0.25)))
    (fma
     (pow (PI) 6.0)
     0.015625
     (+ (pow (* t_0 2.0) 6.0) (pow (* t_0 (PI)) 3.0))))))

Derivation

1. Initial program 5.9%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 5.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   11. lift-fma.f64 7.7

       \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

   14. lower-fma.f64 7.7

       \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

6. Applied rewrites 7.7%

   \[\leadsto \frac{\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{9} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(4, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-1}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{1}{512} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{9} - 512 \cdot {\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)}^{9}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + 4 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, \frac{1}{64}, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

9. Applied rewrites 7.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(-512, {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{9}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{9} \cdot 0.001953125\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 4, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6}\right)} \]

10. Final simplification 7.7%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(-512, {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{9}, 0.001953125 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 4, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{6}, 0.015625, {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{6} + {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 8.2% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma -0.5 (PI) (* 2.0 (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))))))

Derivation

1. Initial program 5.9%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.7

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.7%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 7.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

8. Final simplification 7.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 4.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right), -2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fma (asin (sqrt 0.5)) -2.0 (* (PI) 0.5)))

Derivation

1. Initial program 5.9%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right), \mathsf{neg}\left(2\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

4. Applied rewrites 5.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), -2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 3.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{0.5}}\right), -2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

8. Final simplification 3.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right), -2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024288 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))